求极限的方法.doc

_求极限的方法1. 代入法， 分母极限不为零时使用。先考察分母的极限，分母极限是不为零的常数时即用此法。【例1】limx-3(x2-3)/(x4+x2+1)解：limx-3(x2-3)/(x4+x2+1) =(3-3)/(9+3+1)=0【例2】limx-0(lg（1+x）+ex)/arccosx解：limx-0(lg（1+x）+ex)/arccosx =(lg1+e0)/arccos0 =(0+1)/1 =12. 倒数法，分母极限为零，分子极限为不等于零的常数时使用。【例3】 limx-1x/(1-x)解：limx-1 (1-x)/x=0 limx-1 x/(1-x)= 以后凡遇分母极限为零，分子极限为不等于零的常数时，可直接将其极限写作。3. 消去零因子（分解因式）法，分母极限为零，分子极限也为零，且可分解因式时使用。【例4】 limx-1(x2-2x+1)/(x3-x)解：limx-1(x2-2x+1)/(x3-x) =limx-1(x-1)2/x(x2-1) =limx-1(x-1)/x =0【例5】limx-2(x3+3x2+2x)/(x2-x-6)解：limx-2 (x3+3x2+2x)/(x2-x-6) = limx-2x(x+1)(x+2)/(x+2)(x-3) = limx-2x(x+1) / (x-3) =-2/5【例6】limx-1(x2-6x+8)/(x2-5x+4)解：limx-1(x2-6x+8)/(x2-5x+4) = limx-1(x-2)(x-4)/(x-1)(x-4) = limx-1(x-2) /(x-1) =【例7】limh-0(x+k)3-x3/h解：limh-0(x+h)3-x3/h = limh-0(x+h) x(x+h)2+x(x+h)+h2/h = limh-0 (x+h)2+x(x+h)+h2 =2x2这实际上是为将来的求导数做准备。4. 消去零因子（有理化）法，分母极限为零，分子极限也为零，不可分解，但可有理化时使用。可利用平方差、立方差、立方和进行有理化。【例8】limx-01+x2-1/x解：limx-01+x2-1/x = limx-01+x2-1 1+x2+1/x1+x2+1 = limx-0 1+x2-1 /x1+x2+1 = limx-0 x / 1+x2+1 =0【例9】limx-8(1-x)-3/(2+x(1/3)解：limx-8(1-x)-3/(2+x(1/3) =limx-8(1-x)-3 (1-x)+3 4-2x(1/3)+x(2/3)(2+x(1/3)4-2x(1/3)+x(2/3) (1-x)+3 =limx-8(-x-8) 4-2x(1/3)+x(2/3)/(x+8)(1-x)+3 =limx-8 4-2x(1/3)+x(2/3)/(1-x)+3 =-25. 零因子替换法。利用第一个重要极限：limx-0sinx/x=1，分母极限为零，分子极限也为零，不可分解，不可有理化，但出现或可化为sinx/x时使用。常配合利用三角函数公式。【例10】limx-0sinax/sinbx解：limx-0sinax/sinbx = limx-0sinax/(ax)*limx-0bx/sinbx*limx-0ax/(bx) =1*1*a/b=a/b【例11】limx-0sinax/tanbx解：limx-0sinax/tanbx = limx-0sinax/ sinbx*limx-0cosbx =a/b6. 无穷转换法，分母、分子出现无穷大时使用，常常借用无穷大和无穷小的性质。【例12】limx-sinx/x解：x- 1/x是无穷小量 |sinx|sinx/x=0【例13】limx-(x2-1)/(2x2-x-1)解：limx-(x2-1)/(2x2-x-1) = limx-(1 -1/x2)/(2-1/x-1/ x2) =1/2【例14】limn-(1+2+n)/(2n2-n-1)解：limn-(1+2+n)/(2n2-n-1)=limn-n( n+1)/2/(2n2-n-1)=limn- (1+1/n)/2/(2-1/n-1/n2)=1/4【例15】limx-(2x-3)20(3x+2)30/(5x+1)50解：limx-(2x-3)20(3x+2)30/(5x+1)50 = limx-(2x-3)/ (5x+1)20(3x+2)/ (5x+1)30 = limx-(2-3/x)/