2.1若干数学问题中的数学文化_数学文化.ppt

1 第二章若干数学问题中的数学文化 第一节毕达哥拉斯学派与 2 一 毕达哥拉斯学派和他们的 万物皆数 1 毕达哥拉斯Pythagoras 约前570年 前500年 毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家 数学家 天文学家 3 毕达哥拉斯 公元前570年 公元前500年 4 毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织 但也致力于哲学与数学的研究 促进了数学和理性哲学的发展 并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响 5 相传 哲学 希腊原词意为 智力爱好 和 数学 希腊原词意为 可学到的知识 这两个词是毕达哥拉斯本人所创 6 2 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献 1 数学证明的起始泰勒斯 毕达哥拉斯 欧几里得证明是要有假设的 公设 公理及定义 许多人推测 欧几里得 几何原本 前两卷的大部分材料 来源于毕达哥拉斯学派 7 2 数学抽象的提出从实物的数与形 抽象到数学上的数与形 本身就把数学推向了科学 3 毕达哥拉斯定理即 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 在中国叫商高定理或勾股定理 8 中国关于勾股定理的贡献 周髀算经 卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话 商高答周公问时提到 勾广三股修四经隅五 这是勾股定理的特例 卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子 约公元前6 7世纪 的对话中 则包含了勾股定理的一般形式 以日下为勾 日高为股 勾股各自乘 并而开方除之 得邪至日 9 10 中国数学史上最先完成勾股定理证明的 是公元3世纪三国时期的赵爽 赵爽注 周髀算经 作 勾股圆方图 其中的弦图 相当于运用面积的 出入相补 方法 证明了勾股定理 如图 11 弦图 12 13 西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理 曾经有人编书 收集了勾股定理的370种证法 14 3 毕达哥拉斯学派的 万物皆数 学说 1 万物皆数 学说 数 是世界的法则毕达哥拉斯说的 数 是指自然数 即正整数 同时还包含它们的比 即正分数 任意两条线段a d都是可公度的 可公度的 意即有公共的度量单位t 15 2 实例 形数三边形数 四边形数 五边形数 六边形数 如图 16 三边形数四边形数五边形数六边形数 17 形数 体现了数与形的结合 思 找出三边形数 四边形数 五边形数 六边形数等各种 形数 的尽可能多的规律 18 毕达哥拉斯学派的 万物皆数 学说 加强了数学中的理论化倾向 毕达哥拉斯学派相信 造物主是按照数学来创造世界的 自然现象可以通过数学来理解 19 多个场合下的小整数比 产生谐音的各个弦的长度成小整数比绷得一样紧的两根弦 若其长度成小整数比 就会发出谐音 例如 1 2时短弦的音高8度 2 3时短弦音高5度 3 4时短弦音高4度 当三根弦的长度之比为3 4 6时 就得到谐音 20 同名正多边形复盖平面的情形 即铺正多边形地砖的情形 只有三种情况 环绕平面上一个点可以紧密地放6个正三角形 或者4个正方形 或者3个正六边形 如图 21 毕达哥拉斯学派确信 宇宙的和谐在于数 神是以数的规律创造世界的 22 二 与第一次数学危机 但是 对 万物皆数 理论产生冲击的 却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现 用现在的符号 这就是 23 1 的发现和危机的产生1 一个不能表成整数比的数根据毕达哥拉斯定理 边长为1的正方形 其对角线长度若记为 则 推出 如图 C1 1 24 下边我们证明 当时 不能表成整数比 如果不然 有两个正整数和使 不妨设是既约分数即 两端平方得 即 由此知是偶数 由于偶数的平方是偶数 奇数的平方是奇数 是偶数 25 因 既约 不能再是偶数 于是是奇数 这样的左端 因是奇数而不能被4整除 右端却因是偶数而可以被4整除 这个矛盾说明开始的假设是错误的 从而不能表成两个整数的比 证毕 注 这是 反证法 的开始 26 2 不可公度的线段设正方形的边长为 对角线长为 如图 da a 27 根据毕达哥拉斯定理 如果存在第三个线段长为 使得和都是的整数倍 例如 这里 是整数 28 由得 从而 又可以类似于上一个证明导出矛盾 所以 不可能存在长度为的线段 使得且 于是 与就是不可公度线段 29 3 危机产生 封锁消息希帕索斯泄露秘密 被抛进大海 希帕索斯 Hippasus 30 4 无理数像这样的数 和其它一些不能表成整数比的数 称为无理数 31 称两个整数之比为有理数 而把一类数叫做无理数 即没有道理的数 原来是翻译出了问题 rationalnumber是有理数的英文名称 而rational是一个多义词 含有 比的 有理的 意思 而词根ratio来自希腊文 完全是 比 的意思 对 rationalnumber 正确的翻译应该是 比数 这名称正确反应了这类数是两个整数之比的内涵 人类在认识有理数之前 唯一知道的是自然数 那时所谓的 数 都是自然数 把新产生的数叫做比数完全符合古人的逻辑 32 在东方 最早把rationalnumber翻译过来的是日本人 可能是那个日本人英文不好 数学又不太懂 把它们翻译成 有理数 而日本文字又和汉字形似 于是中国人把这三个字照搬过来 沿用至今 形成习惯 如果正确地把两个整数之比叫做 比数 那么像一类的数称为 非比数 还是颇有道理的 33 2 两个量的比相等 的新定义 部分地消除了危机 34 两个量的比相等 即 约公元前370年 希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义 称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等 如果取第一个和第三个量的任何相同的倍数 第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后 从第三个量的倍数大于 等于或小于第四个量的倍数 便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系 35 这种定义 也被欧几里得在 几何原本 中采用 36 3 无理数与数系的扩张 危机的解决1 有理数的稠密性定义 一个数集在数轴上是稠密的 是指 在数轴上 每一个不管处于什么位置 也不论是多么小的区间 中都存在着这个数集中的点 定理 有理数集在数轴上是稠密的 37 2 数轴 古代观点 数轴 有理数 现代观点 数轴 实数 38 3 数系的扩张 危机的解决 自然数系 有理数系 实数系 39 实数系具有连续性 有理数系具有稠密性 却不具有连续性 数系的连续性和稠密性是两个不同的概念 数系的稠密性 通俗说成 到处都有 密密麻麻 数系的连续性 通俗说成 一个挨一个 针插不进 水泼不进 连续性是一个很好的性质 但是对 数系的连续性 的概念 给出严格的数学定义 就不那么容易了 40 思 能说 任何两个有理数之间都有无理数 吗 为什么 41 三 反证法与无理数 1 反证法1 反证法的威力 42 例 有数学书 物理书 外语书共十本 证明 在这三种书籍中 有一种书籍至少有四本 正面证法 穷举法数学书10998887777 0 0物理书0010120123 0 10外语书0102103210 10 0 43 2 反证法的步骤应用反证法证明的主要步骤有三步 否定命题 推导出矛盾 命题成立 实施证明的具体步骤是 第一步 反设 作出与求证命题相反的假设 第二步 归谬 将反设作为条件 并由此通过一系列的正确推理导出矛盾 第三步 结论 说明反设不成立 从而肯定原命题成立 44 3 哈代对反证法的评论 反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策略 棋手可以牺牲的是只是几个棋子 而数学家可以牺牲整个一盘棋 45 2 是无理数 的另一个反证法证明 46 算术基本定理 设是任一正整数 则其中是素数 在不计次序的意义下 表示式是唯一的 47 证明 设 p q为正整数 则 于是 设表示为个素因数的乘积 表示为个素因数的乘积 于是 是个素数的乘积 是个素数的乘积 这样 是个素数的乘积 因为它有额外的素因数2 分解成素数的数目是偶数 分解成素数的数目是奇数 这违反了算术基本定理 这个矛盾证明了不存在平方是2的有理数 是有理数 导致了矛盾 48 3 定理 设是大于1的自然数 写成不同素数方幂的乘积为 则是有理数全是偶数 49 抓三堆 有三堆谷粒 例如100粒 200粒 300粒 甲 乙轮流抓 每次只能从一堆中抓 最少抓1粒 可抓任意多粒 甲先抓 规定谁抓到最后一把谁赢 问 甲应该如何抓 为什么 50 提示 二进制 51 抓三堆 的二进制解法 用二进制表示这三堆谷粒数 写成三行 并上下对齐 各列相加 列的加法定义为这就是模2加法 只要是2的倍数 就记为0 关于模2加法 可以推广 比如推广为模7加法 例1 1号是星期一 问27号是星期几 解答 27号与1号相差26天 因为 说明过去3个7天之后 再过5天 这样27号这天就是星期一再加上5天 即星期六 事实上 这里只要是有7的倍数 就都可以记为0 例2 1号是星期三 问27号是星期几 答 星期一 52 思 9月号是星期 问9月号是星期几 53 我们断言 把三堆谷粒数均表为二进制 写成三行 将位数对齐 各列模2相加 若和全为0 则后抓者有必胜策略 若和中出现1 则先抓者有必胜策略 和中出现1时 先抓者的具体策略是 先抓者从最左边的1所在的列 寻找某堆的谷粒数中相应的列也有1 就从该堆中抓走适当个数 使得抓完后各列的和 模2 为0 54 抓三堆 中的数学思想 由于谷粒数越来越少 最后 先抓者可以使得后抓者始终面临各列模2之和为 0 0 0 状态 这意味着先抓者获胜 后抓者只要抓 谷粒就将减少 因此该行中至少有一个1变为0 如果1都不变为0 只会使谷粒数增加或不变 从而该列模2之和将为1 于是先抓者就不会面临 0 0 0