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刚体 刚体 rigid body 特殊的质点系 在外力作用下 形状和 大小都保持不变 特殊的质点系 在外力作用下 形状和 大小都保持不变 第三章第三章第三章 第三章 刚体力学基础刚体力学基础刚体力学基础刚体力学基础 实际物体实际物体 具有一定质量 形状和大小具有一定质量 形状和大小 忽略形变忽略形变的理想模型 的理想模型 比质点更接近自然界中实际物体的理想模型比质点更接近自然界中实际物体的理想模型 研究方法研究方法 将刚体看成由许多小质点将刚体看成由许多小质点 质元质元 组成 利用 已知的质点规律的叠加来研究刚体的 组成 利用 已知的质点规律的叠加来研究刚体的整体规律整体规律 质量质量 形状和大小形状和大小 形变 形变 A A A B B B 平动平动 刚体运动的基本类型 刚体运动的基本类型 平动 质心的运动可以代表整个刚体的运动 转动 定轴转动和定点转动 平动 质心的运动可以代表整个刚体的运动 转动 定轴转动和定点转动 o O o 定轴转动 定点转动 定轴转动 定点转动 o o o o 一般运动 平动一般运动 平动 转动转动 3 1 刚体运动的描述刚体运动的描述 平动平动 刚体内任一直线的方位刚体内任一直线的方位 在运动过程中始终保持不变 在运动过程中始终保持不变 几何学特征几何学特征 任一质点的运动任一质点的运动 代表整个刚体的运动代表整个刚体的运动 质点运动学质点运动学 刚体平动动力学刚体平动动力学 可用可用质心质心运动来代表运动来代表 质点动力学质点动力学 一 刚体的平动一 刚体的平动 任一时刻任一时刻 刚体内各质点具有相同的速度和加速度 刚体内各质点具有相同的速度和加速度 运动学特征运动学特征 3 1 刚体运动的描述刚体运动的描述 定轴转动定轴转动 如果转轴是固定的转动 如果转轴是固定的转动 特点特点 刚体上各点都绕固定轴作圆周运动刚体上各点都绕固定轴作圆周运动 转动平面转动平面 垂直于转动轴的平面垂直于转动轴的平面 二 刚体的定轴转动二 刚体的定轴转动 转动正方向 参考方向 转动平面 转动正方向 参考方向 转动平面 r 定轴转动的运动学规律定轴转动的运动学规律 0 2 00 22 00 1 2 2 t tt 角 量 描 述 1 刚体上的各点具有刚体上的各点具有相同的角量相同的角量 2 不同圆周上的各点具有不同圆周上的各点具有不同的线量不同的线量 sin sin sin90 ii iii tii tii niii o niii v R vRr aR aR a v R avv 线速度 切向加速度 法向加速度 2 2 i i i itiniii v r r aaaR R 3 2 刚体定轴转动的转动定律3 2 刚体定轴转动的转动定律 一 力对轴的力矩一 力对轴的力矩F 设 在转动平面内设 在转动平面内 FrM sinr FF d 大小 方向 沿轴向上 选定转轴正方向 用选定转轴正方向 用M的 正负可表明力矩的方向 的 正负可表明力矩的方向 r F 转动平面转动平面 M 1 d 3 2 刚体定轴转动的转动定律3 2 刚体定轴转动的转动定律 一 力对轴的力矩一 力对轴的力矩 r F 转动平面转动平面 M d 如果 不在转动平面内如果 不在转动平面内F FFF F 应理解为在转动平面内的力应理解为在转动平面内的力 2 3 如果有几个力同时作用于刚体 如果有几个力同时作用于刚体 n FFF 21 合力矩 合力矩 nn FrFrFrM 2211 1 r 2 r 1 F 2 F 1 2 例 如图所示 解 如图选定转轴正方向 例 如图所示 解 如图选定转轴正方向 222111 sinsin FrFrM 0MM 则的方向和转轴的正方向一致 0MM 则的方向和转轴的正方向相反 z Oi ri fi Fit Fi Fit fit mi ait mi ri 切向分力与圆的半径及 转轴三者互相垂直 切向分力与圆的半径及 转轴三者互相垂直 mi ii ii Ffm a fit 二 刚体定轴转动的转动定律 对 二 刚体定轴转动的转动定律 对mi用牛顿第二定律 用牛顿第二定律 切向分量式为 切向分量式为 z Oi ri fi Fit Fi 两边乘以两边乘以ri 有 有 Fit ri fit ri mi ri2 mi fit 二 刚体定轴转动的转动定律二 刚体定轴转动的转动定律 外力矩外力矩内力矩内力矩 对所有质元的同样的式子求和 对所有质元的同样的式子求和 Fit ri fit ri mi ri2 一对内力的力矩之和为零 所以有一对内力的力矩之和为零 所以有 Fit ri mi ri2 令令 J mi ri2 J为刚体 对于转轴的 为刚体 对于转轴的转动惯量转动惯量 用用M表示表示 Fit ri 合外力矩合外力矩 M J 即即 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 fij mj mi fji ro rj riOi Z 则有则有 MJ 三 三 转动惯量转动惯量 1 转动惯量的物理意义 转动惯量的物理意义 与与amF 地位相当地位相当 m反映质点的平动惯性 反映质点的平动惯性 J反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性 2 i i ir mJ 质点系 dm r m MJ 2 转动惯量的计算 转动惯量的计算 三 三 转动惯量转动惯量 mrJd 2 若质量连续分布若质量连续分布 dm r m dmrdJ 2 质量为线分布质量为线分布dldm 质量为面分布质量为面分布dsdm 质量为体分布质量为体分布dVdm 例例1 常用的几个 常用的几个J 1 均匀圆环 2 均匀圆盘 1 均匀圆环 2 均匀圆盘 R mC C rdrdm 2 drrdmrdJ 32 2 4 0 3 2 1 2RdrrdJJ R 2 2 1 mRJ 2 mRJ c 2 R m 例例1 常用的几个 常用的几个J 3 均匀棒 3 均匀棒 2 3 1 mlJ A C A m l 2 l 2 2 12 1 mlJ c 3 平行轴定理 平行轴定理 C h m JCJ 平行平行 A J JC mh2 3 平行轴定理 平行轴定理 J JC mh2 2 i i i Jmr 222 2cos iicici rrhr h 22 2cos i icii ici iii Jmrmhhmr 0cos ci i iiic i i mxxmrm h 4 对薄平板刚体的正交轴定理 对薄平板刚体的正交轴定理 y ri x z yi xi mi yxZ JJJ 说明说明 1 仅适用于薄板刚体仅适用于薄板刚体 2 xy平面为薄板平面平面为薄板平面 5 回转半径 回转半径2 G mRJ m J RG C A m l 2 l 2 2 3 1 mlJ A 22 3 1 G mRml lRG 3 3 MJFma 对刚体的动力学问题 与联合起来运用 四 刚体定轴转动的转动定律的应用四 刚体定轴转动的转动定律的应用 解题步骤解题步骤解题步骤解题步骤 1 确定研究对象 进行受力分析 画出隔离体受力图 确定研究对象 进行受力分析 画出隔离体受力图 2 建立坐标系 规定转轴正方向 并尽可能使两者在 运动方向保持一致 建立坐标系 规定转轴正方向 并尽可能使两者在 运动方向保持一致 3 对质点的平动用牛顿第二定律 对刚体的转动用转 动定律 列联立方程 对质点的平动用牛顿第二定律 对刚体的转动用转 动定律 列联立方程 4 由物体之间的连接关系及角量与线量的对应关系 列出补充方程 由物体之间的连接关系及角量与线量的对应关系 列出补充方程 5 求解方程 并分析结果的合理性与物理意义 求解方程 并分析结果的合理性与物理意义 例题 例题2 如图所示 一个组合轮由两个匀质的圆盘固接而 成 大盘质量 如图所示 一个组合轮由两个匀质的圆盘固接而 成 大盘质量 M1 6kg 半径 半径 R 0 10m 小盘的质量 小盘的质量 M2 4kg 半径 半径r 0 05m 两盘边缘上分别绕有细绳 细绳的 下端各悬挂质量为 两盘边缘上分别绕有细绳 细绳的 下端各悬挂质量为 m1 m2 2kg 的物体 试求 两物体 的物体 试求 两物体 m1 m2 的加速度大小 两绳子中的张力 的加速度大小 两绳子中的张力 1 m 1 a 1 T gm1 2 m 2 a 2 T gm2 1 T2 T X O 解 解 111 1 1 m gTma N 2 21N 3 16 sm 82 0 sm 63 1 21 2 2 2 1 TT aa 解上述联立方程可得 X O 1 m 1 a 1 T gm1 2 m 2 a 2 T gm2 1 T2 T 2222 2 m gTm a 12 3 T RT rJ 22 12 11 4 22 JM RM r 1 2 5 6 aR ar 例例3 求如图所示的匀质细棒对 轴的转动惯量 求如图所示的匀质细棒对 轴的转动惯量 OO O O l dl r L m dldm 已知 已知 mL dlldmrdJ 222 sin 22 0 22 sin 3 1 sinmLdlldJJ L mrJd 2 2 dJr dm 例题 例题4 计算下列刚体对 计算下列刚体对O轴的转动惯量轴的转动惯量J0 O lm RM 222 2 1 3 1 RlMMRmlJO O 2 1 l m 2 2 l m 2 2 2 2 2 1 42212 1 23 1 ll m l m l mJO J JC mh2 m 的质量为 剩余部分 的质量为 剩余部分 R O O mmmm 3 1 3 4 孔总 2 22 2 0 24 13 2 1 2 1 2 1 2 1 mRRmRmRmJ 孔孔总 2 1 2 1 RmJ 总 210 JJJ 22 2 2 1 2 1 2 1 RmRmJ 孔孔 2 28 15 I FN t 2 a 1 a f T 11 1 m gTm a 21 aaa 222 m gfm a Tf 2 44 u 2 0 sin 2vgh 0 cosMvm uvMm v 2 1 2 hgt lvt mM 0 v m M h MMv Ml落地的时间为t 水平速度为飞行的水平距离为 爆炸前后系统水平方向动量守恒爆炸前后系统水平方向动量守恒 0 VVMMVmv 2 48 1 水平方向系统的动量守恒 水平方向系统的动量守恒 0 M mv V 2 竖直用系统的动量定理 地面对斜面体的平均冲力 竖直用系统的动量定理 地面对斜面体的平均冲力 mvtgmMN t mv gmMN 0 v v N 0 c x 2 50 方法一 方法一 2 2 1 R m r dr d 3 4 sin2 2 00 R R drrdr R drrdds 2 2 1 R dsy dm ydm yc 0 c x 2 50 2 2 1 R m 方法二 方法二 dRRdyRdscoscos2cos2 y dy 3 4 coscos2sin2 2 1 sin 2 2 0 2 R R dRRR R dsR dm ydm yc 方法三 方法三 cossinRxRy 3 2 3 2 2 2 RM 3 33 0 2 2 sinsin 4 3 333 2 c R RdydmRd yR MMM R 0 c x x y 2 22 RR dmRdd d x y 2 64 燃气轮机的推力 燃气轮机的推力 12 12 dmdmdm dtdtdt 200400502 10800N Fvvv 50 作业 作业 3 1 5 6 15 刚体力学刚体力学刚体力学刚体力学 3 3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 一 刚体定轴转动的动能 一 刚体定轴转动的动能 2222 111 222 KKiiii i iii EEm vm rJ 2 222 22222 11 22 1111 2222 C kC CCC JJmh EJJmh JmhJmv 由平行轴定理 刚体上所有质元的动能之和刚体上所有质元的动能之和 h 二 力矩的功二 力矩的功 co s sin d AFd r F rd F rd MFr sin MddA 柯尼希柯尼希 K nig 定理定理 刚体转动动能 随质心的平动动能 绕质心轴的转动动能 2 22 1 2 11 22 k CC EJ Jmv b a b a AF dr 二 力矩的功二 力矩的功 称为力矩的功 称为力矩的功 1221 MAM不变 2 1 AMd 讨论 讨论 1 常力矩的功 2 力矩的功率 1 常力矩的功 2 力矩的功率 M dt Md dt dA P 三 刚体定轴转动的动能定理三 刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对一个绕固定 轴转动的刚体所做的功 等于刚体的转动动能的 增量 合外力矩对一个绕固定 轴转动的刚体所做的功 等于刚体的转动动能的 增量 动能定理动能定理 2 1 2 2 2 1 2 1 JJA 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 JJdJdAA d MJJ dt 转动定律 dJd dt d JMddA 元功 四 功能原理 机械能守恒四 功能原理 机械能守恒 包含刚体转动在内的系统包含刚体转动在内的系统 原质点系的功能原理 同样适用 原质点系的功能原理 同样适用 EE EE 1p1k2p2k 非内外 对于含有刚体的系统 如果在运动过程中只有保守 内力作功 则此系统的机械能守恒 对于含有刚体的系统 如果在运动过程中只有保守 内力作功 则此系统的机械能守恒 0 非内外 kp EEconst 2 11 质点的角动量 角动量守恒定律质点的角动量 角动量守恒定律 一 质点对点的角动量一 质点对点的角动量 vmrPrL m o r P L 大小 大小 L rmvsin 方向 右手螺旋定则判定方向 右手螺旋定则判定 L r P 单位 单位 kgm2 s LPvrm 角动量角动量 注意 作圆周运动的质点的 角动量 注意 作圆周运动的质点的 角动量L mrv P L ro 二 质点角动量定理质点角动量定理 dL M dt MFrP dt rd dt Pd rPr dt d dt Ld dt pd F 牛顿第二定律 质点角动量定理的微分形式质点角动量定理的微分形式 质点所受的合力矩等于它的角动量对时间的变化率质点所受的合力矩等于它的角动量对时间的变化率 2 1 21 t MdtL L t 冲 量 矩 质点角动量定 理的积分形式 质点角动量定 理的积分形式 三 角动量守恒定律角动量守恒定律 dt Ld M 00 dt Ld M则 如果 常矢量即L 1 这也是自然界普遍适用的一条基本规律 这也是自然界普遍适用的一条基本规律 如果对于某一固定点 质点所受的合力矩为零 则 此质点对该固定点的角动量矢量保持不变 如果对于某一固定点 质点所受的合力矩为零 则 此质点对该固定点的角动量矢量保持不变 2 M 0 可以是 可以是r 0 也可以是也可以是F 0 还可能 是 还可能 是r与与F同向或反向 例如有心力情况 同向或反向 例如有心力情况 注意注意 德国天文学家 其主要著作有 神密的宇宙 等 德国天文学家 其主要著作有 神密的宇宙 等 利用第谷多年积累的观察资料 进 行了仔细的分析研究 在哥白尼关 于太阳系学说的思想指引下 后来 获得了描述行星运动的基本定律 开普勒定律 利用第谷多年积累的观察资料 进 行了仔细的分析研究 在哥白尼关 于太阳系学说的思想指引下 后来 获得了描述行星运动的基本定律 开普勒定律 第谷第谷 布拉赫 Tycho Brahe 1546 1601 生于丹麦布拉赫 Tycho Brahe 1546 1601 生于丹麦 开普勒 J开普勒 J Kepler Kepler 1571 1630 例 例1 质量为质量为 m 的小球在一光滑的水平板上作半径为的小球在一光滑的水平板上作半径为r1 速度为速度为v1 的匀 速圆周运动 小球所需的向心力由系在小球上并通过一竖直管的轻绳所提 供 当往下拉绳 的匀 速圆周运动 小球所需的向心力由系在小球上并通过一竖直管的轻绳所提 供 当往下拉绳 使小球作圆周运动的半径变为使小球作圆周运动的半径变为r2 时时 试问此时小球的速度 为多大及拉力所作的功 试问此时小球的速度 为多大及拉力所作的功 1122 rvrvA己知求 解重力和板的反作用力相平衡 只受绳的有心力作用 11221 122 1 211221 2 0 Mrmvrmv rvr v r vvrrvv r 角动量守恒 例 例1 质量为质量为 m 的小球在一光滑的水平板上作半径为的小球在一光滑的水平板上作半径为r1 速度为速度为v1 的匀 速圆周运动 小球所需的向心力由系在小球上并通过一竖直管的轻绳所提 供 当往下拉绳 的匀 速圆周运动 小球所需的向心力由系在小球上并通过一竖直管的轻绳所提 供 当往下拉绳 使小球作圆周运动的半径变为使小球作圆周运动的半径变为r2 时时 试问此时小球的速度 为多大及拉力所作的功 试问此时小球的速度 为多大及拉力所作的功 222 111 22 11 2 22 1 1 33 2 1 1 22 21 22 21 11 111 2 11 22 rrr n rrr rr rr k v AFdrF drmdr r mvrdrmv rdr rr mv r rr m vm vE 动 能 定 理 3 4 刚体的角动量 角动量定理和角动量守恒定律刚体的角动量 角动量定理和角动量守恒定律 一 刚体的角动量一 刚体的角动量 质点对点的角动量为 质点对点的角动量为 vmrPrL 22 iiiiiii i ii i Lrmvrmv k mrkmr JrmLL i ii i i 2 i r i m i v O Z JL 三 角动量守恒定律三 角动量守恒定律 0 L MJconst 当时 二 角动量定理二 角动量定理 dt Ld M 微分形式微分形式 0001 1 0 1 0 JJLLLddtM t t L L 积分形式积分形式 称为称为冲量矩冲量矩 质点系所受对转轴的合外力矩为零 角动量守恒 质点系所受对转轴的合外力矩为零 角动量守恒 dddL MJJJ dtdtdt 例 例2 长为长为l 质量为 质量为 M 的均匀细棒可绕水平光滑固定轴自由转动 起初 棒下垂静止 若质量为 的均匀细棒可绕水平光滑固定轴自由转动 起初 棒下垂静止 若质量为 m 的小球沿水平方向以 的小球沿水平方向以 v0 的速度与棒的中心碰撞 碰撞是完全弹性的 碰撞后小球反向弹回 求 的速度与棒的中心碰撞 碰撞是完全弹性的 碰撞后小球反向弹回 求 1 1 碰撞后 棒开始转动时的 角速度 碰撞后 棒开始转动时的 角速度 2 2 碰撞过程中 小球对棒的冲量 碰撞过程中 小球对棒的冲量 1 解系统 棒小球外力 重力 轴约束力都通过转轴 0 2222 0 22 1111 2223 ll Jmvmv JmvmvJMl 外力矩为零 弹性碰撞 角动量守恒 机械能守恒 0 0 2222 0 0 12 2 43 3 1 43 3 43 mv Mlmvmv Mm l Mm Mlmvmv vv Mm 解方程得 例 例2 长为长为l 质量为 质量为 M 的均匀细棒可绕水平光滑固定轴自由转动 起初 棒下垂静止 若质量为 的均匀细棒可绕水平光滑固定轴自由转动 起初