微分方程——.docx

微分方程式一种工具，可以预见未来；现实世界：飞行飞行模拟装置微分方程的作用1、模型化现象模型化后的数学模型是包含微分的方程故为微分方程；模型：微分方程（数学世界）能够完成模拟实验，也能用于预测；3、解释2、计算解：函数飞行模拟装置大气运动模型化。模型计算。函数的解解释。气象模拟实验。天气预报关于物理运动的定律和法则；1、牛顿运动方程；如果得到的结果发生严重偏离，就再次返回到模型化这个步骤，考虑更加精密的模型；采用何等精度的模型取决于想从多远的距离眺望滑翔机。从遥远的地方眺望时，可以忽略其形状，当做一个点来处理；若想知道滑翔机周围空气的流动状态时，应考虑更加复杂和精密的模型；模型化是经验！掌握根据模型判断结果的知识；对于典型现象，可以考虑各种各样的模型，因此，要学会使用这些模型。贯通现实世界与数学世界的本事。为什么能用微分方程进行模型化？“微积分的基本定理”1、函数、变量和曲线F常常作为函数的符号，但，将现象模型化时，经常用文字表示。变量：将任意的数用文字表达的产物。自变量与因变量是主从关系。滑翔机的运动模型化时必要地变量，时间是自变量；位移是因变量。斜率：数学世界中的变化率。更具有普遍性。指数函数、连续递增、递减“e”叫做纳皮尔数。指数函数的反函数叫做对数函数连续变化的同时变化慢慢减弱底数为e的对数称为自然对数。（在处理微分方程方面尤其重要）三角函数递增、递减摇摆变化的函数。定义：以直角三角形的各个边长与角的关系定义的函数双曲线函数与三角函数性质非常相似的函数欧拉公式：引入虚数形成难以分离的关系；欧拉公式：双曲线函数公式：微分：运动状态变化的情况。速度变化的时候，图标变成曲线。变化率曲线上点的切线的斜率；求“极限”(limit)是变量无限趋近于某个数的数学操作（方便连接现实世界与数学世界）_瞬时速度_平均速度2理解为两次微分线性微分的次数=导函数的阶数微分方程积分：齐次非齐次齐次非齐次非线性一阶齐次线性：一阶非齐次线性：考虑重力和粘性阻力的情况下的运动方程 第四章二阶齐次线性：考虑谈了和阻力的振动体系的运动方程 第五章二阶非齐次线性：包含外力的振动体系的运动方程 第五章可分离变量微分方程：现象模型解解释马尔萨斯法则核衰变各种各样的现象与一个表达式物流模型。（八组）现象：递增、递减的现象。用可分离变量微分方程做一个模型。北海道鹿增加时捕食鹿的北海道狼极度减少所致现实世界数学世界现象（鹿数量增加）模型化得到（模型） 应用 现象的说明解释解0时，鹿随时间急剧增加；值变大时，以更快的速度增加；从现实世界中鹿的数量，调查初始条件和然后推算病预测今后鹿的数量；马尔萨斯法则：世界人口大爆发成为问题的不是人口的持续增加，而是人口的指数函数式的增加。最初提出人口增长方式与食物增长方式不同之处的人就是马尔萨斯。马尔萨斯法则：人口增加率与人口P成正比。比例常数表示人口增加的微分方程参数叫做增殖率，也叫马尔萨斯径数（径数是参数，不是系数）核衰变：利用放射性物质的衰变速度来测定年代；提起放射性物质，总让人感觉存在着一股危险的气息。实际自然界也有恒定比例的放射性物质存在，平常我们身边也存在。年代测定中，经常使用的物质是碳元素。它是组成包括我们人类在内的所有生物社体的基本元素之一。植物在吸收碳元素时，如果释放出与时钟相关联的东西，就可得知这个植物生存的年代。动物食用碳元素的植物，也可大概推测食用这些植物的动物生存的年代。这些碳元素中，能够巧合地发现类似时钟的东西。是宇宙中发射的放射线与上层空气发生碰撞所产生的中性粒子，与空气中的氮元素反应的产物。产生的碳元素与氧气发生化合反应变成二氧化碳，在大气中扩散。不能长时间稳定地存在。最终会发射放射线，变成其他元素。（不仅限于）核衰变：发射放射线变成其他元素的现象；放射性同位素：发生核衰变的同位素；放射性同位素按照恒定的概率进行衰变。发生核衰变变成其他元素，所以原来的放射性同位素的数量会减少（不重新供给的话）。半衰期：原有的放射性同位素的原子经过衰变之后变成原来的一半的时间间隔；根据放射性同位素的不同而数值不同。的半衰期是5730年。大气中的和的比例是恒定的（严密地说也不是恒定的，为此，年代测定的正确性受到质疑，关于推测年代的讨论也此起彼伏）含和的二氧化碳的化学性质完全相同（物理性质不同），即，植物细胞内的和的比例是恒定的。但，不进行光合作用时，就会放出类似时钟的东西。植物、动物都可以通过调查生物遗体内所含和的比例得知光合作用何时停止的。原子数的变化率（衰变速度）与原子数成正比。随时间的推移会有恒定比例的原子开始衰变。半衰期与衰变常数的倒数成正比；衰变时间。这一点较为玄妙。等值树停止光合作用的时间，但不能得知树木的年代。各种各样的现象与一个表达式：各种各样的现象费希纳法则核衰变马尔萨斯法则火箭的到达速度 现实世界 数学世界牛顿冷却法则物流模型：考虑实际情况，马尔萨斯径数改写成随着人口P的增加变小的形式，K为常数，则 _被修正过的描述人口增长的微分方程被修正的微分方程的解设t=0时人口为，则_修正的微分方程的解得到的解虽然有点复杂，要领就是从极端的地方开始考虑。,即，开始时，以指数函数式增加，接着增加率变得迟缓，然后到达恒定的值。上图为被修正后的人口增加模型；这个模型被称作物流模型。能很巧妙地说明工业制品普及的情况一阶非齐次线性微分方程常数变易法现象模型解解释常数变易法逐渐变化后变成恒定值的现象的说明；运动的物体受拖拽空气产生粘性阻力和运动队物体正面碰撞空气的时候产生的惯性阻力粘性阻力拖拽产生的阻力与物体的速度成正比惯性阻力碰撞产生的阻力与速度的平方成正比阻力大小不可能超过重力的大小空气阻力粘性阻力惯性阻力 速度 速度 空气粘度 空气的密度 物体的大小 物体的横截面积 由物体形状决定的常数若，物体为球形，L表示直径，L=2r，则有： 空气阻力小物体在黏性大的黏糊流体中缓慢移动时，黏性阻力变成主要阻力；大舞台在黏性小的清爽液体中快速移动时，惯性阻力变成主要阻力；雨滴是什么？判断标志雷诺数黏性阻力与惯性阻力之比，叫做雷诺数雷诺数小时，黏性阻力发挥主要作用，反之，惯性阻力发挥主要作用；大气中，这样，L=0.1mm为黏性阻力与惯性阻力发挥主要作用的分界点。半径雨滴1000m（=1mm）云凝结核10m（=0.01mm）BB弹介于雨滴与云凝结核分界点的物质模型：物体在空气中下落的运动方程。（笔直向下）云凝结核的情况（只考虑黏性阻力）运动微分方程（云凝结核）终端速度云的速度1.2cm/s雨滴速度6.6m/s二阶线性微分方程不只是摇摆运动振动现象振动模型1振动模型2 简谐运动振动模型3 有阻力的情况小结特征