微商与微分.doc

第四章 微商与微分概念清楚，运算熟练与准确，是本章的基本要求1 微商概念及其计算 1微商概念 例1 质点作变速直线运动的瞬时速度设质点沿直线作变速运动，运动规律 ，问题：求质点在时刻的瞬时速度从到一段时间内，质点所走过的路程为 平均速度为 当愈小，则平均速度就愈接近瞬时速度，因而当时，平均速度的极限就是瞬时速度，即 例2 非均匀棒的密度均匀的棒：它的任何一段的质量，都与它的长度成正比， ，常数是棒的单位长的质量， 称为均匀棒的(线)密度非均匀棒：在棒的某些地方物质分布得密一些，有些地方则不太密， 因而棒的同样长度的两段，一般说来就有不同的质量 设棒位于数轴的上， 对应的这一段的质量是，问题：求出棒的密度。考虑从到+之间的一段上的质量 平均密度为 愈小，则平均密度就愈精确地描写棒在的密度情况，因而当时，平均密度的极限 例3 曲线切线的斜率设函数 ，问题：求曲线上点切线的斜率。切线定义： 曲线上两点作成的割线，当点沿曲线无限接近点时的极限位置。割线的斜率： 曲线上点切线的斜率 上面三个例子讨论了三个不同的问题：物理的，几何的抽去实际意义，在数学上有共同的数量关系：函数的增量比自变量的增量当的极限 定义41 设函数在点附近有定义对于自变量在点的任一增量，函数在该点的相应改变量为 若极限 存在，则称函数在点可导，并称极限值为在的微商(differential quotient)或导数(derivative)，记为 ，或，或若令，则也有 注1 质点运动的速度是路程对时间的导数； 非均匀细棒的密度是质量对长度的导数； 曲线切线的斜率是函数对自变量的导数。 （这也是导数的几何意义）注2 记号 是整体，不是商（至少现在是这样）注3 导数是逐点定义的，它依赖于给定的点。当在定义域的某子 集上变动时，导数均存在。则构成导函数，记为 或 或 ，例3 求在的微商 解 () ， 2例4 求在的微商 解 ()2(+)sin， 因此 ， 2可导与连续的关系在点可导 存在 在点连续定理4.1 若在点可导，则在点连续函数在点不连续，则它在点一定不可导。在点不可导在点不连续 在点可导 在点连续 例5 函数，它在点连续，但在点不可导 1， 1，左极限不等于右极限，即差商的极限 不存在，所以在点不可导 若存在，则称在点有左导数，记为； 若存在，则称在点有右导数记为。 在点可导在点，都存在且相等 若在区间可导，而在有右导数，在有左导数，则称在闭区间可导 微商与连续的关系3微商的计算微商定义反函数的微商法则复合函数微商法则微商的四则运算法则基本初等函数的微商初等函数的微商 微商定义和 微商的四则 两个重要极限 运算法则 反函数的微商法则 复合函数微商法则基本初等函数的微商公式 (1) 常值函数 0 0(2) ,其中是正整数 因此 ，(3) 正弦函数， （用到重要极限） 余弦函数， (4) 对数函数， ，（用到重要极限） 0， ， ， ， 微商的四则运算法则 定理4.2 若函数和在点可导，则(i) =(ii) (iii) 。证明 (i) 因为 ，所以。(ii) 由于 注意到可导必连续，则 (iii) 由于 同样利用可导必连续得 定理4.2证完。利用商的微商运算法则，立得 反函数的求导法则定理4.3 若函数在点附近连续且严格单调，又，则其反函数在点可导，且 证明 由在附近连续且严格单调，则反函数在点附近连续且严格单调因此，若，则，且当时有，故由复合函数求极限法则得 定理4.3证完。(5) 指数函数（）。 特别 ， （6） 反三角函数 ， 则 ； ， 则 ； ， 则 ； ， 则 。， 则 ， 则 复合函数的求微商法则定理4.4(复合函数求导法则，链式法则) 若函数在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，且 或 证明 定义函数 则 ，故在点连续，在恒等式 中令代入得 两边除以得 由复合函数的连续性知 ，由于在点可导 ，或 问题：为什么要引入函数！下面的证明是否正确： ，当时，有，故定理结论成立。注1 若的定义域包含的值域，且两个函数在各自的 定义域上可导，则导函数为 或 ， 或 注2 推广到多个函数的复合情形函数，和的复合函数对的导数为 或 链式法则的物理意义： 在单位时间由决定的变化率 =（在单位时间内的变化率）*（在单位时间内的变化率） (6) 幂函数在 的微商 。 ， 基本初等函数的微商公式：(1) ；(2) ； ， ，；(3) ， ；(4) ， ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) 其次，我们有微商的运算法则：(1) ；(2) ； 四则运算法则(3) ；(4) 反函数求导法则 (5) 链式法则根据这张微商表和微商法则我们能够“机械化”地计算一切初等函数的微商。这是引入微商概念(瞬时变化率)的重要原因。 例7 设，求。例8 设，求 。例9 设，求。对数求导法例10 设，求。解 两边取对数得 上述两边对求导得 ，因此 例 设，求解 两边取对数 ，两边对求导得 ，故 解法2 因为 ，所以 对数求导法的说明因为 当时， 当时，因此，对于函数，取对数时不妨设。函数在一点连续但并不可导的例子函数，它在点连续，但在点不可导，导函数在点第一类间断。例 函数 ，在定义域内连续，但 ，当时， 几何上表示曲线在处的切线平行于y轴。故在点不可导，导函数在第二类间断（无穷型）。例 设 ，当时，显然在连续而由于极限不存在，故在点不可导，导函数在第二类间断（振荡型）。我们知道，当时，不断地在1和1之间摆动，从图形上看就是当点沿曲线趋于原点时，割线在直线之间摆动注意，并不是割线不断摆动就无切线例如函数 有 ，故 可见在点可导，几何上在0点割线的斜率也是不断摆动的，但它有个极限位置。是导函数的第二类间断点。问题： 是否不存在，则不存在？ 能否这样求导数 ？ 是否若存在，则必存在？问题：是否若存在，则必存在？利用导数定义求极限例 注 这两个极限都可