（江苏专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 空间向量及其运算 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 空间向量及其运算 理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使得ba.推论如图所示，点p在l上的充要条件是ta其中a叫直线l的方向向量，tr，在l上取a，则可化为t或(1t)t.(2)共面向量定理如果两个量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得pxayb.推论的表达式为xy或对空间任意一点o，有xy或xyz，其中xyz 1 .(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使pxe1ye2ze3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点o，作a，b，则aob叫做向量a与向量b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，r)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()(5)若a、b、c、d是空间任意四点，则有0.()(6)对空间任意一点o与不共线的三点a，b，c，若xyz(其中x，y，zr)，则p，a，b，c四点共面.()1.如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为a1c1与b1d1的交点.若a，b，c，则向量 (用a，b，c表示).答案abc解析()c(ba)abc.2.与向量(3，4,5)共线的单位向量是 .答案和解析因为与向量a共线的单位向量是，又因为向量(3，4,5)的模为5，所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是(3，4，5)(3，4,5).3.如图，在四面体oabc中，a，b，c，d为bc的中点，e为ad的中点，则 (用a，b，c表示).答案abc解析abc.4.(教材改编)已知a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy的值为 .答案1或3解析依题意得解得或5.(教材改编)正四面体abcd的棱长为2，e，f分别为bc，ad中点，则ef的长为 .答案解析|2()22()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，ef的长为.题型一空间向量的线性运算例1(1)已知在空间四边形oabc中，a，b，c，点m在oa上，且om2ma，n为bc的中点，则 (用a，b，c表示).(2)如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，o为ac的中点.化简 ；用，表示，则 .答案(1)abc(2)解析(1)显然()abc.(2)().()，().引申探究1.若本例(1)中将“点m在oa上，且om2ma”改为“m为oa的中点，点g在线段mn上，且2”，则 .答案abc解析如图所示，()()abc.2.若本例(2)中条件不变，问题改为：设e是棱dd1上的点，且，若xyz，试求x，y，z的值.解()，由条件知，x，y，z.思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.在三棱锥oabc中，m，n分别是oa，bc的中点，g是abc的重心，用基向量，表示，.解()().题型二共线定理、共面定理的应用例2已知e、f、g、h分别是空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da的中点，(1)求证：e、f、g、h四点共面；(2)求证：bd平面efgh；(3)设m是eg和fh的交点，求证：对空间任一点o，有().证明(1)如图，连结bg，则()，由共面向量定理的推论知：e、f、g、h四点共面.(2)因为()，所以ehbd.又eh平面efgh，bd平面efgh，所以bd平面efgh.(3)找一点o，并连结om，oa，ob，oc，od，oe，og，如图所示.由(2)知，同理，所以，即eh綊fg，所以四边形efgh是平行四边形.所以eg，fh交于一点m且被m平分.故()().思维升华(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明a，b，c三点共线，即证明，共线，亦即证明(0).(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明p，a，b，c四点共面，只要能证明xy或对空间任一点o，有xy或xyzoc(xyz1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.如图，正方体abcda1b1c1d1中，e是a1b上的点，f是ac上的点，且a1e2eb，cf2af，则ef与平面a1b1cd的位置关系为 .答案平行解析取a，b，c为基底，易得(abc)，而abc，即，故efdb1，且ef平面a1b1cd，db1平面a1b1cd，所以ef平面a1b1cd.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a，点m、n分别是ab、cd的中点.(1)求证：mnab，mncd；(2)求mn的长；(3)求异面直线an与cm所成角的余弦值.(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.即mnab.同理可证mncd.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)a2a2a22()2a2.|a.mn的长为a.(3)解设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr)(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)(a2).又|a，|cos aacos .cos .向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线an与cm所成角的余弦值为.思维升华数量积的应用(1)求夹角，设向量a，b所成的角为，则cos ，进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离)，运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题，利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.如图所示，四棱柱abcda1b1c1d1中，底面为平行四边形，以顶点a为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求ac1的长；(2)求证：ac1bd；(3)求bd1与ac夹角的余弦值.解(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112()6，|，即ac1的长为.(2)abc，ba，(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.，ac1bd.(3)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.ac与bd1夹角的余弦值为.10.“两向量同向”意义不清致误典例已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为 .易错分析将a，b同向和ab混淆，没有搞清ab的意义：a、b方向相同或相反.解析由题意知ab，所以，即把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2或x1，当x2时，y6；当x1时，y3.当时，b(2，4，6)2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去.当时，b(1,2,3)a，a与b同向，所以答案1,3温馨提醒(1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足ab(b0)且0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例.方法与技巧1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.失误与防范1.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但(ab)ca(bc)不一定成立.2.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.a组专项基础训练(时间：40分钟)1.在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是 .答案0解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.2.已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为 .答案2解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.3.如图，已知正方体abcda1b1c1d1中，点e、f分别是底面a1c1和侧面cd1的中心，若0，则 .答案解析连结a1c1，c1d，则ef是三角形a1c1d的中位线，与共线，则，.4.空间四边形abcd的各边和对角线均相等，e是bc的中点，那么下列关系正确的是 .；与的大小不能比较.答案解析取bd的中点f，连结ef，则ef綊cd，因为，90，因为0，.5.已知a，b是异面直线，a，ba，c，db，acb，bdb且ab2，cd1，则异面直线a，b所成的角等于 .答案60解析如图，设a，b，c，则abc，所以cos，所以异面直线a，b所成的角等于60.6.在空间四边形abcd中，则的值为 .答案0解析方法一如图，令a，b，c，则()()()a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.方法二如图，在三棱锥abcd中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直.0，0，0.0.7. a，b，c，d是空间不共面四点，且0，0，0，则bcd的形状是 三角形(填锐角、直角、钝角中的一个).答案锐角解析因为()()220，所以cbd为锐角.同理bcd，bdc均为锐角.8.设oabc是四面体，g1是abc的重心，g是og1上的一点，且og3gg1，若xyz，则(x，y，z)为 .答案(，)解析如图所示，取bc的中点e，连结ae.()()()()，xyz.9.已知空间中三点a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)，设a，b.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值.解(1)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.(2)方法一kab(k1，k,2).ka2b(k2，k，4)，且kab与ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k，当kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或.方法二由(1)知|a|，|b|，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，得k2或k.当kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或.10.如图，在棱长为a的正方体oabco1a1b1c1中，e、f分别是棱ab、bc上的动点，且aebfx，其中0xa，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.(1)写出点e、f的坐标；(2)求证：a1fc1e；(3)若a1、e、f、c1四点共面，求证：.(1)解e(a，x,0)，f(ax，a,0).(2)证明a1(a,0，a)，c1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，a1fc1e.(3)证明a1、e、f、c1四点共面，、共面.选与为在平面a1c1e上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.b组专项能力提升(时间：30分钟)11.已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是 .答案(3,1,3)解析设p在基底ab，ab，c下的坐标为x，y，z.则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为p在a，b，c下的坐标为(4,2,3)，所以p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐标为(3,1,3).12.已知abcda1b1c1d1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体abcda1b1c1d1的体积为|.其中正确命题的序号是 .答案解析中()22223()2，故正确；中，ab1a1c，故正确；中a1b与ad1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|0，故也不正确.13.(2015浙江)已知e1，e2是空间单位向量，e1e2，若空间向量b满足be12，be2，且对于任意x，yr，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0r)，则x0 ，y0 ，|b| .答案122解析方法一对于任意x，yr，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0r)，说明当xx0，yy0时，|b(xe1ye2)|取得最小值1.|b(xe1ye2)|2|b|2(xe1ye2)22b(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y，要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值，需要把x2y2xy4x5y看成关于x的二次函数，即f(x)