河南省北大附中分校高二数学上学期期末试卷 理（普通班含解析）.doc

2015-2016学年河南省北大附中分校高二（上）期末数学试卷（理科）（普通班）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 a=x|2x3，b=x|x1，则集合ab=（）ax|2x4bx|x3或x4cx|2x1dx|1x32在不等式2x+y60表示的平面区域内的点是（）a（0，1）b（5，0）c（0，7）d（2，3）3已知等差数列an中，a7+a9=4，则a8的值是（）a1b2c3d44设xr，则“x”是“2x2+x10”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件5已知abc的三边分别为2，3，4，则此三角形是（）a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d不能确定6已知椭圆： +=1的焦距为4，则m等于（）a4b8c4或8d以上均不对7有下列四个命题：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题； （2）“若xy，则x2y2”的逆否命题；（3）“若x3，则x2x60”的否命题； （4）“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是（）a0b1c2d38设椭圆c： =1（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，p是c上的点pf2f1f2，pf1f2=30，则c的离心率为（）abcd9在长方体abcda1b1c1d1中，b1 c和c1d与底面a1b1c1d1所成的角分别为60和45，则异面直线b1c和c1d所成角的余弦值为（）abcd10数列an=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）a10b9c10d911已知点及抛物线上的动点p（x，y），则y+|pq|的最小值是（）a2b3c4d12正项等比数列an中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）ab2cd二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13全称命题“xr，x2+5x=4”的否定是14设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为15等比数列an的前n项和为sn，已知s1，2s2，3s3成等差数列，则an的公比为16如图，矩形abcd中，ab=1，bc=a，pa平面abcd，若在bc上只有一个点q满足pqdq，则a的值等于三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知命题p：关于x的方程x2ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在3，+）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围18（1）求与椭圆有共同焦点且过点的双曲线的标准方程；（2）已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点m（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值19已知数列an的前n项和sn=2n2+n，nn*（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足an=4log2bn+3，nn*，求数列anbn的前n项和tn20已知在abc中，（1）若三边长a，b，c依次成等差数列，sina：sinb=3：5，求三个内角中最大角的度数；（2）若，求cosb21如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ceac，efac，ab=，ce=ef=1（）求证：af平面bde；（）求证：cf平面bde；（）求二面角abed的大小22椭圆c： +=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点p（2，1）的距离为（）求椭圆c的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆c相交于a，b两点（a，b不是左右顶点），且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高二（上）期末数学试卷（理科）（普通班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 a=x|2x3，b=x|x1，则集合ab=（）ax|2x4bx|x3或x4cx|2x1dx|1x3【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】由a与b，求出两集合的交集即可【解答】解：a=x|2x3，b=x|x1，ab=x|2x1，故选：c【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2在不等式2x+y60表示的平面区域内的点是（）a（0，1）b（5，0）c（0，7）d（2，3）【考点】二元一次不等式的几何意义【专题】计算题【分析】将点的坐标一一代入不等式2x+y60，若成立，则在不等式表示的平面区域内，否则不在，问题即可解决【解答】解：由题意：对于a：20+160成立；故此点在不等式2x+y60表示的平面区域内；对于b：25+060不成立；故此不在点不等式2x+y60表示的平面区域内对于c：20+760不成立；故此点不在不等式2x+y60表示的平面区域内对于d：22+360不成立；故此点不在不等式2x+y60表示的平面区域内故选a【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式组与平面区域，根据已知不等式表示的平面区域是解答本题的关键3已知等差数列an中，a7+a9=4，则a8的值是（）a1b2c3d4【考点】等差数列的通项公式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】直接由已知结合等差数列的性质求得a8的值【解答】解：在等差数列an中，a7+a9=4，由等差数列的性质可得：故选：b【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题4设xr，则“x”是“2x2+x10”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可【解答】解：由2x2+x10，可知x1或x；所以当“x”“2x2+x10”；但是“2x2+x10”推不出“x”所以“x”是“2x2+x10”的充分而不必要条件故选a【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力5已知abc的三边分别为2，3，4，则此三角形是（）a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d不能确定【考点】余弦定理【专题】三角函数的求值【分析】根据大边对大角，得到4所对的角最大，设为，利用余弦定理表示出cos，将三边长代入求出cos的值，根据cos的正负即可确定出三角形形状【解答】解：设4所对的角为，abc的三边分别为2，3，4，由余弦定理得：cos=0，则此三角形为钝角三角形故选：b【点评】此题考查了余弦定理，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6已知椭圆： +=1的焦距为4，则m等于（）a4b8c4或8d以上均不对【考点】椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先分两种情况：（1）焦点在x轴上时：10m（m2）=4（2）焦点在y轴上时m2（10m）=4分别求出m的值即可【解答】解：（1）焦点在x轴上时：10m（m2）=4解得：m=4（2）焦点在y轴上时m2（10m）=4解得：m=8故选：c【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题7有下列四个命题：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题； （2）“若xy，则x2y2”的逆否命题；（3）“若x3，则x2x60”的否命题； （4）“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是（）a0b1c2d3【考点】命题的真假判断与应用；四种命题【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据四种命题的真假关系进行判断即可【解答】解：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题是若x2+y20，则xy0”错误，如当x=0，y=1时，满足x2+y20，但xy=0，故命题为假命题（2）“若xy，则x2y2”为假命题，如当x=1，y=2，满足xy，但x2y2不成立，即原命题为假命题，则命题的逆否命题也为假命题（3）“若x3，则x2x60”的否命题是若x3，则x2x60为假命题，如当x=4时，满足x3，但x2x60不成立，即命题为假命题（4）“对顶角相等”的逆命题为相等的角是对顶角，为假命题故真命题的个数是0个故选：a【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，比较基础8设椭圆c： =1（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，p是c上的点pf2f1f2，pf1f2=30，则c的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|pf2|=x，在直角三角形pf1f2中，依题意可求得|pf1|与|f1f2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案【解答】解：|pf2|=x，pf2f1f2，pf1f2=30，|pf1|=2x，|f1f2|=x，又|pf1|+|pf2|=2a，|f1f2|=2c2a=3x，2c=x，c的离心率为：e=故选d【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|pf1|与|pf2|及|f1f2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题9在长方体abcda1b1c1d1中，b1 c和c1d与底面a1b1c1d1所成的角分别为60和45，则异面直线b1c和c1d所成角的余弦值为（）abcd【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】设长方体的高为1，根据b1c和c1d与底面所成的角分别为600和450，分别求出各线段的长，将c1d平移到b1a，根据异面直线所成角的定义可知ab1c为异面直线b1c和dc1所成角，利用余弦定理求出此角即可【解答】解：设长方体的高为1，连接b1a、b1c、acb1c和c1d与底面所成的角分别为600和450，b1cb=60，c1dc=45c1d=，b1c=，bc=，cd=1则ac=c1db1aab1c为异面直线b1c和dc1所成角由余弦定理可得cosab1c=故选a【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题10数列an=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）a10b9c10d9【考点】数列与解析几何的综合【专题】计算题【分析】由题意因为数列an=，其前n项之和为，有数列通项的特点利用裂项相消得方法得到n的方程解出n的值是直线（n+1）x+y+n=0的方程具体化，再利用直线在y轴上的截距求出所求【解答】解：因为数列an的通项公式为且其前n项和为：+=1=，n=9，直线方程为10x+y+9=0令x=0，得y=9，在y轴上的截距为9故选b【点评】此题考查了裂项相消求数列的前n项和，及直线y轴截距，此外还考查了学生利用方程的思想解问题11已知点及抛物线上的动点p（x，y），则y+|pq|的最小值是（）a2b3c4d【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的定义，将点p到准线y=1的距离转化为点p到焦点f的距离|pf|，再利用不等式的性质即可求得答案【解答】解：抛物线的方程为x2=4y，其焦点f（0，1），准线方程为y=1，抛物线上的动点p（x，y）到准线的距离为：y（1）=y+1，由抛物线的定义得：|pf|=y+1，又q（2，0），y+|pq|=y+1+|pq|1=|pf|+|pq|1|fq|1=1=31=2（当且仅当f，p，q三点共线时取等号）故选a【点评】本题考查抛物线的简单性质，将点p到准线y=1的距离转化为点p到焦点f的距离|pf|是关键，突出考查转化思想，属于中档题12正项等比数列an中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）ab2cd【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值【解答】解：在等比数列中，a6=a5+2a4，即q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），=4a1，即2m+n2=16=24，m+n2=4，即m+n=6，=（）=，当且仅当，即n=2m时取等号故选：a【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13全称命题“xr，x2+5x=4”的否定是【考点】命题的否定【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，故答案为：【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；数形结合法；不等式【分析】若求目标函数的最大值，则求2x+y的最小值，从而化为线性规划求解即可【解答】解：若求目标函数的最大值，则求2x+y的最小值，作平面区域如下，结合图象可知，过点a（1，1）时，2x+y有最小值3，故目标函数的最大值为，故答案为：【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了指数函数的单调性的应用15等比数列an的前n项和为sn，已知s1，2s2，3s3成等差数列，则an的公比为【考点】等比数列的性质【专题】计算题；压轴题【分析】先根据等差中项可知4s2=s1+3s3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出s1，s2和s3，代入即可求得q【解答】解：等比数列an的前n项和为sn，已知s1，2s2，3s3成等差数列，an=a1qn1，又4s2=s1+3s3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题16如图，矩形abcd中，ab=1，bc=a，pa平面abcd，若在bc上只有一个点q满足pqdq，则a的值等于2【考点】直线与平面垂直的性质【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出【解答】解：连接aq，取ad的中点o，连接oqpa平面abcd，pqdq，由三垂线定理的逆定理可得dqaq点q在以线段ad的中点o为圆心的圆上，又在bc上有且仅有一个点q满足pqdq，bc与圆o相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾）oqbc，adbc，oq=ab=1，bc=ad=2，即a=2故答案为：2【点评】本题体现转化的数学思想，转化为bc与以线段ad的中点o为圆心的圆相切是关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知命题p：关于x的方程x2ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在3，+）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题【分析】由已知中，命题p：关于x的方程x2ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在3，+）上是增函数，我们可以求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，又由“p或q”为真，“p且q”为假，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围【解答】解：若p真：则=a2440a4或a4（4分）若q真：，a12（8分）由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假（10分）当p真q假时：a12；当p假q真时：4a4（12分）综上，a的取值范围为（，12）（4，4）（14分）【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知条件，求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，是解答本题的关键18（1）求与椭圆有共同焦点且过点的双曲线的标准方程；（2）已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点m（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质【专题】计算题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由椭圆，可得焦点，设双曲线的标准方程为： =1（a，b0），则a2+b2=4， =1，解出即可得出（2）设抛物线方程为y2=2px（p0），则焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，可得，解得p，把点 m（3，m）代入抛物线即可得出【解答】解：（1）椭圆的焦点为（2，0），（2，0），设双曲线的标准方程为： =1（a，b0），则a2+b2=4， =1，解得a2=3，b2=1，所求双曲线的标准方程为（2）设抛物线方程为y2=2px（p0），则焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，点m到焦点的距离等于5，也就是点m到准线的距离为5，则，p=4，因此，抛物线方程为y2=8x，又点 m（3，m）在抛物线上，于是m2=24，【点评】本题考查了圆锥曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已知数列an的前n项和sn=2n2+n，nn*（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足an=4log2bn+3，nn*，求数列anbn的前n项和tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）根据an=解出；（2）求出bn，使用错位相减法求和【解答】解：（1）当n=1时，a1=s1=3；当n2时，经检验，n=1时，上式成立an=4n1，nn*（2）an=4log2bn+3=4n1，bn=2n1，nn*，2得：，故【点评】本题考查了数列的通项公式的解法，数列求和，属于中档题20已知在abc中，（1）若三边长a，b，c依次成等差数列，sina：sinb=3：5，求三个内角中最大角的度数；（2）若，求cosb【考点】正弦定理；等差数列；余弦定理【专题】计算题；解三角形；平面向量及应用【分析】（1）依题意，设a=3k，（k0），则b=5k，c=7k，利用余弦定理即可求得三个内角中最大角的度数；（2）利用向量的数量积，与余弦定理即可求得cosb【解答】解：（1）在abc中有sina：sinb=3：5，a：b=3：5，设a=3k，（k0）则b=5k，a，b，c成等差数列，c=7k，最大角为c，有cosc=，c=120（2）由=b2（ac）2 得：accosb=b2（ac）2，即accosb=a2+c22accosb（a2+c22ac），3cosb=2，cosb=【点评】本题考查余弦定理，考查平面向量的数量积，考查运算能力，属于中档题21如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ceac，efac，ab=，ce=ef=1（）求证：af平面bde；（）求证：cf平面bde；（）求二面角abed的大小【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）设ac与bd交于点g，则在平面bde中，可以先证明四边形agef为平行四边形egaf，就可证：af平面bde；（）先以c为原点，建立空间直角坐标系cxyz把对应各点坐标求出来，可以推出=0和=0，就可以得到cf平面bde（）先利用（）找到=（，1），是平面bde的一个法向量，再利用平面abe的法向量=0和=0，求出平面abe的法向量，就可以求出二面角abed的大小【解答】解：证明：（i）设ac与bd交于点g，因为efag，且ef=1，ag=ac=1，所以四边形agef为平行四边形所以afeg因为eg平面bde，af平面bde，所以af平面bde（ii）因为正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ceac，所以ce平面abcd如图，以c为原点，建立空间直角坐标系cxyz则c（0，0，0），a（，0），d（，0，0），e（0，0，1），f（，1）所以=（，1），=（0，1），=（，0，1）所以=01+1=0， =