2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征..ppt

2 2 2用样本的数字特征估计总体 样本的数字特征 1 众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 2 中位数 将一组数据按照从大到小 或从小到大 排列 处在中间位置上的一个数据 或两个数据的平均数 3 平均数 如果这n个数据是 那么叫做这n个数据平均数 一 众数 中位数 平均数的概念 练习 在一次中学生田径运动会上 参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示 分别求这些运动员成绩的众数 中位数与平均数 解 在17个数据中 1 75出现了4次 出现的次数最多 即这组数据的众数是1 75 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的 其中第9个数据1 70是最中间的一个数据 即这组数据的中位数是1 70 这组数据的平均数是 答 17名运动员成绩的众数 中位数 平均数依次是1 75 米 1 70 米 1 69 米 二 众数 中位数 平均数与频率分布直方图的关系 1 众数在样本数据的频率分布直方图中 就是最高矩形的中点的横坐标 例如 在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中 从这些样本数据的频率分布直方图可以看出 月均用水量的众数是2 25t 如图所示 思考 在频率分布直方图中 每个小矩形的面积表示什么 中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系 中位数 直方图面积平分线和横轴的交点的横坐标 0 5 0 04 0 08 0 15 0 22 0 01 0 01 0 5 0 02 中位数是2 02 0 0 5 0 5 1 1 1 5 1 5 2 2 2 5 2 5 3 3 3 5 3 5 4 4 4 5 合计 4 8 频数 分组 频率 0 04 0 08 说明 2 02这个中位数的估计值 与样本的中位数值2 0不一样 这是因为样本数据的频率分布直方图 只是直观地表明分布的形状 但是从直方图本身得不出原始的数据内容 所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致 3 可以从频率分布直方图中估计平均数 平均数的估计值 频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 0 25 0 04 0 75 0 08 1 25 0 15 1 75 0 22 2 25 0 25 2 75 0 14 3 25 0 06 3 75 0 04 4 25 0 02 2 02 t 平均数是2 02 小结 用直方图估计样本数字特征 1 众数为最高矩形下端中点的横坐标2 中位数左右两边频率分布直方图面积相等3 频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 三种数字特征比较 1 众数是样本数据最大集中点 只能反映很少数据2 中位数不受几个极端值影响 只能反映数据中排在中间的数据3 平均数与每个数据值都有关 但受极端值影响较大 1 若平均数 中位数 说明存在较大极端值 2 若平均数 中位数 说明存在较小极端值 3 若平均数 中位数 说明无极端值 思考 在一次射击选拔赛中 甲 乙两名运动员各射击10次 每次命中的环数如下 甲 78795491074乙 9578768677甲 乙两人本次射击的众数 中位数 平均成绩分别为多少环 平均成绩都为7 环数 甲的成绩比较分散 极差较大 乙的成绩相对集中 比较稳定 标准差与方差 1 标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 一般用s表示 通常用公式s 三 对标准差和方差的理解 1 样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度 标准差越小 表明各个样本数据在样本平均数周围越集中 反之 标准差越大 表明各样本数据在样本平均数的两边越分散 2 若样本数据都相等 则s 0 3 当样本的平均数相等或相差无几时 就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征 而样本数据的离散程度 就由标准差来衡量 说明 4 数据的离散程度可以通过极差 方差或标准差来描述 极差反映了一组数据变化的最大幅度 它对一组数据中的极端值非常敏感 方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小 为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度 通常用标准差 样本方差的算术平方根来描述 5 标准差的大小不会越过极差 6 方差 标准差 极差的取值范围 0 当标准差 方差为0时 样本各数据全相等 表明数据没有波动幅度 数据没有离散性 7 因为方差与原始数据的单位不同 且平方后可能夸大了偏差的程度 所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的 但在解决实际问题时 一般采用标准差 题型一众数 中位数 平均数的简单应用 高一 3 班有男同学27名 女同学21名 在一次语文测验中 男同学的平均分是82分 中位数是75分 女同学的平均分是80分 中位数是80分 1 求这次测验全班平均分 精确到0 01 2 估计全班成绩在80分以下 含80分 的同学至少有多少人 3 分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么 思路探索 根据各种数据的定义及意义解决 例1 2 男同学的中位数是75 至少有14人得分不超过75分 又 女同学的中位数是80 至少有11人得分不超过80分 全班至少有25人得分低于80分 含80分 3 男同学的平均分与中位数的差别较大 说明男同学中两极分化现象严重 得分高的和低的相差较大 规律方法1 中位数的求法 1 当数据个数为奇数时 中位数是按从小到大顺序排列的中间那个数 2 当数据个数为偶数时 中位数为排列的最中间的两个数的平均数 2 深刻理解和把握平均数 中位数 众数在反映样本数据上的特点 并结合实际情况 灵活应用 某校在一次考试中 甲 乙两班学生的数学成绩统计如下 选用平均数与众数 中位数评估这两个班的成绩 变式1 解甲班平均分79 6分 乙班平均分80 2分 从平均分看成绩较好的是乙班 甲班众数为90分 乙班众数为70分 从众数看成绩较好的是甲班 甲班的第25个和第26个数据都是80 所以中位数是80分 同理乙班中位数也是80分 但是甲班成绩在中位数以上 含中位数 的学生有31人 占全班学生的62 同理乙班27人 占全班学生的54 所以从中位数看成绩较好的是甲班 如果记90分以上 含90分 为优秀 甲班有20人 优秀率为40 乙班有24人 优秀率为48 从优秀率来看成绩较好的是乙班 可见 一个班学生成绩的评估方法很多 需视要求而定 如果不考虑优秀率的话 显然以中位数去评估比较合适 甲 乙两机床同时加工直径为100cm的零件 为检验质量 各从中抽取6件测量 数据为 甲 9910098100100103乙 9910010299100100 1 分别计算两组数据的平均数及方差 2 根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定 题型二标准差 方差的应用 例2 从甲 乙两种玉米苗中各抽10株 分别测得它们的株高如下 单位 cm 甲 25414037221419392142乙 27164427441640401640问 1 哪种玉米的苗长得高 2 哪种玉米的苗长得齐 变式2 已知一组数据 125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128 1 填写下面的频率分布表 题型三用频率分布表或直方图求数字特征 例3 2 作出频率分布直方图 3 根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数 中位数和平均数 审题指导先由频数分别求出各组的频率 列出频率分布表 画出频率分布直方图 再由频率分布直方图中数字特征的意义作答 规范解答 1 4分 2 8分 3 在 124 5 126 5 中的数据最多 取这个区间的中点值作为众数的近似值 得众数为125 5 事实上 众数的精确值为125 又 前两个小矩形的频率和为0 25 设第三个小矩形底边的一部分长为x 则x 0 2 0 25 得x 1 25 中位数为124 5 1 25 125 75 题后反思 利用频率分布直方图求数字特征 众数是最高的矩形的底边的中点 中位数左右两侧直方图的面积相等 平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 利用直方图求众数 中位数 平均数均为近似值 往往与实际数据得出的不一致 但它们能粗略估计其众数 中位数和平均数 某中学举行电脑知识竞赛 现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图 已知图中从左到右的第一 二 三 四 五小组的频率分别是0 30 0 40 0 15 0 10 0 05 变式3 求 1 高一参赛学生的成绩的众数 中位数 2 高一参赛学生的平均成绩 解 1 用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值 得众数为65 又 第一个小矩形的面积为0 3 设第二个小矩形底边的一部分长为x 则x 0 04 0 2 得x 5 中位数为60 5 65 2 依题意 平均成绩为55 0 3 65 0 4 75 0 15 85 0 1 95 0 05 67 平均成绩约为67 在解决问题时 由于条件的变化 问题的结果有多种情况 不能用同一标准或同一种方