河南省南阳市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1不等式xx2的解集是（）a（，0）b（0，1）c（1，+）d（，0）（1，+）2设a，br，则“a+b2”是“a1且b1”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充分必要条件d既非充分又非必要条件3抛物线y=4x2上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是（）abcd04边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）a90b150c135d1205若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）abcd6已知等差数列的前13的和为39，则a6+a7+a8=（）a6b12c18d97如图，正方体abcdabcd中，e是棱bc的中点，g是棱dd的中点，则异面直线gb与be所成的角为（）a120b90c60d308已知直线mxy+1=0交抛物线y=x2于a、b两点，则aob（）a为直角三角形b为锐角三角形c为钝角三角形d前三种形状都有可能9下列命题正确的个数是（）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”；若命题p：x0r，x02x0+10，则p：xr，x2x+10；abc中，sinasinb是ab的充要条件；若pq为真命题，则p、q均为真命题a0b1c2d310已知ba0，ab=2，则的取值范围是（）a（，4b（，4）c（，2d（，2）11已知双曲线，m，n是双曲线上关于原点对称的两点，p是双曲线上的动点，且直线pm，pn的斜率分别为k1，k2，k1k20，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）abcd12过点a（2，4）作倾斜角为45的直线交抛物线y2=2px（p0）于点p1、p2，若|p1p2|2=|ap1|ap2|，则实数p的值为（）a1b2c3d4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设双曲线的渐近线方程为3x2y=0，则正数a的值为14已知（x，y）满足，则k=的最大值等于15在正方体abcda1b1c1d1中，若棱长ab=3，则点b到平面acd1的距离为16已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，a=2，且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则a的值为，abc面积的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列（1）若，c=2，求abc的面积；（2）若sina，sinb，sinc成等比数列，试判断abc的形状18如图长方体abcda1b1c1d1中，ab=aa1=1，bc=，m是ad的中点，n是b1c1中点（1）求证：na1cm；（2）求证：平面a1mcn平面a1bd1；（3）求直线a1b和平面a1mcn所成角19如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p（1，2），a（x1，y1），b（x2，y2）均在抛物线上（）写出该抛物线的方程及其准线方程；（）当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线ab的斜率20如图，四棱锥pabcd的底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点（）证明：pa平面bde；（）求二面角bdec的平面角的余弦值；（）在棱pb上是否存在点f，使pb平面def？证明你的结论21设an是正数组成的数列，前n项和为sn且；（）写出数列an的前三项；（）求数列an的通项公式，并写出推证过程；（）令，求数列bn的前n项和tn22已知f1，f2分别是椭圆c：的上、下焦点，其中f1也是抛物线c1：x2=4y的焦点，点m是c1与c2在第二象限的交点，且（1）求椭圆c1的方程；（2）已知a（b，0），b（0，a），直线y=kx（k0）与ab相交于点d，与椭圆c1相交于点e，f两点，求四边形aebf面积的最大值2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1不等式xx2的解集是（）a（，0）b（0，1）c（1，+）d（，0）（1，+）【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用【分析】把原不等式移项并分解因式后，利用两数相乘异号得负的法则可把不等式转化为两个不等式组，求出两不等式组的解集的并集即为原不等式的解集【解答】解：不等式x2x，移项得：x2x0，因式分解得：x（x1）0，可化为：或，解得：x0，或x1，则原不等式的解集是（，0）（1，+）故选：d【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的思想，是一道比较简单的基础题2设a，br，则“a+b2”是“a1且b1”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充分必要条件d既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若a1且b1时，a+b2成立若a=0，b=3，满足a+b1，但a1且b1不成立，“a+b2”是“a1且b1”的必要不充分条件故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的性质的判断，比较基础3抛物线y=4x2上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是（）abcd0【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】令m（x0，y0），则由抛物线的定义得，解得答案【解答】解：抛物线的标准方程为，准线方程为，令m（x0，y0），则由抛物线的定义得，即故选：b【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键4边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）a90b150c135d120【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】设长为7的边所对的角为，根据余弦定理可得cos的值，进而可得的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180，即可得答案【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为，则最大角与最小角的和是180，由余弦定理可得，cos=，得=60，则最大角与最小角的和是180=120，故选：d【点评】本题考查余弦定理的运用，三角形的边角对应关系的应用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意5若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）abcd【考点】椭圆的应用；数列的应用【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=22b，即a+c=2b（a+c）2=4b2=4（a2c2），所以3a25c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e3=0，或e=1（舍去），故选b【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行6已知等差数列的前13的和为39，则a6+a7+a8=（）a6b12c18d9【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由求和公式和性质可得a7的值，而所求等于3a7，代入计算可得【解答】解：由题意可得等差数列的前13的和s13=39解之可得a7=3，又a6+a8=2a7故a6+a7+a8=3a7=9故选d【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，划归为a7是解决问题的关键，属基础题7如图，正方体abcdabcd中，e是棱bc的中点，g是棱dd的中点，则异面直线gb与be所成的角为（）a120b90c60d30【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】以d为原点，建立空间直线坐标系dxyz，利用向量法能求出异面直线gb与be所成的角【解答】解：以d为原点，建立如图所示的空间直线坐标系dxyz，设正方体abcdabcd的棱长为2，则g（0，0，1），b（2，2，0），b（2，2，2），e（1，2，0），=2+0+2=0，异面直线gb与be所成的角为90故选：b【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用8已知直线mxy+1=0交抛物线y=x2于a、b两点，则aob（）a为直角三角形b为锐角三角形c为钝角三角形d前三种形状都有可能【考点】三角形的形状判断【专题】计算题【分析】根据a和b都为抛物线上的点，设出a和b的坐标，把直线与抛物线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积，然后利用a和b的坐标表示出和，利用平面向量的数量积运算法则，计算得出为0，从而得出两向量互相垂直，进而得到三角形为直角三角形【解答】解：设a（x1，x12），b（x2，x22），将直线与抛物线方程联立得，消去y得：x2mx1=0，根据韦达定理得：x1x2=1，由=（x1，x12），=（x2，x22），得到=x1x2+（x1x2）2=1+1=0，则，aob为直角三角形故选a【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直9下列命题正确的个数是（）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”；若命题p：x0r，x02x0+10，则p：xr，x2x+10；abc中，sinasinb是ab的充要条件；若pq为真命题，则p、q均为真命题a0b1c2d3【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】利用否命题的定义即可判断出；利用“非命题”的定义即可判断出；abc中，由正弦定理可得，因此sinasinbabab，即可判断出；若pq为真命题，则p、q只要有一个为真命题即可【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”，正确；若命题p：x0r，x02x0+10，则p：xr，x2x+10，正确；abc中，由正弦定理可得，因此sinasinbabab，因此sinasinb是ab的充要条件，正确；若pq为真命题，则p、q只要有一个为真命题即可，因此不正确综上可得：正确的命题个数为3故选：d【点评】本题考查了简易逻辑的判定、正弦定理，考查了推理能力，属于基础题10已知ba0，ab=2，则的取值范围是（）a（，4b（，4）c（，2d（，2）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式【专题】计算题；方程思想；转化思想；导数的综合应用【分析】ba0，ab=2，可得ba0则=f（b），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：ba0，ab=2，ba0则=f（b），f（b）=，可得：b时，函数f（b）单调递增；b时，函数f（b）单调递减因此f（b）在b=+1时取得最大值，f（b）=4的取值范围是（，4故选：a【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题11已知双曲线，m，n是双曲线上关于原点对称的两点，p是双曲线上的动点，且直线pm，pn的斜率分别为k1，k2，k1k20，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用|k1|+|k2|的最小值为1，即可求得双曲线的离心率【解答】解：由题意，可设点m（p，q），n（p，q），p（s，t），且两式相减得再由斜率公式得：k1k2=|k1|+|k2|根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知故选b【点评】本题以双曲线为载体，考查双曲线的性质，关键是利用点差法，求得斜率之积为定值12过点a（2，4）作倾斜角为45的直线交抛物线y2=2px（p0）于点p1、p2，若|p1p2|2=|ap1|ap2|，则实数p的值为（）a1b2c3d4【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设l的参数方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论【解答】解：设l的参数方程为，代入抛物线方程整理得t2+（2p8）t+32+8p=0|ap1|ap2|=|t1t2|=32+8p又|p1p2|2=（t1+t2）24t1t2=8p2+32p，|p1p2|2=|ap1|ap2|，8p2+32p=32+8p，即p2+3p4=0p=1故选：a【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线的参数方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设双曲线的渐近线方程为3x2y=0，则正数a的值为2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】确定双曲线的渐近线方程，与条件比较，即可得到结论【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=即3xay=0双曲线的渐近线方程为3x2y=0，a=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是正确求出双曲线的渐近线，属于基础题14已知（x，y）满足，则k=的最大值等于1【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式【分析】由已知条件作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点p（x，y）到定点a（1，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论【解答】解：k的几何意义为点p（x，y）到定点a（1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知ab的斜率最大，其中b（0，1），此时k=1故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破，是中档题15在正方体abcda1b1c1d1中，若棱长ab=3，则点b到平面acd1的距离为【考点】点、线、面间的距离计算【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离【分析】以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点b到平面acd1的距离【解答】解：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，则b（3，3，0），a（3，0，0），c（0，3，0），c1（0，3，3），d1（0，0，3），=（3，3，0），=（3，0，3），=（0，3，0），设平面acd1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），点b到平面acd1的距离：d=故答案为：【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用16已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，a=2，且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则a的值为，abc面积的最大值为【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosa，把得出关系式代入求出cosa的值，即可确定出角a的大小；由条件利用正弦定理可得b2+c2bc=4再利用基本不等式可得bc4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，abc为等边三角形，从而求得它的面积bcsina【解答】解：由已知可得等式：（a+b）（sinasinb）=（cb）sinc，利用正弦定理化简得：（a+b）（ab）=c（cb），即b2+c2a2=bc，cosa=，则a=；在abc中，a=2，且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，利用正弦定理可得（2+b）（ab）=（cb）c，即 b2+c2bc=4再利用基本不等式可得 42bcbc=bc，bc4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，abc为等边三角形，它的面积为bcsina=，故答案为：，【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列（1）若，c=2，求abc的面积；（2）若sina，sinb，sinc成等比数列，试判断abc的形状【考点】余弦定理；三角形的形状判断；正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】（1）根据a、b、c成等差数列，结合a+b+c=算出b=，再由正弦定理得sinc=根据bc得c为锐角，得到c=，从而a=bc=，abc是直角三角形，由此不难求出它的面积；（2）根据正弦定理，结合题意得b2=ac，根据b=利用余弦定理，得b2=a2+c2ac，从而得到a2+c2ac=ac，整理得得（ac）2=0，由此即可得到abc为等边三角形【解答】解：a、b、c成等差数列，可得2b=a+c结合a+b+c=，可得b=（1），c=2，由正弦定理，得sinc=bc，可得bc，c为锐角，得c=，从而a=bc=因此，abc的面积为s=（2）sina、sinb、sinc成等比数列，即sin2b=sinasinc由正弦定理，得b2=ac又根据余弦定理，得b2=a2+c22accosb=a2+c2ac，a2+c2ac=ac，整理得（ac）2=0，可得a=cb=，a=c=，可得abc为等边三角形【点评】本题给出三角形的三个内角成等差数列，在已知两边的情况下求面积，并且在边成等比的情况下判断三角形的形状着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形的知识，属于中档题18如图长方体abcda1b1c1d1中，ab=aa1=1，bc=，m是ad的中点，n是b1c1中点（1）求证：na1cm；（2）求证：平面a1mcn平面a1bd1；（3）求直线a1b和平面a1mcn所成角【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）以d为原点，建立空间直角坐标系dxyz，求出=（，1，0），=（，1，0），可得=，即可证明na1cm；（2）=0+11=0， =0，即可证明d1b平面a1mcn，从而平面a1mcn平面a1bd1（3）由（2）得b到平面a1mcn的距离为d=1，a1b=，即可求直线a1b和平面a1mcn所成角【解答】证明：（1）以d为原点，建立空间直角坐标系dxyz，则b（，1，0），a（，0，1），d1（0，0，1），c（0，1，0），m（，0，0），n（，1，1），=（，1，0），=（，1，0），=，na1cm；（2）=（，1，1），=（0，1，1），=（，1，0），=0+11=0， =0，d1bmn，d1bcm，又mncm=m，d1b平面a1mcn，又d1b平面a1bd1，平面a1mcn平面a1bd1（3）由（2）得b到平面a1mcn的距离为d=1，a1b=，直线a1b和平面a1mcn所成角的正弦值为=，直线a1b和平面a1mcn所成角为【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间向量的运用，正确求出向量的坐标是关键19如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p（1，2），a（x1，y1），b（x2，y2）均在抛物线上（）写出该抛物线的方程及其准线方程；（）当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线ab的斜率【考点】抛物线的应用【专题】计算题【分析】（i）设出抛物线的方程，把点p代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程（ii）设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb，则可分别表示kpa和kpb，根据倾斜角互补可知kpa=kpb，进而求得y1+y2的值，把a，b代入抛物线方程两式相减后即可求得直线ab的斜率【解答】解：（i）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px点p（1，2）在抛物线上22=2p1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=1（ii）设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb则，pa与pb的斜率存在且倾斜角互补kpa=kpb由a（x1，y1），b（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）y1+2=（y2+2）y1+y2=4由（1）（2）得直线ab的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力20如图，四棱锥pabcd的底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点（）证明：pa平面bde；（）求二面角bdec的平面角的余弦值；（）在棱pb上是否存在点f，使pb平面def？证明你的结论【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（i）以d为坐标原点，分别以da、dc、dp所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明pa平面bde（ii）由已知求出平面bde的一个法向量和平面dec的一个法向量，利用向量法能求出二面角bdec的余弦值（）由已知得pbde，假设棱pb上存在点f，使pb平面def，设，（01），由此利用向量法能求出在棱pb上存在点f，pf=，使得pb平面def【解答】（i）证明：以d为坐标原点，分别以da、dc、dp所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设pd=dc=2，则a（2，0，0），p（0，0，2），e（0，1，1），b（2，2，0），=（2，0，2），=（0，1，1），设是平面bde的一个法向量，则由，得，取y=1，得=22=0，又pa不包含于平面bde，pa平面bde，（ii）解：由（）知=（1，1，1）是平面bde的一个法向量，又=（2，0，0）是平面dec的一个法向量设二面角bdec的平面角为，cos=cos，=故二面角bdec的余弦值为（）解： =（2，2，2），=（0，1，1），=0，pbde，假设棱pb上存在点f，使pb平面def，设，（01），则=（2，2，2），=（2，2，22），由=0，得42+422（22）=0，（0，1），此时pf=，即在棱pb上存在点f，pf=，使得pb平面def【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角余弦值的求法，考查满足直线与平面垂直的点的位置的确定，解题时要注意空间思维能力的培养21设an是正数组成的数列，前n项和为sn且；（）写出数列an的前三项；（）求数列an的通项公式，并写出推证过程；（）令，求数列bn的前n项和tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】