第五章 线性系统的频域分析(1).ppt

自动控制原理 杭州电子科技大学 自动控制原理 精品课程课题组2009 11 2006年度浙江省精品课程 第五章线性系统的频域分析 引言5 1频率特性5 2典型环节的频率特性5 3系统开环频率特性的绘制5 4频域稳定判据和系统的相对稳定性5 5闭环系统的频域性能指标5 6Matlab在系统频域分析中的应用 引言 1 为什么要对系统进行频域分析 时域分析法 从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应 和性能指标 不利于工程研究之处 计算量大 而且随系统阶次的升高而增加很大 对于高阶系统十分不便 难以确定解析解 不易分析系统各部分对总体性能的影响 难以确定主要因素 不能直观地表现出系统的主要特征 工程方法要求 计算量不应太大 且不因微分方程阶数的升高而增加过多 应容易分析系统各部分对总体动态性能的影响 易区分主要因素 最好还能用作图法直观地表现出系统性能的主要特征 频域分析法 是一种间接的研究控制系统性能的工程方法 它研究系统的依据是频率特性 频率特性是控制系统的又一种数学模型 2 频率响应 频率特性和频域分析法频率响应 正弦输入信号作用下 系统输出的稳态分量 控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成 频率特性 系统频率响应和正弦输入信号之间的关系 它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性 数学基础 控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应的性能 研究其的数学基础是Fourier变换 频域分析法 利用系统频率特性分析和综合控制系统的方法 3 频域分析法的优点 1 物理意义明确 对于一阶系统和二阶系统 频域性能指标和时域性能指标有明确的对应关系 对于高阶系统 可建立近似的对应关系 2 可以用试验方法求出系统的数学模型 易于研究机理复杂或不明的系统 也适用于某些非线性系统 3 可以根据开环频率特性研究闭环系统的性能 无需求解高次代数方程 这一点 与根轨迹法有异曲同工之妙 只是前者的自变量是频率 而后者的参数一般是开环增益K 4 能较方便地分析系统中的参量对系统动态响应的影响 从而进一步指出改善系统性能的途径 5 采用作图方法 计算量小 且非常直观 5 1频率特性 引例 RC电路对于图5 1所示的RC电路 其传递函数为式中 RC 图5 1RC电路 设输入电压为正弦信号 其时域和复域描述为所以有将其进行部分分式展开后再拉氏反变换 uo t 表达式中第一项是暂态分量 第二项是稳态分量 显然上述RC电路的稳态响应为结论 当电路输入为正弦信号时 其输出的稳态响应 频率响应 也是一个正弦信号 其频率和输入信号相同 但幅值和相角发生了变化 其变化取决于 若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示 并求其复数比 可以得到式中频率特性G j 稳态响应与输入正弦信号的复数比 且G j G s s j 幅频特性A 输出信号幅值与输入信号幅值之比 相频特性 输出信号相角与输入信号相角之差 频率特性的概念 设系统结构如图 由劳思判据知系统稳定 给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦 Ar 1 0 5 1 2 2 5 4 曲线如下 给稳定的系统输入一个正弦 其稳态输出是与输入 同频率的正弦 幅值随 而变 相角也是 的函数 2 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出对于n阶LTI的闭环传递函数其中为n个互异的闭环特征根 设输入正弦信号为 因此有 拉氏反变换得 ct t 和cs t 分别为系统的暂态分量和稳态分量 对于稳定的系统 其极点均具有负实部 有则系统在正弦信号作用下的稳态输出为其中 因为G s 是实系数有理函数 则有 从而有 式中 稳态输出的振幅和相位分别为 由此可见 LTI系统在正弦输入下 输出的稳态值是和输入同频率的正弦信号 输出振幅是输入振幅的 G j 倍 输出相位与输入相位相差 G j 度 3 频率特性的定义幅频特性 LTI系统在正弦输入作用下 稳态输出振幅与输入振幅之比 用A 表示 相频特性 稳态输出相位与输入相位之差 用 表示 幅频A 和相频 统称幅相频率特性 如果将输入 输出的正弦函数分别表示为Arej0和Acej 则输出与输入的复数比为频率特性 LTI系统正弦输入作用下 输出稳态分量和输入的复数比 也就是幅相频率特性 简称幅相特性 频率特性与传递函数之间的关系 可见 将传递函数中s用j 代替即得频率特性表达式 关于频率特性的几点说明 频率特性不只是对系统而言 其概念对控制元件 部件等均适用 频率特性只适用于定常模型 否则不能用拉氏变换求解 也不存在这种稳态对应关系 前面在推导频率特性时假设系统稳定 如果系统不稳定 则动态过程c t 最终不可能趋于稳态振荡cs t 但它的稳态分量总可分离出来 而且其规律性不依赖于系统的稳定性 因此将频率特性的概念扩展为LTI系统正弦输入作用下 输出稳态分量和输入的复数比 尽管频率响应是一种稳态响应 但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数 因此 系统动态过程的规律性也全寓于其中 稳定系统的频率特性可由实验方法确定 稳定系统的频率特性为输出信号的傅氏变换与输入信号的傅氏变换之比 这是频率特性的物理意义 大于零时称为相角超前 小于零时称为相角滞后 频率特性是传递函数的特例 是定义在复平面虚轴上的传递函数 因此频率特性与系统的微分方程 传递函数一样反映了系统的固有特性 应用频率特性分析系统性能的基本思路 实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况 4 频率特性的几何表示法在工程分析和设计中 通常把线性系统的频率特性画成曲线 再运用图解法进行研究 常用的频率特性曲线 幅频特性曲线 相频特性曲线幅相特性曲线对数频率特性曲线 1 幅频特性 相频特性 幅相特性A 幅频特性曲线以频率 为横坐标 以幅频A 为纵坐标 画出A 随频率 变化的曲线 B 相频特性曲线以频率 为横坐标 以幅频 为纵坐标 画出 随频率 变化的曲线 图5 2RC电路的幅频和相频特性 C 幅相特性曲线 极坐标图 Nyquist图幅相特性曲线是将频率 作为参变量 将幅频与相频特性同时表示在复数平面上 图上实轴正方向为相角零度线 逆时针旋转为正 复数表示 极坐标图 将G j 分为实部和虚部 代数表示 即 X 和Y 分别称为实频特性和虚频特性 取横坐标X 纵坐标表示Y 也可得到系统的幅相曲线 实虚频图 图5 3RC电路的乃氏图 2 对数频率特性 Bode图在工程实际中 常常将频率特性画成对数坐标图形式 这种对数频率特性曲线又称Bode图 由对数幅频特性和对数相频特性组成 Bode图的横坐标按lg 分度 10为底的常用对数 即对数分度 单位为弧度 秒 rad s 对数幅频曲线的纵坐标按线性分度 单位是分贝 dB 对数相频曲线纵坐标按 线性分度 单位是度 由此构成的坐标系称为半对数坐标系 对数分度和线性分度 图5 4对数分度和线性分度 几点说明 对数频率特性采用 的对数分度实现了横坐标的非线性压缩 便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况 采用对数幅频特性则将幅值的乘除运算化为加减运算 可以简化曲线的绘制过程 0不可能在横坐标上表示出来 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定 令 1 则用MATLAB画出上述RC电路的伯德图如图5 5所示 bode 1 11 图5 5RC电路的Bode图 5 2典型环节的频率特性 用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时 是根据系统的开环频率特性进行的 而控制系统的开环频率特性通常是由若干典型环节的频率特性组成的 本节介绍七种常用的典型环节 一 比例环节比例环节的频率特性为显然 它与频率无关 相应的幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性 都与 无关的常量 图5 6比例环节的Nyquist图 图5 7比例环节的Bode图 K 1情况如何 二 积分环节积分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性为 图5 8积分环节的Nyquist图 图5 9积分环节的Bode图 对数幅频特性为一条斜率为 20dB dec的直线 此线通过L 0 1的点 幅频特性与角频率 成反比 相频特性恒为 90 如果是n个积分环节串连 情况又如何 半对数坐标系 积分环节L 20 20 20 三 微分环节微分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性为 图5 10微分环节的Nyquist图 图5 11微分环节的Bode图 其对数幅频特性为一条斜率为20dB dec的直线 它与0dB线交于 1点 微分环节的幅频特性等于角频率 而相频特性恒为90 20 20 20 微分环节L 复习回顾 频率响应 频率特性概念频率特性三种几何表示幅频 相频奈氏图波德图典型环节的频率特性比例环节积分环节微分环节 四 惯性环节惯性环节的频率特性 写成实部和虚部形式 即 幅频特性和相频特性 惯性环节的Nyquist图是圆心在 0 5 0 半径为0 5的半圆 图5 12惯性环节的Nyquist图 对数幅频特性和相频特性为 低频段 高频段 惯性环节对数幅频特性曲线为图5 13的渐近线 1 T是两条渐近线的交点 称为交接频率 或叫转折频率 转角频率 这是一个很重要的概念 图5 13惯性环节的Bode图 低通滤波特性 图5 14MATLAB绘制的惯性环节的Bode图 两点说明 惯性环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差 由表可知 在交接频率处误差达到最大值 是关于 1 T 45 点中心对称的 惯性环节L 20 20 26dB 五 一阶微分环节频率特性幅频特性和相频特性 对数幅频特性和相频特性为 一阶微分环节的Bode图 如图5 16所示 与惯性环节的Bode图 如图5 13所示 关于横轴对称 图5 15一阶微分环节的Nyquist图 图5 16一阶微分环节的Bode图 高频放大 抑制噪声能力的下降 惯性环节 一阶微分 频率特性互为倒数时 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称 相频特性曲线关于零度线对称 一阶微分L 20 20 六 二阶振荡环节 要重视 频率特性幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性 图5 17二阶振荡环节的Nyquist图 频率特性的端点取值 低频段 高频段 其对数幅频特性可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示 如图5 18所示 二阶振荡环节的对数幅频特性可作如下简化 不考虑阻尼比 图5 18二阶振荡环节的Bode图 低频段和高频段的两条直线相交处的交接频率为 1 T 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率 在交接频率附近 对数幅频特性与渐近线存在一定的误差 其值取决于阻尼比 的值 阻尼比越小 则误差越大 其相频特性关于 1 T 90 点中心对称 二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差 dB 七 迟后环节频率特性幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性 Nyquist图是一个以坐标原点为中心 半径为1的圆 如果用线性坐标 则迟后环节的相频特性为一条直线 迟后环节的Nyquist图和Bode图分别如图5 19和图5 20所示 图5 19迟后环节的Nyquist图 图5 20迟后环节的Bode图 试比较迟后环节与K 1的放大环节的对数幅频特性 观察其有何异同 5 3控制系统开环频率特性曲线的绘制 控制系统开环频率特性的典型环节分解开环幅相特性曲线的绘制 Nyquist图 开环对数频率特性曲线的绘制 Bode图 最小相位系统 minimumphasesystem 一 控制系统开环传递函数的典型环节分解设其开环传递函数由若干个典型环节相串联其开环频率特性 所以 系统的开环幅频和相频分别为系统的开环对数频率特性为 二 开环幅相特性曲线的绘制 Nyquist图 绘制Nyquist图有时并不需要绘制得十分准确只需要绘出Nyquist图的大致形状和几个关键点的准确位置 如与坐标轴的交点 就可以了 开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制概略开环幅相曲线的基础 1 几种开环传函的Nyquist图 1 开环传函中不包括积分环节和微分环节 即 只包含比例和惯性环节的0型系统Nyquist图 特点 当开环传函由n个惯性环节与比例环节串联时 Nyquist从正实轴开始 随 从0 变化时 顺时针转过n个象限 2 开环传函中含有一阶微分环节 即例如m 1 n 3 0G j0 K 0 G j 0 90 3 90 0 2 90 可见 开环传函中分子含有一阶微分环节 其开环Nyquist图可能出现凹凸 但起点仍从正实轴开始 m 1 n 3 且T1 T2 1 T3时 系统开环Nyquist曲线 若开环传函中分子含有m个一阶微分环节 分母含有n个惯性环节 其Nyquist图随 的变化趋势为 0G j0 K 0 G j 0 m 90 n 90 0 m n 90 3 开环传函中含有积分环节 即 型系统 1 II型系统 2 只包含惯性环节的I型系统Nyquist图 只包含惯性环节的II型系统Nyquist图 开环传递函数含有积分环节时 零频时的幅值为无穷大 2 系统开环幅相特性的特点当频率 0时 其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定 其余依此类推 当 时 若n m 其G j 的模为零 相角为 m n 90 即G j 0 m n 90 若G s 分子中含有s因子的环节时 其G j 曲线将随 变化可能发生凹凸弯曲 不含s因子的环节时 G j 曲线将随 变化将是一条平滑曲线 开环幅相曲线与实轴的交点是一个关键点 确定方法如下 2种 A 利用G j 的虚部Im G j 0的关系式求出 B 利用 G j n 180 其中n为整数 求出 该点所对应的频率称为 相角 穿越频率 3 Nyquist图绘制方法写出A 和 的表达式 分别求出 0和 时的G j 求Nyquist图与实轴的交点 如果有必要 可求Nyquist图与虚轴的交点 交点可利用G j 的实部Re G j 0的关系式求出 也可利用 G j n 90 其中n为正整数 求出 必要时画出Nyquist图中间几点 勾画出大致曲线 例5 1已知系统的开环传递函数 绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点 Nyquist图与实轴相交时 例5 2已知系统的开环传递函数 绘制系统的开环Nyquist图 例5 3设系统的开环传递函数为试绘制其Nyquist图 复习回顾 惯性环节 一阶微分 二阶振荡频率特性开环频率特性Nyquist图绘制步骤频率特性 幅频 相频起点 终点穿越频率 三 开环对数频率特性曲线的绘制 Bode图 1 Bode图绘制的概述和例题分析回顾前面的讨论可见 开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性之和 系统开环相频等于各环节相频之和 将各环节对数幅频特性用其渐近线代替 以及对数运算的优点 乘除运算对数化后变为加减 可以很容易绘制出开环对数频率特性 例5 4已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Bode图 系统开环包括了五个典型环节 2 2rad s 4 0 5rad s 5 10rad s 例5 5绘制开环传递函数的零型系统的Bode图 解系统开环对数幅频特性和相频特性分别 例5 5的Bode图 实际上 在熟悉了对数幅频特性的性质后 不必先一一画出各环节的特性 然后相加 而可以采用更简便的方法 由上例可见 零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线 随着 的增加 每遇到一个交接 转折 频率 对数幅频特性就改变一次斜率 例5 6设 型系统的开环传递函数为试绘制系统的Bode图 解系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 例5 6的Bode图 不难看出 此 型系统对数幅频特性的低频段斜率为 20dB dec 它 或者其延长线 在 1处与L1 20lgK的水平线相交 在交接频率 1 T处 幅频特性斜率由 20dB dec变为 40dB dec 2 系统开环对数幅频特性有如下特点低频段的斜率为 20 dB dec 为开环系统中所包含的串联积分环节的数目 低频段直线 若存在小于1的交接频率时则为其延长线 在 1处的对数幅值为201gK 在典型环节的交接 转折 频率处 对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化 变化的情况取决于典型环节的类型如遇到G s 1 Ts 1的环节 交接频率处斜率改变 20dB dec 如遇二阶振荡环节 在交接频率处斜率就要改变 40dB dec 等等 3 绘制对数幅频特性的步骤归纳如下 1 将开环频率特性分解为典型环节相乘形式 时间常数形式 2 求出各典型环节的交接频率 各环节时间常数的倒数 将其从小到大排列为 1 2 3 并标注在 轴上 3 绘制低频渐近线 1左边的部分 这是一条斜率为 20 dB dec的直线 它或它的延长线应通过 1 20lgK 点和 K1 0 点 对于微分环节 取负值 4 随着 的增加 每遇到一个典型环节的交接频率 就按上述方法改变一次斜率 5 必要时可用渐近线和精确曲线的误差表 对交接频率附近的曲线进行修正 以求得更精确曲线 6 对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得 也可以利用相频特性函数 直