线性代数第五章 相似矩阵与二次型 5.1 向量的内积与正交向量组.pdf

第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 Ch5 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 5 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5 1 向量的内积与正交向量组向量的内积与正交向量组 5 3 相似矩阵相似矩阵 5 4 实对称矩阵的实对称矩阵的相似对角形相似对角形 5 5 二次型及其标准型二次型及其标准型 5 6 正定二次型正定二次型 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 二 向量的长度及性质二 向量的长度及性质 五 小结五 小结 思考题思考题 三 正交向量组的概念及求法三 正交向量组的概念及求法 四 正交矩阵与正交变换四 正交矩阵与正交变换 一 内积的定义及性质一 内积的定义及性质 5 1 向量的内积及正交向量组向量的内积及正交向量组 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 11 22 1 122 5 1 1 nn nn n ab ab ab a ba ba b 设设有有维维向向量量 令令 称称为为向向量量与与 定定 的的内内积积 义义 一 内积的定义及性质一 内积的定义及性质 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 说明说明 1 n n 4 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积 的推广 但是没有的推广 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义 2 内内积积是是向向量量的的一一种种运运算算 如如果果都都是是列列 向向量量 内内积积可可用用矩矩阵阵记记号号表表示示为为 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 内积的运算性质内积的运算性质 n 其其中中为为 维维向向量量为为实实数数 1 2 3 4 0 0 0 且且当当时时有有 2 schwa rz 不不等等式式 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 定义定义5 1 2 222 12 n aaa 非非负负数数称称 长长度度 或或范范数数 量量 的的 为为向向 记记作作 向量的长度具有下述性质 向量的长度具有下述性质 1 0 0 0 0 非非负负性性 当当时时当当时时 2 齐齐次次性性 3 三三角角不不等等式式 二 向量的长度及性质二 向量的长度及性质 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1 单单当当时时为为位位向向量量称称 1 0 如如果果有有长长度度的的概概念念得得就就是是一一个个单单位位向向量量 1 用用非非零零数数去去乘乘以以向向量量 得得到到一一个个与与 同同方方向向的的 单单位位向向量量 通通常常称称为为向向量量 单单位位化化把把 0 0 arccos n 当当时时 称称为为 维维量量 与与 的的夹夹角角向向 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 定义定义5 1 3 一组两两正交的非零向量称为一组两两正交的非零向量称为正交向量正交向量 组 组 若正交向量组中每个向量都是单位向量若正交向量组中每个向量都是单位向量 则称该则称该 向量组为向量组为标准正交向量组标准正交向量组 三 正交向量组的概念及求法三 正交向量组的概念及求法 定理定理5 1 1 正交向量组是线性无关向量组正交向量组是线性无关向量组 证明证明 1122 0 mm kkk i a用用 与与等等式式两两边边做做内内积积 得得 12 m 设设有有是是正正交交向向量量组组 若若有有 0 当当时时 向向量量 与与 正正交交称称 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 0 0 iii 由由有有从从而而得得 0 1 2 i kim 12 m 故故线线性性无无关关 0 1 2 iii kim 1212 12 r rr rV V 若若是是 维维向向量量空空间间 的的一一个个基基 若若 两两两两正正交交 则则称称是是向向量量空空间间 的的一一 个个 由由单单位位向向量量组组成成的的正正交交基基正正交交基基标标准准正正交交 基基 或或正正交交规规范范基基 称称为为 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 12 1122 12 12 111 ri rr r r r eee e eeV 将将正正交交基基中中每每个个单单位位化化后后得得到到 的的 个个单单位位向向量量 则则 即即为为 的的一一个个标标准准正正交交基基 123 3 201 0 1 0 102 R 例例如如 为为的的一一组组正正交交基基 将将它它们们单单位位化化得得 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 123 201 11 0 1 0 55 102 eee 3 123 e e eR所所以以为为的的一一个个标标准准正正交交基基 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 通过前面的讨论我们知道通过前面的讨论我们知道 一组两两正交的非零向量一组两两正交的非零向量 是线性无关的是线性无关的 但一组线性无关的向量却不一定两两正交但一组线性无关的向量却不一定两两正交 那么那么 在向量空间在向量空间V中中 如何由如何由r个线性无关的向量来找个线性无关的向量来找r 个两两正交的向量呢个两两正交的向量呢 我们通过下面的方法来进行我们通过下面的方法来进行 1 正交化 正交化 11 取取 12 221 11 12 r 若若为为线线性性无无关关组组 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 121 121 112211 rrrr rrr rr b 111 rrr 那那么么两两两两正正交交 且且与与等等价价 2 单位化 单位化 12 12 12 r r r eee 取取 12 r e eeV 那那么么为为 的的一一个个标标准准正正交交向向量量组组 1323 3312 1122 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 123 114 1 231 110 例例 把把向向量量组组 化化为为这这标标准准正正交交向向量量组组 解解 1 1 1 取取 21 221 11 11 4 32 6 11 1 5 1 3 1 上述由线性无关向量组上述由线性无关向量组 1 2 r构造出正交向量组构造出正交向量组 1 2 r的过程的过程 称为称为施密特正交化过程施密特正交化过程 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 4111 15 2 1210 33 0111 再把它们单位化 取再把它们单位化 取 1 1 1 2 6 1 e 2 1 1 1 3 1 e 3 1 1 0 2 1 e 123 eee 即即为为所所求求 3132 3312 1122 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 a1 a3 a2 几几何何解解释释 b1 11ab 1 2 12 1 1 1 1 22 122 1 b b ba b b b b ac bac 即即上的投影向量上的投影向量在在为为 222cab c2 b2 2133 平面上的投影向量平面上的投影向量 的的在平行于在平行于为为 bbac c3 2 2 23 1 2 13 32313 3231 213321 21 b b ba b b ba ccc cc bbacbb 即即之和之和及及向量向量 上的投影上的投影分别在分别在等于等于故故由于由于 c31 c32 333cab b3 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 12 12 2 r r nrn nxx 例例若若是是两两两两正正交交的的 维维非非零零列列向向量量 则则必必有有 维维非非零零列列向向量量 使使得得 与与都都正正交交 12 0 0 0 r xxxx 应应满满足足 1 2 r A 记记 1 2 0 0 0 r x x Ax x 则则 0Ax 即即 证 证 因为因为A的秩小于的秩小于n 故故Ax 0必有非零解必有非零解 此非零解即此非零解即 为所求得向量为所求得向量 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 123 123 1 3 1 1 例例已已知知求求一一组组非非零零向向量量 使使两两两两正正交交 解解 231 123 0 0 x xxx 应应满满足足方方程程即即 12 1121 2 r rnrrn nnrn 由由例例 知知对对 维维正正交交向向量量组组 必必存存在在个个 维维非非零零向向量量组组 使使得得 成成为为一一个个正正交交向向量量组组 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 把基础解系正交化 即合所求 亦即取把基础解系正交化 即合所求 亦即取 21 12 321 11 1211 1 2 其其中中于于是是得得 2 1 0 1 3 011 11 102 22 111 2 10 01 11 1 1 它它的的基基础础解解系系为为 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 定理定理 方阵方阵A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A的列的列 行行 向量都向量都 是单位向量且两两正交 是单位向量且两两正交 证明证明AAE 1112111211 2122212222 1212 nn nn nnnnnnnn aaaaaa aaaaaa E aaaaaa 四 正交矩阵四 正交矩阵 1 5 1 4 nA A AEAA A 定定义义如如果果 阶阶方方阵阵 满满足足 即即 则则称称正正交交矩矩阵阵为为 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1 2 12 n n E 11121 212222 12 n nnnn E 1 1 2 0 ijij ij i jn ij 当当 当当 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1 1 AAAA 即即 的的转转置置就就是是 的的逆逆矩矩阵阵 1 2 AAA 若若 是是正正交交阵阵 则则或或也也是是正正交交阵阵 3 两两个个同同阶阶正正交交矩矩阵阵的的乘乘积积仍仍是是正正交交阵阵 411 正正交交阵阵的的行行列列式式等等于于 或或 正交矩阵具有以下几个重要性质正交矩阵具有以下几个重要性质 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 解解 1 考察矩阵的第一列和第二列考察矩阵的第一列和第二列 1111 1 10 2232 由由于于 4 184 999 11 21 3 814 1 2 1 211 2 999 1 31 21 447 999 例例 判判别别下下列列矩矩阵阵是是否否为为正正交交矩矩阵阵 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 184184 999999 814814 999999 447447 999999 由由于于 100 010 001 184 999 814 2 999 447 999 所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 5 1111 2222 1111 2222 11 00 22 11 00 22 P 例例 验验证证矩矩阵阵 是是正正交交矩矩阵阵 P P 解解 的的每每个个列列向向量量都都是是单单位位向向量量 且且两两两两正正交交 所所以以 是是正正交交矩矩阵阵 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 12 1212 6 n Rn AAA 例例设设是是中中两两个个列列向向量量 证证明明 对对任任一一 阶阶 正正交交矩矩阵阵 总总有有 证 证 12 AAn 因因均均为为 维维列列向向量量 所所以以 121212 AAAAA A 122 A A 1212 12 0 1 0 0 n n b bbR AAA 练练习习设设是是中中向向量量 是是正正交交阵阵 则则 2 AAb 解解 有有上上题题得得 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1 1 将一组基规范正交化的方法 将一组基规范正交化的方法 先用施密特正交化方法将基正交化 然后再将先用施密特正交化方法将基正交化 然后再将 其单位化 其单位化 1 1T AA 2EAAT 3单位向量单位向量的列向量是两两正交的的列向量是两两正交的A 4单位向量单位向量的行向量是两两正交的的行向量是两两正交的A 2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 A 小小结