河南省安阳县高中数学最新学案 第2章 第14课时 等比数列的前n项和（3）（教师版） 新人教A版必修5.doc

第14课时 等比数列的前n项和(3)【学习导航】知识网络 学习要求 1进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；2提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。【自学评价】1对于分期付款，银行有如下规定：（）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和2若是等比数列，且公比，则数列 ，是等比数列;当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 3. 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式特征，据此判断数列是否为等比数列【精典范例】【例1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？【解】根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列，其中听课随笔515，1.12，则答从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩【例2】某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷如果10年还清，那么每月应还贷多少元？分析：对于分期付款，银行有如下规定：（）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和为解决上述问题，我们先考察一般情形设某商品一次性付款的金额为元，以分期付款的形式等额地分成次付清，每期期末所付款是元，则分期付款方式可表示为：从而有运用等比数列求和公式，化简得这就是分期付款的数学模型【解】设每月应还贷元，共付款1210=120次，则有化简得答每月应还贷款2029.66元追踪训练一1 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？【答案】塔顶3盏灯2我国1980年底人口以十亿计算（）若我国人口年增长率为1.2，则到2005年底我国约有多少人口？（）要使我国到2010年底人口不超过14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？【答案】（1）2005年底我国约有13.5亿人口（2）人口的年平均增长率最高是1.13 顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5按复利计算，该顾客每月应付款多少元？【答案】顾客每月应付款430元4某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？【解】设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列，则a1=1000（1+50%）x=1000x；a2=(1000x)(1+50%)x=1000()2(1+)x;依次类推得a5=1000()51+()2+()3+()4x.由题意知：1000()51+()2+()3+()4x听课随笔=2000解得x424万元【选修延伸】【例3】设数列 的首项a1=1,前n项的和sn满足关系式3tsn(2t+3)sn1=3t(t为常数,且t0, n=2,3,4,)。(1)求证：数列 是等比数列；(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f() (n=2,3,4,)，求的通项公式。(3)求和：b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1【解】(1)求得a1=s1=1 s2=a1+a2=1+a2,代入关系式，得 ,又3tsn(2t+3)sn1=3t, 3tsn1(2t+3)sn2=3t, 两式相减得3tan(2t+3)an1=0,(2)由f(t)= 得bn=f由此可得(3)原式=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)=【例4】在数列中，求数列的前n项和sn.分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。【解】当n=2k(kn+)时，a1,a3,a5,，a2k1，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而a2,a4，a2k，成等比数列，公比为q，首项为a2=9,. 将k=代入得当n=2k1时，由s2k1=s2ka2k，得.追踪训练二1已知等比数列an中，前n项和sn=54,s2n=60,则s3n等于（ c ）a.64 b.66 c.60 d.662已知an是公比为的等比数列，若a1+a4+a7+a97=100,则a3+a6+a9+a99的值是（ a ）a.25 b.50 c.75 d.1253.数列1，1+2,1+2+22，(1+2+22+2n1)，前n项和等于（ b ）a.2n+1n b.2n+1n2 c.2nn d.2n4等比