第一届美国数学邀请赛_AIME_试题解答.pdf

1983 年第 四期 一 一 一一 一一一 气 姗 口 口 暇二 二及月召 一 一 司 口 曰 2 9 如图3 把正方 形放在座标平 面 上 D放在原点 与它的距离很容易写成一 个代数 式 这时 从 u w 得到 x一 1 y 仁 x 一1 2 y 一1 2 2 y一l 化简得 xZ一4x 2 y Z o 就是 x 一2 2 yZ 2 可见 P的 轨迹是 以 2 0 为 圆 心 半径为了 2 的 圆 厂厂 P加 夕 从图 9 可以清图 8 楚地看出 这个圆 上离D最 远的点是E 2 了 2 0 3 0 c Ac P 和 B C P有角 边 边对 应相等 因为这两个三角 形 不 全等 乙CP人今 乙C PB 所以乙CPA应与乙 CPB互补 从 A e P 算出 乙C PA 180 c 一飞0 0 一 180 一4 0 二3 0 0 10 0 一150 0 二20 0 又解 再求出 乙它PA 30 对 A c P 和 BC P分别用正弦定 律 得到 5in 10 0 sin 3 0 C P AC 1矿19 C 主 冲 图 10 和丝 11 10 0 sin 乙 C PB BC 1一 2 因为A C二B C 所以 sin 乙e PB二 再因为 所以BN 所以乙Cp B Js o O 而BN 乙Pc 二 28 0 0 乙C PB今乙C PA 应得到乙Cp B 二250 20 第一届美国数学邀请赛 A IME 试题解答 今年三 月二十二日 美国举 办了第 一 届 数 学邀 请赛 AIM E 我国的北京市 和卜海市应 邀 参加了竞赛 竞赛分 三个阶段进行 三月一日举行 了初赛 也是第三十四届美国中学数学考试 初赛 共3 0道选 择题 要求用一个半小时答完 每题答对 得 4 分 答错得 一 分 并有底分3 0分 因此满分 为15 分 凡初赛成绩在95分以 上的同学参加复赛 复赛共1 5道填空题 要求用二个半小时答完 在试 卷的注意事项上己经指明 每题只有一个正确答案 而且 它是一个整数 每题 了分 共计工5分 下面向 大家介绍的就是这次 复赛的试 题 并由笔者 作了解 答供大家 参考 一 设 x z 都大于 1 是一 个正数 而且有 109 二w 24 109 w 4 0 109 二 1 2 求1 09 w 解设1 0 9 t 由题设有 109 y w二 lgw lg x lg y 192 lgw 渺 十 妞丝一卜业w 244O t 1 l 2 一一 21 t 一一千 n 1 1 4 1 1 匆 g一 餐 g y一 钱 牡 i 解得t 60 即1 0 9 w二6 0 二 设f x x 一P 十一 x 一 l 5 f x一 P一 5 1 其 中o P O P十1 5 x f x 二x一P 15一 x P 5一 x 30一 x 又 蕊15 f x 3 0 一 1 5 J5 f x 的最小 值是15 等 4 4 中 等数学 曰 曰口 数 一厅J 2 尹 三 求 方程 xZ 18 x 30 2了 的实根的乘积 解设 t二 了 xZ 18 x 4 5 tZ一Zt一1 5 0 t l 5 t 一3 t O 了 x 18 x 45 5 xZ 18 x 2 0 0 又 T 8 一 4 2 0 O 方程 有二实根 设为 xl和 由韦达定 理得 xZ 18 x 45 十y 7 i受 x y 二t 贝l J x y 2 舍去 J 二 丝吐叮 2 X1 xZ 2 0 四 一个机器零件的形伏 是一个有缺口灼圆 如 图1 这个 圆 约半径是丫5 0 c m A 的长度是6 c m B C的长度 是Z e m 乙A BC是直 角 求 几 与圆心的距离 以厘 米为 单 位 的平方 解 如图 艺 补 成一 个 圆O 连A e 延长AB交 O于 D 连O A OB 作OE上 A 于E OF上AB于F 连CD 丫AB 6 BC 2 乙AR c为直角 由勾股定理得 t3一2 It 2 0 0 t 一1 t一4 t 5 二0 t 1 tZ 4 t3 一5 即 x y可 能取的实 数值 中最大的是4 六 设 a 6 十8 求 a 被钧除的余数 解 a 3 6 3 s 3 0 7 一 1 7 l 吕 7 8 一 C 孟 378 一 e 孟孟 7 C 7一 7 a3 e 7一 e 7 2 e 7 图 1 A C 召 4 J 图 2 AE 之 一 了而 艺 显然 上式中括号 内的各项均是 7 的倍数 于 是 a 3被4 9除 的余数就是c套二7 一 1 c 呈呈 了 1被49 除 的余数 而 C 复呈 7 一1 C 轰兰 7 z 2162 49x23 35 a 3 被理9除的余数为35 七 亚瑟王的拓位骑士坐在他们的圆桌旁 选 出了三位骑士 选择哪兰个都是等概率的 去斩妖 龙 设p是选 出的三位之 巾至少有二位座次相邻的 概率 如果p写成既约分数 求分子当分母的和 解从25人选出3人的选法有 于是 OE 了O A 一 AE Z 二 丫4 0 s A O E 器 意 又乙B c的度数 合云 的度数 乙A o 的度 c 洛 誉子 3 2 5 2 3 种 数 1 乙U D C 乙AU 匕 tg UD d 一 又 B C 2 BD 4 于是A D 二 AB 十BD 6 十4 二 10 1 B F 土AD 一BD二 2 从 圆桌旁2 5人选 3人且 有2人相 邻的选法可以 这样进行 把相 邻二人看成一人 则选 法有2 5 种 另一人的选法显然还有2 3种 但这样选 出之后 由 于是圆桌 所以三人都相邻的选出重复了 而三人 都相邻的选法有25种 所以从2 5人中选出三位且至 少有二位座次相邻的选 法有 25 23 一2 5 25 2 2 种 一0B2 二 OF B F 二 0A 2一 AF Z F B Z 5 0一2 5 1二26 五 段两个复数 x y的平方和是7 其立方和 是1 0 X y可能取 的实数值 中最 友的是几 解 xZ十yZ 7 x3 ys 10 x y xZ yZ 一xy 于是听求的概率为盗轰 泥 因而分子与分母之和为5 7 八 整数一 忿 的最大 的两 位数字的 数因子是几 仁 注 黔 即是 二 解 n C 200 199 9 8一102 101 10 0 2 5 0 二 y 7 X y 2一 xZ yZ 马3 199 一 197 195一103 一 101 50 此数为一整 数 而分子19 9 197 195 103 10 1 1983 年 第 四期 是三位奇数的乘积 于是所求 的最大 的两位数的素 因子只能从三位奇合数 中寻找 由于小于20 0的合数一 定含有小于了2 0 0 的素 数为因子 因此在毛们到19 9之间的奇合数的素因子 一定含有 3 1 13中的一个 而 琪早 二66 毛 一 于是所求最大的两 位素因子一定小于 6 8 一 一一 一 乃 一 而小于6 6的最大素数为 6 1 且 61x3 18 3 恰为 C孟 召 言的分子中的一个因子 于是所求最大素因子 为6 1 于是 V 1 二二一一 3 粤 了百 s 任 兰冬 3 2 4 同法可截 得棱锥F 一ADN V 述2 艺4 又棱柱 V 二 S 二 MN 于是所求体稠为 1 之 一厂 Z 住 2 55 九 求f x 二 兮入2 习i Zx 4 X3inX O x 二 的 v二 述多 24 十 丝旦 53 十 1 下 丁犷 若8 住 最小值 解设l si n t 则 t是实数 二 翌旦 s二 25 8 3 于是 卜 一里 令 土生 全矜 兰一 解 叭则 f x 的最小值为12 十 1447 10 05 12 3 1这几个数有许多相同之 处 它们都是四位数 最高位 是 1 都恰有两个相 同的数字 一共有多少这样的数 解相同数字 是 1 的 由于最高位是 1 则另 一个1有三种位置选择 其余两位有 P孟种排法 即 十二 如图 5 一个圆 的 直径AB的长度是个两位的整 数 功进制 把两个数字颠 倒一下 就是与直径AB垂直的 弦CD的长度 从交点H到圆心 O的距离是一个正的有理数 求人B的长度 夕 了 林 一 y一2 1 0一 了 一 有 3 p 毛 3x7 2二2 16 种 相同数字不是 1 的 相同数有 9 种选法 另一 位有 8 种选法 且另一 位可在相同二个数字之左 之右 之中三 种位置选 择 因此有 3 8 二 21 6 种 选法 设A B lox y 其 扫 y 二 o 1 2 且 x 斗0 CD 1 0y x oH Z二 i夕茎士y 艺 I 共有216 2 16 4 32个 题 中要求的数字 十一 图 3 中的多面体的 底面 是边长 为 6 的正 方形 卜 面的棱平行于底 面 其长 为 2 己知 二 6 了 2 求这个 多面 体的体积 解如图 4 过B C 作平 面BCM垂直 于平 面C D FE 与平面ABEF交于BM 与犷D l FE交于CM 于是 BM土EF 又 ABE F是等腰 梯形 2g 厄三了 S 一 签 由于OH是有理数 平方 数 设 一yZ 则11 x 艺 一 yZ 必须为完 全 B 二 EF 2 ME二 工 艺 一 一一 一 J二 护 3 夕气m 足仪干甘乙一 七 肚盯U向 健力水浏 人u 二 一 s 艺 CM二 才早 2 s 二 冬 了 百 任 2 2 2 一yZ 1Ik 2 则 xZ一y x y x一y 2Ik l 显然 x y x 一y 又 x y落18 O x 一y 8 子是只能 有 y 1 1 x 一y 1 解得 6 y二5 即 人B 二 65 十三 对于 1 2 3 n 和它的每个非 空子集 我们定义交替和如下 把子集 中的数按从 大到小的顺序排列 然后从最大的数开始交替地加 减各数 例如 1 2 4 6 9 的交替和是 9 一6 4一2十I二6 而 6 的交替和就是 5 对于 n 二7 求所有这些交替和的总和 解 显然扭 2 3 4 5 6 7 的非空子 集有2 7 一1 12 7 个 而每个元素在子集中均出现 次 按照题目的要求 1 2 3 4 5 6在 子集中 的排列各有32次在奇数位 32次在偶数位 因此 子 集中这些数的交替和为 而 7 也出现 次 尹均 取正值 故所有子集的交替和的总和是7 x6 4 4 48 等数 4 6 中 等数学 一 曰 十四 图 6 中两圆 的半径为8和 6 两个 圆心 的距离是1 2 过两 圆交点之一 的直线被两 圆截出相等的弦QP和P R 求QP长度的平方 解 如图 7 作 O MLQR于M O N上 QR于N 由己知QP 二 PR 贝 QM NR 二 着 Qp V 户户 一 O 一一 人人 P0 设QM 二x 则 解如图 9 设AD和 BC 交于P 连OP 则OP上AD 连O A 03 OC 作OE生 BC 于E 且设PA pD y p E x 则BP 二 3 一x 又由题设 可得OE 组 由相交弦定理 AP PD BP PC 即 y 3 一x 3 x 9一x 气 又因为P点唯一 则以OA为直径的圆与 B c 相 切 于是弦切角 OPE A eog A 二 0 M 一一 E一P P 1 0 一 一 图 7 eos0 PE 了8 一x X 了16 xZ 0 N 了0 R Z 一N RZ 亿6 2 一x 2 作0 K上0 M交0 M于K 则0 K 0 工M 一 0 N 0 之K 二M N Zx 由勾股定理得 0 0 2 2 0 K Z 0 K Z 因为 于 是 答 U 16 x 艺 即 144 二 丫8 2一x 一 了6 2 一x 2 Z x 2 解得 理x Z 2 30 即 QP t二 130 十五 如图 8 若一个圆 的两个相交的弦 其中B在AD 小弧上 设圆半 径是 5 B c 二6 AD被BC等分 又设从A 出发的弦只有AD能被 Bc 等 分 这样可以知道AB小 弧 对 应的正弦是一个有理 数 如 平方后将y Z二 9 2 一x 代入可解得x 2 从而可得C P 二X十3 二 于是 c PO为等腰三角 形 c PO 二 COP 又因为 A A OP 9 0 所以 COP AOP 90 所以 O A L OC 于是 A OB BO乙 90 sin A OB 二e o BOC 而 e o sB OC 是有理数 0B 2 0C 2 一BC3 7 2 一O B 一O C 0C 5in A OB 7 25 也是有理数 果把这个有 理数化成最简分数 一 竺 图 8 求m n 舜 m 一 25 x7 75 王速笑 解答 读者 作者 n 2 一9 n 7 一巧 n 2 一 3 n 1一2 n 者 1 一t Ln 一一 1 一 3 吕一卜入 编 n 艺 i 为 应 江苏省响水县向阳中学吕忠诚同志来信指 出 本刊 19 83年 第一期 证明不等式的一种常用技巧 一文的例 7 有误 原题为 如 果 a b 则 n a