高中数学 2.3 圆的方程 2.3.4 圆与圆的位置关系课堂探究 新人教B版必修2.doc

2.3.4 圆与圆的位置关系课堂探究探究一圆与圆位置关系的判断判断两圆的位置关系的方法有两种：(1)(几何法)利用两圆圆心之间的距离d与两圆的半径r1，r2的关系判断：外离dr1r2；外切dr1r2；相交|r1r2|dr1r2；内切d|r1r2|；内含d|r1r2|.(2)(代数法)两圆的位置关系，可利用两圆方程所构成的方程组或的解判断，当方程组无解时，两圆外离或内含；当方程组有唯一解时，两圆外切或内切；当方程组有两解时，两圆相交【典型例题1】 已知圆c1：x2y22x30，c2：x2y24x2y30.试判断两圆的位置关系，若有交点，求出交点坐标解：变为标准方程：c1：(x1)2y24，c2：(x2)2(y1)22.圆心坐标分别为(1,0)和(2，1)，圆心距d，半径分别为r12，r2.r1r22，r1r22，所以r1r2dr1r2，所以两圆相交由解得或故其交点坐标为(3,0)，(1，2)探究二两圆的公切线问题求两圆的公切线时，要先判断两圆的位置关系，再确定公切线的条数【典型例题2】 (1)圆c1：x2y24x4y70和圆c2：x2y24x10y130的公切线有().2条 b3条c4条 d0条解析：由x2y24x4y70，得圆心和半径分别为o1(2,2)，r11；由x2y24x10y130，得圆心和半径分别为o2(2,5)，r24.因为d(o1，o2)5，r1r25，即r1r2d(o1，o2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线答案：b(2)判断圆c1：x2y22x6y260与圆c2：x2y24x2y40的公切线条数，并求公切线的方程思路分析：首先判断两圆的位置关系，得出公切线的条数，再求公切线方程解：将圆c1化为标准方程：(x1)2(y3)236，将圆c2化为标准方程：(x2)2(y1)21，得圆c1的圆心坐标：c1(1,3)，半径r16，圆c2的圆心坐标：c2(2，1)，半径r21.所以|c1c2|5.又|c1c2|r1r2|5，即两圆内切，所以圆c1与圆c2有一条公切线公切线的方程为x2y22x6y26(x2y24x2y4)0，即3x4y150.检验知直线3x4y150是两圆的公切线探究三两圆的公共弦问题1两圆相交时，公共弦所在的直线方程：若圆c1：x2y2d1xe1yf10与圆c2：x2y2d2xe2yf20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(d1d2)x(e1e2)yf1f20.2公共弦长的求法：(1)(代数法)将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)(几何法)求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解【典型例题3】 已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度思路分析：只有当两圆相交时，才能将两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，才能求公共弦的长度解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，得c1：(x1)2(y5)250，c2：(x1)2(y1)210.则圆c1的圆心为(1，5)，半径r15，圆c2的圆心为(1，1)，半径r2.又|c1c2|2，r1r25，r1r25，所以r1r2|c1c2|r1r2.所以两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x2y40.(3)方法一：两方程联立，得方程组两式相减得x2y4，把代入得y22y0，所以y10，y22.故所以交点坐标为(4,0)和(0,2)所以两圆的公共弦长为2.方法二：两方程联立，得方程组两式相减得x2y40，即为两圆相交弦所在直线的方程由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心为c(1，5)，半径r5.圆心c到直线x2y40的距离为d3.设公共弦长为2l，由勾股定理r2d2l2，得5045l2，解得l，所以公共弦长为2.点评求两相交圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长时，一般不用求交点坐标的方法求解，常用两方程相减消去二次项，得到公共弦所在直线的方程，再由勾股定理求弦长这种方法求解探究四利用两圆的位置关系求参数问题利用两圆位置关系求参数取值或范围的步骤：(1)化圆的方程为标准方程，写出圆心坐标和半径；(2)计算出两圆的圆心距；(3)通过圆心距与半径和及半径差的关系列出参数满足的等式或不等式，进而求出参数的取值或范围【典型例题4】 (1)圆x2y2r2与圆(x3)2(y1)2r2(r0)外切，则r的值是(). b.c5 d.解析：由题意知2r，解得r.答案：d(2)若两圆x2y2m和x2y26x8y110有公共点，则实数m的取值范围是().m1 bm121c1m121 d1m121解析：x2y26x8y110化成标准方程为(x3)2(y4)236.圆心距为d5，若两圆有公共点，则|6|56，所以1m121.答案：c探究五圆系方程1同心圆的圆系方程为(xa)2(yb)2r2，其中a，b为定值，r为参数，r0.2半径相等的圆系方程为(xa)2(yb)2r2，其中r0且r是定值，a，b是参数3过圆c：x2y2dxeyf0与直线l：axbyc0的交点的圆系方程为x2y2dxeyf(axbyc)0(r)4过圆c1：x2y2d1xe1yf10和圆c2：x2y2d2xe2yf20的交点的圆系方程为x2y2d1xe1yf1(x2y2d2xe2yf2)0(1)若1，则方程(d1d2)x(e1e2)yf1f20，表示过两圆交点的直线方程【典型例题5】 求经过圆x2y26x40和圆x2y26y280的交点且圆心在直线xy40上的圆的方程思路分析：解法一：首先求出交点坐标，然后用待定系数法求解；解法二：利用圆系方程求解解法一：解方程组得两圆的交点a(1,3)，b(6，2)设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线xy40上，故ba4.则有，解得a，故圆心为，半径为.故圆的方程为22，即x2y2x7y320.解法二：设所求圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0(1)，其圆心为，代入xy40求得7.故所求圆的方程为x2y2x7y320.点评求圆的方程方法较多，但利用圆系方程或圆的几何性质求解，运算量小且简单探究六易错辨析易错点：因方程丢解而致误【典型例题6】 已知集合a(x，y)|x2y24，b(x，y)|(x3)2(y4)2a2，若ab中有且仅有一个元素