自考线性代数（经管类）考试重点复习.pdf

第一章第一章行列式行列式 一 行列式的定义 一 行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子 它实质上表示把这些 数按一定的规则进行运算 其结果为一个确定的数 1 1 1 1 二阶行列式 二阶行列式 由 4 个数 2 1 jiaij得到下列式子 1112 2122 aa aa 称为一个二阶行列式 其运算规则为 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 2 2 2 2 三阶行列 三阶行列式式 由 9 个数 3 2 1 jiaij得到下列式子 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 称为一个三阶行列式 它如何进行运算呢 教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法 我们采 用递归法 为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念 3 3 3 3 余子式及代数余子式 余子式及代数余子式 设有三阶行列式 333231 232221 131211 3 aaa aaa aaa D 对任何一个元素 ij a 我们划去它所在的第 i 行及第 j 列 剩下的元素按原先次序组成一个二阶行 列式 称它为元素 ij a的余子式 记成 ij M 例如例如 3332 2322 11 aa aa M 3332 1312 21 aa aa M 2322 1312 31 aa aa M 再记 ij ji ij MA 1 称 ij A为元素 ij a的代数余子式 例如例如 1111 MA 2121 MA 3131 MA 那么 三阶行列式 3 D定义为 313121211111 333231 232221 131211 3 AaAaAa aaa aaa aaa D 我们把它称为 3 D按第一列的展开式 经常简写成 3 1 11 1 3 1 113 1 i ii i i ii MaAaD 4 4 4 4 n n n n 阶行列式阶行列式 一阶行列式 11111 aaD n 阶行列式 1121211111 21 22221 11211 nn nnnn n n n AaAaAa aaa aaa aaa D 其中 1 2 ij A i jn 为元素 ij a的代数余子式 5 5 5 5 特殊行列式 特殊行列式 上三角行列式 11121 222 1122 0 00 n n nn nn aaa aa a aa a 下三角行列式 11 22 1122 12 00 0 nn nnnn a aa a aa aaa 21 对角行列式 11 22 1122 00 00 00 nn nn a a a aa a 二 行列式的性质 二 行列式的性质 性质性质 1 1 1 1行列式和它的转置行列式相等 即 T DD 性质性质 2 2 2 2用数 k 乘行列式 D 中某一行 列 的所有元素所得到的行列式等于 kD 也就是说 行列式可以按行和列提出公因数 性质性质 3 3 3 3互换行列式的任意两行 列 行列式的值改变符号 推论推论 1 1 1 1如果行列式中有某两行 列 相同 则此行列式的值等于零 推论推论 2 2 2 2如果行列式中某两行 列 的对应元素成比例 则此行列式的值等于零 性质性质 4 4 4 4行列式可以按行 列 拆开 性质性质 5 5 5 5把行列式 D 的某一行 列 的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行 列 的对 应元素上去 所得的行列式仍为 D 定理定理 1 1 1 1 行列式展开定理 n 阶行列式 n ij aD 等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和 即 2 1 2211 niAaAaAaD ininiiii 或 2 1 2211 njAaAaAaD njnjjjjj 前一式称为 D 按第 i 行的展开式 后一式称为 D 按第 j 列的展开式 本定理说明 行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值 定理定理 2 2 2 2n 阶行列式 n ij aD 的任意一行 列 各元素与另一行 列 对应元素的代数余子式的 乘积之和等于零 即 0 2211 kiAaAaAa kninkiki 或 0 2211 sjAaAaAa nsnjsjsj 三 行列式的计算 三 行列式的计算 行列式的计算主要采用以下两种基本方法 1 利用行列式性质 把原行列式化为上三角 或下三角 行列式再求值 此时要注意的 是 在互换两行或两列时 必须在新的行列式的前面乘上 1 在按行或按列提取公因子 k 时 必 须在新的行列式前面乘上 k 2 把原行列式按选定的某一行或某一列展开 把行列式的阶数降低 再求出它的值 通 常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个 0 元素 再按这一行或这一列展开 例例 1 1 1 1计算行列式 5207 2325 1213 1412 4 D 解解 观察到第二列第四行的元素为 0 而且第二列第一行的元素是1 12 a 利用这个元素可以把 这一列其它两个非零元素化为 0 然后按第二列展开 4 2 1 4 12 1 4 1 5 6 2 31 2 121 15 0 6 2 15 0 5 2 3 2105 03 2 1 72 5 0 2 57 0 2 5 5 312 312 25 110081 375 7 37 5 D 行行 按第二列展开 行行 7 列列按第二行展开 例例 2 2 2 2计算行列式 abbb babb bbab bbba D 4 解解 方法方法 1 1 1 1这个行列式的元素含有文字 在计算它的值时 切忌用文字作字母 因为文字可能 取 0 值 要注意观察其特点 这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为ba3 我们把它称 为行和相同行列式 我们可以先把后三列都加到第一列上去 提出第一列的公因子ba3 再 将后三行都减去第一行 31 31 3 31 31 1 000 3 000 000 a b b bab b b bb b b ba b baba b ba b b ab b ba bab ba bba b b b baab b bab ba bbb ab ab ab ab 3 3 baba 方法方法 2 2 2 2观察到这个行列式每一行元素中有多个 b 我们采用 加边法 来计算 即是构造一个与 4 D 有相同值的五阶行列式 112 3 4 5 4 11 01000 01000 01000 01000 b b b bbbbb a b b b a b b bab ba b b Dba b ba b b ba b b ba ba b b b ba b b baab 行 行 这样得到一个 箭形 行列式 如果ba 则原行列式的值为零 故不妨假设ba 即0 ba 把后四列的 ba 1 倍加到第一列上 可以把第一列的 1 化为零 4 4 1 0000 4 00001 3 0000 0000 b bbbb ab ab b a babab ab ab a b ab apple 例例 3 3 3 3三阶范德蒙德行列式 111 231312 2 3 2 2 2 1 3213 xxxxxx xxx xxxV 四 克拉默法则 四 克拉默法则 定理定理 1 1 1 1 克拉默法则 设含有 n 个方程的 n 元线性方程组为 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 如果其系数行列式0 n ij aD 则方程组必有唯一解 nj D D x j j 2 1 其中 j D是把 D 中第 j 列换成常数项 n bbb 21 后得到的行列式 把这个法则应用于齐次线性方程组 则有 定理定理 2 2 2 2设有含 n 个方程的 n 元齐次线性方程组 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x 如果其系数行列式0 D 则该方程组只有零解 0 21 n xxx 换句话说 若齐次线性方程组有非零解 则必有0 D 在教材第二章中 将要证明 n 个方程 的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零 例例 4 4 4 4 当 取何值时 齐次线性方程组 0 1 0 3 2 042 1 321 321 321 xxx xxx xxx 只有零解 解 解 方程组的系数行列式 124134 2 3121211 11 1101 3413 1 1121 D 列列 按第三行展开 32 56 3 2 由于 3 2 00 D故当0 且2 且3 时 方程组只有零解 第二章第二章矩阵矩阵 一 矩阵的定义 一 矩阵的定义 1 1 1 1 矩阵的概念 矩阵的概念 由nm 个数 2 1 2 1 njmiaij 排成的一个 m 行 n 列的数表 apple apple apple apple apple mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 称为一个 m 行 n 列矩阵或nm 矩阵 当nm 时 称 nn ij aA 为 n 阶矩阵或 n 阶方阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵 用 nm O 或 O 表示 2 2 2 2 3 3 3 3 个常用的特殊方阵 个常用的特殊方阵 n 阶对角矩阵是指形如 apple apple apple apple apple nn a a a A 00 00 00 22 11 的矩阵 n 阶单位方阵是指形如 apple apple apple apple apple 100 010 001 n E的矩阵 n 阶三角矩阵是指形如 apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple nnnnnn n n aaa aa a a aa aaa 21 2221 11 222 11211 0 00 00 0 的矩阵 3 3 3 3 矩阵与行列式的差异 矩阵与行列式的差异 矩阵仅是一个数表 而 n 阶行列式的最后结果为一个数 因而矩阵与行列式是两个完全不同 的概念 只有一阶方阵是一个数 而且行列式记号 与矩阵记号 也不同 不能用错 二 矩阵的运算 二 矩阵的运算 1 1 1 1 矩阵的同型与相等 矩阵的同型与相等 设有矩阵 nmij aA kij bB 若km n 则说 A 与 B 是同型矩阵 若 A 与 B 同型 且对应元素相等 即 ijij ba 则称矩阵 A 与 B 相等 记为BA 因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵 才能说相等 2 2 2 2 矩阵的加 减法 矩阵的加 减法 设 nmij aA nmij bB 是两个同型矩阵则规定 nmijij baBA nmijij baBA 注意 注意 只有 A 与 B 为同型矩阵 它们才可以相加或相减 由于矩阵的相加体现为元素的相加 因而与普通数的加法运算有相同的运算律 3 3 3 3 数乘运算 数乘运算 设 nmij aA k 为任一个数 则规定 nmij kakA 故数 k 与矩阵 A 的乘积就是 A 中所有元素都乘以 k 要注意数 k 与行列式 D 的乘积 只是 用 k 乘行列式中某一行或某一列 这两种数乘截然不同 矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律 4 4 4 4 乘法运算 乘法运算 设 kmij aA nkij bB 则规定 nmij cAB 其中 kjikjijiij bababac 2211 2 1 2 1 njmi 由此定义可知 只有当左矩阵 A 的列数与右矩阵 B 的行数相等时 AB 才有意义 而且矩阵 AB 的行数为 A 的行数 AB 的列数为 B 的列数 而矩阵 AB 中的元素是由左矩阵 A 中某一行元素与 右矩阵 B 中某一列元素对应相乘再相加而得到 故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同 一般地 不满足交换律 即BAAB 在0 AB时 不能推出0 A或0 B 因而也不满足消去律 特别 若矩阵 A 与 B 满足BAAB 则称 A 与 B 可交换 此时 A 与 B 必为同阶方阵 矩阵乘法满足结合律 分配律及与数乘的结合律 5 5 5 5 方阵的乘幂与多项式方阵 方阵的乘幂与多项式方阵 设 A 为 n 阶方阵 则规定 m AAAA m个 特别EA 0 又若 1 110 mm mm f xa xaxa xa 则规定 1 110 mm mm f Aa AaAa Aa E 称 Af为 A 的方阵多项式 它也是一个 n 阶方阵 6 6 6 6 矩阵的转置 矩阵的转置 设 A 为一个nm 矩阵 把 A 中行与列互换 得到一个mn 矩阵 称为 A 的转置矩阵 记 为 T A 转置运算满足以下运算律 AA T TTT BABA TT kAkA TTT ABAB 由转置运算给出对称矩阵 反对称矩阵的定义 设 A 为一个 n 阶方阵 若 A 满足AAT 则称 A 为对称矩阵 若 A 满足AAT 则称 A 为反对称矩阵 7 7 7 7 方阵的行列式 方阵的行列式 矩阵与行列式是两个完全不同的概念 但对于 n 阶方阵 有方阵的行列式的概念 设 ij aA 为一个 n 阶方阵 则由 A 中元素构成一个 n 阶行列式 n ij a 称为方阵 A 的行列 式 记为A 方阵的行列式具有下列性质 设 A B 为 n 阶方阵 k 为数 则 AAT AkkA n BAAB 三 方阵的逆矩阵 三 方阵的逆矩阵 1 1 1 1 可逆矩阵的概念与性质 可逆矩阵的概念与性质 设 A 为一个 n 阶方阵 若存在另一个 n 阶方阵 B 使满足EBAAB 则把 B 称为 A 的 逆矩阵 且说 A 为一个可逆矩阵 意指 A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵 把 A 的逆矩阵 B 记为 1 A 从而 A 与 1 A首先必可交换 且乘积为单位方阵 E 逆矩阵具有以下性质 设 A B 为同阶可逆矩阵 0 k为常数 则 1 A是可逆矩阵 且AA 11 AB 是可逆矩阵 且 111 ABAB kA 是可逆矩阵 且 11 1 A k kA T A是可逆矩阵 且 TT AA 11 可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去 即 设 P 为可逆矩阵 则BAPBPA BABPAP 2 2 2 2 伴随矩阵 伴随矩阵 设 ij aA 为一个 n 阶方阵 ij A为 A 的行列式 n ij aA 中元素 ij a的代数余子式 则矩阵 apple apple apple apple apple nnnn n n AAA AAA AAA 21 22212 12111 称为 A 的伴随矩阵 记为 A 务必注意 A中元素排列的特点 伴随矩阵必满足 EAAAAA 1 n AA n 为 A 的阶数 3 3 3 3 n n n n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法 定理 定理 n 阶方阵 A 可逆 0 A 且 1 1 A A A 推论 推论 设 A B 均为 n 阶方阵 且满足EAB 则 A B 都可逆 且BA 1 AB 1 例例 1 1 1 1设 apple apple dc ba A 1 求 A 的伴随矩阵 A 2 a b c d 满足什么条件时 A 可逆 此时求 1 A 解解 1 对二阶方阵 A 求 A的口诀为 主交换 次变号 即 apple apple ac bd A 2 由bcad dc ba A 故当0 bcad时 即0 A A 为可逆矩阵 此时 apple apple ac bd bcad A A A 11 1 四 分块矩阵 四 分块矩阵 1 1 1 1 分块矩阵的概念与运算分块矩阵的概念与运算 对于行数和列数较高的矩阵 为了表示方便和运算简洁 常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线 把矩阵分割成若干小块 每个小块叫做矩阵的子块 以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵 在作分块矩阵的运算时 加 减法 数乘及转置是完全类似的 特别在乘法时 要注意到应 使左矩阵 A 的列分块方式与右矩阵 B 的行分块方式一致 然后把子块当作元素来看待 相乘时 A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块 2 2 2 2 准对角矩阵的逆矩阵 准对角矩阵的逆矩阵 形如 apple apple apple apple apple r A A A 2 1 的分块矩阵称为准对角矩阵 其中 r AAA 21 均为方阵空白处都是 零块 若 r AAA 21 都是可逆矩阵 则这个准对角矩阵也可逆 并且 apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 1 1 2 1 1 1 2 1 r rA A A A A A 五 矩阵的初等变换与初等方阵五 矩阵的初等变换与初等方阵 1 1 1 1 初等变换初等变换 对一个矩阵 A 施行以下三种类型的变换 称为矩阵的初等行 列 变换 统称为初等变换 1 交换 A 的某两行 列 2 用一个非零数 k 乘 A 的某一行 列 3 把 A 中某一行 列 的 k 倍加到另一行 列 上 注意 矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别 行列式计算是求值过程 用等号连接 而 对矩阵施行初等变换是变换过程用 连接前后矩阵 初等变换是矩阵理论中一个常用的运算 而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成 阶梯形矩阵 以至于化为行简化的阶梯形矩阵 2 2 2 2 初等方阵 初等方阵 由单位方阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵 由于初等变换有三种类型 相应的有三种类型的初等方阵 依次记为 ij P kDi和 kTij 容易证明 初等方阵都是可逆矩阵 且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵 3 3 3 3 初等变换与初等方阵的关系 初等变换与初等方阵的关系 设 A 为任一个矩阵 当在 A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等行变 换 在 A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等列变换 4 4 4 4 矩阵的等价与等价标准形 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵 A 经过若干次初等变换变为 B 则称 A 与 B 等价 记为BA 对任一个nm 矩阵 A 必与分块矩阵 apple apple OO OEr 等价 称这个分块矩阵为 A 的等价标准形 即 对 任 一 个nm 矩 阵 A 必 存 在 n 阶 可 逆 矩 阵 P 及 n 阶 可 逆 矩 阵 Q 使 得 apple apple OO OE PAQ r 5 5 5 5 用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 设 A 为任一个 n 阶可逆矩阵 构造nn2 矩阵 A E 然后 1 AEEA 注意 这里的初等变换必须是初等行变换 例例 2 2 2 2求 apple apple apple 421 412 311 A的逆矩阵 解 解 122 11 3 21 1311 213 32 2 11 3 1 0 0113100 21 4 0 1 0012210 1 24 0 0 1011101 1011101 0 04 21 0122100 1 041 2 0013110 0 131 1 A E apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 行行 行行 行行行行 行行 行行 则 apple apple apple 113 214 124 1 A 例例 3 3 3 3求解矩阵方程 apple apple apple apple apple apple 21 34 11 421 412 311 X 解解 令 apple apple apple apple apple apple 21 34 11 421 412 311 BA 则矩阵方程为BAX 这里 A 即为例 2 中矩阵 是可 逆的 在矩阵方程两边左乘 1 A 得 apple apple apple apple apple apple apple apple apple 20 52 03 21 34 11 113 214 124 1B AX 也能用初等行变换法 不用求出 1 A 而直接求BA 1 20100 52010 03001 21421 34412 11311 1B AEBA apple apple apple apple apple apple 则 apple apple apple 20 52 03 1B AX 六 矩阵的秩 六 矩阵的秩 1 1 1 1 秩的定义秩的定义 设 A 为nm 矩阵 把 A 中非零子式的最高阶数称为 A 的秩 记为秩 A或 Ar 零矩阵的秩为 0 因而 nmA min 0 秩 对 n 阶方阵 A 若秩nA 称 A 为满秩 矩阵 否则称为降秩矩阵 2 2 2 2 秩的求法秩的求法 由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数 又矩阵初等变换不改变矩阵的秩 对任一个 矩阵 A 只要用初等行变换把 A 化成阶梯形矩阵 T 则秩 A 秩 T T 中非零行的行数 3 3 3 3 与满秩矩阵等价的条件 与满秩矩阵等价的条件 n 阶方阵 A 满秩 A 可逆 即存在 B 使EBAAB A 非奇异 即0 A A 的等价标准形为 E A 可以表示为有限个初等方阵的乘积 齐次线性方程组0 AX只有零解 对任意非零列向量 b 非齐次线性方程组bAX 有唯一解 A 的行 列 向量组线性无关 A 的行 列 向量组为 n R的一个基 任意 n 维行 列 向量均可以表示为 A 的行 列 向量组 的线性组合 且表示法唯一 A 的特征值均不为零 AAT为正定矩阵 七 线性方程组的消元法 七 线性方程组的消元法 对任一个线性方程组 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 可以表示成矩阵形式bAX 其中 nmij aA 为系数矩阵 T m bbbb 21 为常数列矩 阵 T n xxxX 21 为未知元列矩阵 从而线性方程组bAX 与增广矩阵 bAA 一一对应 对于给定的线性方程组 可利用矩阵的初等行变换 把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵 从而得到易于求解的同解线性方程组 然后求出方程组的解 例例 4 4 4 4解线性方程组 023 1 14 321 32 321 xxx xx xxx 解 解 把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵 1 3 13 14 11132 0 011 1011 1 132 014 11 105 31 05 3 011 10 111 011 10 000 A b apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 交换行 行行 2行 1 3行 2行 3 1行 得到同解线性方程组 1 35 32 31 xx xx 即 13 23 53 1 xx xx 或 13 23 33 53 1 xx xx xx 取 3 x为自由未知量 可知方程组有无穷多解 上式就是所给方程组的一般解 例例 4 4 4 4解线性方程组 023 1 14 321 32 321 xxx xx xxx 解 解 把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵 1 3 13 14 11132 0 011 1011 1 132 014 11 105 31 05 3 011 10 111 011 10 000 A b apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 交换行 行行 2行 1 3行 2行 3 1行 得到同解线性方程组 1 35 32 31 xx xx 即 13 23 53 1 xx xx 或 13 23 33 53 1 xx xx xx 取 3 x为自由未知量 可知方程组有无穷多解 上式就是所给方程组的一般解 2 2 2 2 向量的线性组合 向量的线性组合 设 m 21 是一组 n 维向量 m kkk 21 是一组常数 则称 mm kkk 2211 为 m 21 的一个线性组合 常数 m kkk 21 称为组合系数 若一个向量 可以表示成 mm kkk 2211 则称 是 m 21 的线性组合 或称 可用 m 21 线性表出 3 3 3 3 矩阵的行 列向量组 矩阵的行 列向量组 设 A 为一个nm 矩阵 若把 A 按列分块 可得一个 m 维列向量组称之为 A 的列向量组 若把 A 按行分块 可得一个 n 维行向量组称之为 A 的行向量组 4 4 4 4 线性表示的判断及表出系数的求法 线性表示的判断及表出系数的求法 向量 能用 m 21 线性表出的充要条件是线性方程组 mm xxx 2211 有解 且每一个解就是一个组合系数 例例 1 1 1 1问 T 5 1 1 能否表示成 T 3 2 1 1 T 4 1 0 2 T 6 3 2 3 的线性组合 解 解 设线性方程组为 332211 xxx 对方程组的增广矩阵作初等行变换 apple apple apple apple apple apple 1100 2010 1001 5643 1312 1201 321 A 则方程组有唯一解1 2 1 321 xxx 所以 可以唯一地表示成 321 的线性组合 且 321 2 二 向量组的线性相关与线性无关 二 向量组的线性相关与线性无关 1 1 1 1 线性相关性概念线性相关性概念 设 m 21 是 m 个 n 维向量 如果存在 m 个不全为零的数 m kkk 21 使得 0 2211 mm kkk 则称向量组 m 21 线性相关 称 m kkk 21 为相关系 数 否则 称向量 m 21 线性无关 由定义可知 m 21 线性无关就是指向量等式0 2211 mm kkk 当且仅 当0 21 m kkk 时成立 特别单个向量 线性相关 0 单个向量 线性无关 0 2 2 2 2 求相关系数的方法 求相关系数的方法 设 m 21 为 m 个 n 维列向量 则 m 21 线性相关 m 元齐次线性方程组 0 2211 mm xxx 有非零解 且每一个非零解就是一个相关系数 矩阵 21m A 的秩小于 m 例例 2 2 2 2设向量组 123 2 1 7 1 4 11 3 6 3 TTT 试讨论其线性相关性 解 解 考虑方程组0 332211 xxx 其系数矩阵 apple apple apple apple apple apple 000 110 201 3117 641 312 321 A 于是 秩32 A 所以向量组线性相关 与方程组同解的方程组为 0 02 32 31 xx xx 令1 3 x 得一个非零解为1 1 2 321 xxx 则02 321 3 3 3 3 线性相关性的若干基本定理 线性相关性的若干基本定理 定理定理 1 1 1 1n 维向量组 m 21 线性相关 至少有一个向量是其余向量的线性组合 即 m 21 线性无关 任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合 定理定理 2 2 2 2如果向量组 m 21 线性无关 又 m 21 线性相关 则 可以用 m 21 线性表出 且表示法是唯一的 定理定理 3 3 3 3若向量组中有部分组线性相关 则整体组也必相关 或者整体无关 部分必无关 定理定理 4 4 4 4无关组的接长向量组必无关 3 3 3 3 线性相关性的若干基本定理 线性相关性的若干基本定理 定理定理 1 1 1 1n 维向量组 m 21 线性相关 至少有一个向量是其余向量的线性组合 即 m 21 线性无关 任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合 定理定理 2 2 2 2如果向量组 m 21 线性无关 又 m 21 线性相关 则 可以用 m 21 线性表出 且表示法是唯一的 定理定理 3 3 3 3若向量组中有部分组线性相关 则整体组也必相关 或者整体无关 部分必无关 定理定理 4 4 4 4无关组的接长向量组必无关 例例 3 3 3 3求出下列向量组的秩和一个极大无关组 并将其余向量用极大无关组线性表出 3 4 4 2 3 4 1 2 6 6 1 1 9 2 2 1 7 2 1 1 54321 解 解 把所有的行向量都转置成列向量 构造一个54 矩阵 再用初等行变换把它化成简化阶梯 形矩阵 BA TTTTT apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 10000 01100 01010 00001 33697 44622 41121 22111 54321 易见 B 的秩为 4 A 的秩为 4 从而秩 4 54321 而且 B 中主元位于第一 二 三 五列 那么相应地 5321 为向量组的一个极大无关组 而且 324 四 向量空间 四 向量空间 1 1 1 1 向量空间及其子空间的定义向量空间及其子空间的定义 定义定义 1 1 1 1n 维实列向量全体 或实行向量全体 构成的集合称为实 n 维向量空间 记作 n R 定定义义 2 2 2 2设 V 是 n 维向量构成的非空集合 若 V 对于向量的线性运算封闭 则称集合 V 是 n R 的子空间 也称为向量空间 2 2 2 2 向量空间的基与维数向量空间的基与维数 设 V 为一个向量空间 它首先是一个向量组 把该向量组的任意一个极大无关组称为向量 空间 V 的一个基 把向量组的秩称为向量空间的维数 显然 n 维向量空间 n R的维数为 n 且 n R中任意 n 个线性无关的向量都是 n R的一个基 3 3 3 3 向量在某个基下的坐标向量在某个基下的坐标 设 r 21 是向量空间 V 的一个基 则 V 中任一个向量 都可以用 r 21 唯一 地线性表出 由 r 个表出系数组成的 r 维列向量称为向量 在此基下的坐标 例例 4 4 4 4证明 1 0 2 0 1 3 2 1 1 321 构成 3 R的一个基 并求出 1 1 1 在此基下的坐标 解 解 考虑由这三个 3 维向量组成的三阶行列式 1 32 11 080 2 01 所以 321 线性无关 它们构成 3 R的基 令 332211 xxx 由 112 123 12 123 1 11 3 22 1 32 111 0111 01 11 011 32 10 422 201 1201 101 3 11 10 22 0 4 22 0 02 T apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 行行 行行 交换 行和 行 行 行 3行 2行 行行3行 2 2 1 2 1 11 1 0 10 0 22 0 4 040 1 01 0 0 10 0 1 apple apple apple apple apple apple apple apple apple 3行1行 2行 0 1 1 得唯一解 123 0 1 1xxx 则所求 在此基下的坐标为 0 1 1 T 第四章第四章线性方程组线性方程组 一 一 线性方程组关于解的结论线性方程组关于解的结论 定理定理 1 1 1 1设bAX 为 n 元非齐次线性方程组 则它有解的充要条件是 ArbAr 定理定理 2 2 2 2当 n 元非齐次线性方程组bAX 有解时 即rArbAr 时 那么 1 bAX 有唯一解 nr 2 bAX 有无穷多解 nr 定理定理 3 3 3 3n 元齐次线性方程组0 AX有非零解的充要条件是nrAr 推论推论 1 1 1 1设 A 为 n 阶方阵 则 n 元齐次线性方程组0 AX有非零解 0 A 推论推论 2 2 2 2设 A 为nm 矩阵 且nm 则 n 元齐次线性方程组必有非零解 二 齐次线性方程组解的性质与解空间 二 齐次线性方程组解的性质与解空间 首先对任一个线性方程组 我们把它的任一个解用一个列向量表示 称为该方程组的解向量 也简称为方程组的解 考虑由齐次线性方程组0 AX的解的全体所组成的向量集合 0 AV 显然 V 是非空的 因为 V 中有零向量 即零解 而且容易证明 V 对向量的加法运算及数乘运算 封闭 即解向量的和仍为解 解向量的倍数仍为解 于是 V 成为 n 维列向量空间 n R的一个子空 间 我们称 V 为方程组0 AX的解空间 三 齐次线性方程组的基础解系与通解 三 齐次线性方程组的基础解系与通解 把 n 元齐次线性方程组0 AX的解空间的任一个基 称为该齐次线性方程组的一个基础解 系 当 n 元齐次线性方程组0 AX有非零解时 即nrAr 时 就一定存在基础解系 且 基础解系中所含有线性无关解向量的个数为rn 求基础解系与通解的方法是 对方程组0 AX先由消元法 求出一般解 再把一般解写成向量形式 即为方程组的 通解 从中也能求出一个基础解系 例例 1 1 1 1求 0 0223 0322 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的通解 解 解 对系数矩阵 A 作初等行变换化成简化阶梯形矩阵 122 12 31 03 41 03 4 3 2121 1110 145 1 1111 1110 000 A apple apple apple apple apple apple apple apple apple 行 1 2行行 1 3行 3行 1 1行1行 1 2行 42 Ar 有非零解 取 43 x x为自由未知量 可得一般解为 44 33 432 431 54 43 xx xx xxx xxx 写成向量形式 令 13 kx 24 kx 为任意常数 则通解为 apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 1 0 5 4 0 1 4 3 21 kkX 可见 apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 1 0 5 4 0 1 4 3 21 为方程组的一个基础解系 四 非齐次线性方程组 四 非齐次线性方程组 1 1 1 1 非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组 即导出组即导出组 的解之间的关系的解之间的关系 设bAX 为一个 n 元非齐次线性方程组 0 AX为它的导出组 则它们的解之间有以下 性质 性质性质 1 1 1 1如果 21 是bAX 的解 则 21 是0 AX的解 性质性质 2 2 2 2如果 是bAX 的解 是0 AX的解 则 是bAX 的解 由这两个性质 可以得到bAX 的解的结构定理 定理定理设 A 是nm 矩阵 且rArbAr 则方程组bAX 的通解为 rnrn kkkX 2211 其中 为bAX 的任一个解 称为特解 rn 21 为导出组0 AX的一个基础解系 2 2 2 2 求非齐次线性方程组的通解的方法 求非齐次线性方程组的通解的方法 对非齐次线性方程组bAX 由消元法求出其一般解 再把一般解改写为向量形式 就得 到方程组的通解 例例 2 2 2 2当参数a b 为何值时 线性方程组 123 2 3 122 0 4321 432 432 4321 axxxx bxxax xxx xxxx 有唯一解 有无穷多解 无解 在有无穷多解时 求出通解 解 解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换 把它化成阶梯形矩阵 23 4 24 1 1 11101 1 110 0 12210 1221 01320 01 01 321101231 1 0111 0 1221 0 01 01 0 001 0 A b abab aa ab a apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 行行 行 3行 行行 2行 1行 当1 a时 4 ArbAr 有唯一解 当1 1 ba时 3 bAr 2 Ar 无解 当1 1 ba时 2 ArbAr 有无穷多解 此时 方程组的一般解为 44 33 432 431 221 1 xx xx xxx xxx 令 2413 kxkx 为任意常数 故一般解为向量形式 得方程组通解为 apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple apple 1 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 21 kkX 第五章第五章特征值与特征向量特征值与特征向量 一 特征值与特征向量 一 特征值与特征向量 1 1 1 1 实方阵的特征值与特征向量的定义与求法实方阵的特征值与特征向量的定义与求法 设 A 为一个 n 阶实方阵 若存在一个数 0 及一个非零 n 维列向量 使得 0 A 则称 0 为 A 的一个特征值 称 是 A 的属于这个特征值 0 的一个特征向量 特征值 0 必是特征多项式AE 的根 而相应特征向量 必是齐次线性方程组 0 0 XAE 的非零解 反之也对 例例 1 1 1 1设 apple apple 42 21 A 求 A 的特征值和特征向量 解 解 A 的特征方程为0 5 42 21 AE 则5 0 21 为 A 的两个特征值 对0 1 求解 0 0EA X 即 121 2 0 240 0 EA apple apple 得方程组的一个基础解系为 apple apple 1 2 1 则 1 为 A 的属于0 1 的一个特征向量 对5 2 同理可求出0 5 XAE的一个基础解系为 apple apple 2 1 2 则 2 为 A 的属于5 2 的一个特征向量 2 2 2 2 特征值和特征向量的性质 特征值和特征向量的性质 性质性质 1 1 1 1设 n 21 是 n 阶方阵 ij aA 的全体特征值 则必有 111 nnn iiiri iii atA A A A A 这里 Atr为矩阵 A 的 n 个对角元之和 称为 A 的迹 性质性质 2 2 2 2设已知 0 为 A 的特征值 为相应特征向量 即 0 A 那么对任意多项式 xf必有 0 fAf 特别 m m A 0 性质性质 3 3 3 3n 阶方阵 A 的属于不同特征值的特征向量必线性无关 二 方阵的相似变换 二 方阵的相似变换 1 1 1 1 矩阵相似的定义与相似矩阵的基本性质矩阵相似的定义与相似矩阵的基本性质 设 A 和 B 是两个 n 阶方阵 如果存在某个 n 阶可逆矩阵 P 使得APPB 1 则称 A 和 B 是相似的 记为 A B 相似矩阵必有相同的特征多项式 因而必有相同的特征值 相同的迹和相同的行列式 但反 之不一定 2 2 方阵相似对角化方阵相似对角化 若 n 阶方阵 A 能相似于一个 n 阶对角矩阵 则说方阵 A 是可以相似对角化的 有以下基本定 理 定理定理n 阶方阵 A 可相似对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量 推论推论当 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值时 A 必能相似对角化 3 3 3 3 方阵相似对角化的方法 方阵相似对角化的方法 设 A 为 n 阶实方阵 若它能相似对角化 即 A 有 n 个线性无关的特征向量 n 21 不妨设它们属于的特征值依次为 n 21 这里可以有重复的 则令 21n P 为一个 n 阶可逆矩阵 必有 apple apple apple apple apple n APP 2 1 1 称这个对角矩阵为 A 的相似标准形 例例 2 2 2 2设 apple apple apple 112 202 213 A 求 A 的相似标准形 解 解 A 的特征方程为0 1 112 22 213 2 AE 则1 0 321 为 A 的特征值 可求出属于0 1 的线性无关特征向量为 T 1 1 1 1 属于二重特征值1 的线性无关特征向量为 TT 1 2 0 0 2 1 32 于是 123 为 A 的三个特征无关特征向量 A 可相似对角化 令 apple apple apple 101 221 011 321 P为可逆矩阵 使得 apple apple apple 1 1 0 1AP P 为 A 的相似标准形 解 解 A 的特征方程为0 1 112 22 213 2 AE 则1 0 321 为 A 的特征值 可求出属于0 1 的线性无关特征向量为 T 1 1 1 1 属于二重特征值1 的线性无关特征向量为 TT 1 2 0 0 2 1 32 于是 123 为 A 的三个特征无关特征向量 A 可相似对角化 令 apple apple apple 101 221 011 321 P为可逆矩阵 使得 apple apple apple 1 1 0 1AP P 为 A 的相似标准形 三 向量内积和正交矩阵 三 向量内积和正交矩阵 1 1 1 1 向量内积的定义和基本性质 向量内积的定义和基本性质 下面我们在 n 维向量空间 n R中讨论 设 T n T n bbbaaa 2121 为两个 n 维列向量 把实数 n i T iib a 1 称为向量 与 的内积 向量的内积具有对称性 线性性与正定性 2 2 2 2 向量的长度 向量的长度 n 维列向量 T n aaa 21 的长度为实数 当1 时 称 为单位向量 对任意一个非零向量 都可以单位化 1 这里 必为单位向量 3 3 3 3 向量的正交 向量的正交 1 设 为两个 n 维向量 若内积0 则称 与 正交 记为 2 如果一个向量组中不含零向量 且其中任意两个向量都是正交的 即两两正交 则称 这个向量组为正交向量组 3 若 S 已知为一个正交向量组 且其中每个向量都是单位向量 则称 S 为标准正交向量 组 4 正交向量组必为线性无关向量组 反之不一定 5 把线性无关向量正交化的方法 施密特正交化 设 321 为线性无关向量组 令 11 1 11 12 22 2 22 23 1 11 13 33 则 321 为与 321 等价的正交向量组 若再把每个 i 单位化 则得到标准正交向量组 4 4 4 4 正交矩阵 正交矩阵 如果 n 阶实方阵 A 满足EAAT 则称 A 为正交矩阵 于是A 为正交矩阵 1 AAT EAAT A为正交矩阵 A 的列 行 向量组为标准正交向量组 当 A 为正交矩阵 1 A 当 A B 为正交矩阵 AB 为正交矩阵 四 实对称矩阵的正交相似对角化 四 实对称矩阵的正交相似对角化 1 1 1 1 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设 A 为一个 n 阶实对称矩阵 则 A 的所有特征值全是实数 且属于不同特征值的特征向量 一定是正交的 2 2 2 2 实对称矩阵的正交相似标准形 实对称矩阵的正交相似标准形 对于任意一个 n 阶实