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2015秋期终高二数学试题（理）答案 一、选择题： 二、填空题： 13. 14 15 16. 三：解答题：17解：因为a，b，c成等差数列，所以.又abc，所以.（i）解法一：由余弦定理得，即，得.所以. 5分解法二：因为，所以由正弦定理得，即， 即，得.因为，所以，即c为锐角，所以，从而. 所以. 5分（ii）因为，成等比数列，所以.由正弦定理得；由余弦定理得.所以，即，即.又因为，所以abc为等边三角形. 10分18. 证明：以d为原点，建立空间直角坐标系d-xyz () . 4分（）证法一：. ，又， 6分平面，又平面，平面平面. 8分证法二：.设平面的法向量为， ，取 6分设平面的法向量为,，取 7分， ，平面平面. 8分（iii）解法一：由（）得平面的法向量为,直线为直线为。 12分解法二：由（）得，直线为直线为。 12分19.解：（i）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.点p（1，2）在抛物线上， 22=2p1，得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=1. 4分（ii）设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb.则kpa=（x11），kpb=（x21）. 6分pa与pb的斜率存在且倾斜角互补，kpa=kpb.由a（x1，y1）、b（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1， y22=4x2， =.y1+2=（y2+2）.y1+y2=4. 10分由得直线ab的斜率kab=1（x1x2）. 12分20 解（1）以d为坐标原点，分别以da、dc、dp所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设pd=dc=2，则a（2，0，0），p（0，0，2），e（0，1，1），b（2，2，0） 设 是平面bde的一个法向量，则由 4分 （2）由（）知是平面bde的一个法向量，又是平面dec的一个法向量. 设二面角bdec的平面角为，由图可知故二面角bdec的余弦值为 8分（3）假设棱pb上存在点f，使pb平面def，设，则，由，即在棱pb上存在点f，pb，使得pb平面def12分21.解：(i)由题意，当时，有,，,解得.当时，有,将代入，整理得,由，解得.当时，有,将代入，整理得,由，解得 .所以该数列的前三项分别为 . 3分(ii)由(nn*),整理得,则 ,整理，得 由题意知, . 6分即数列为等差数列，其中首项，公差, .即通项公式为. 9分(iii)bn=,. 12分22 （i）方法1：由知，设，因在抛物线上，故， 又，则， ， 由解得，. 4分椭圆的两个焦点，点椭圆上，由椭圆定义得，又，椭圆的方程为. 6分方法2：由知，设，因在抛物线上，故， xyof1f2mabef又,则， 由解得，. 4分而点椭圆上，故有，即， 又，则， 由可解得，椭圆的方程为 6分（ii）由题，直线的方程为，即， 7分设，其中将代入中，可得，即， 8分点到直线的距离为
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