以图形变化为主线注重探索与证明相结合——湘教版初中数学教材(2012版)中“图形与几何”部分的编写理念.pdf

2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期 数学通报 4 1 以图形变化为主线注重探索与证明相结合 湘教版初中数学教材 2 0 1 2 版 中 图形与几何 部分的编写理念 邹楚林 湖南教育出版社4 1 0 0 0 7 根据 义务教育数学课程标准 2 0 1 1 版 以 下简称 新课标 的要求 义务教育第三学段 图 形与几何 的课程内容主要分为图形的性质 图形 的变化 图形与坐标三部分 由于初中阶段是学生 处于形象思维逐步向抽象思维转变的过渡阶段 因此对于广大初中生来说 图形与几何 部分历 来是初中数学教学的难点 如何既让学生比较容 易地学习平面几何 又让学生受到科学思维方式 的训练 如何将几何的直观性与思维的严谨性有 机地结合 为了较好地解决上述问题 湘教版初 中数学教材于2 0 0 2 年就已经在严士健先生和丘 维声教授的指导下 以 几何是研究图形在变换 群下不变的性质 的现代数学观点为指导 借助图 形的变换构建了一套新的 图形与几何 的讲授体 系 经过1 0 年实验区的实验 在实验区取得了良 好效果 现在湘教版教材又以新课标为指导 与时 俱进 在继续巩固坚持 直观性与严谨性 相结合 的基础上 对 图形与几何 部分的知识进行了较 大幅度的修订 为了让广大教师更好地把握最新 的湘教版初中数学教材的 图形与几何 部分 更 好地创造性使用教材 现将修订后的湘教版 图形 与几何 部分的编写理念简介如下 1 以几何直观为基础 重视学生几何直观能力的 提升 顾名思义 几何直观所指有两点 一是几何 在义务教育的数学中 主要是指图形 二是直观 这里的直观不仅是指直接看到的东西 更重要的 是指依托 利用图形进行数学的思考和想象 因 此 新课标明确指出 几何直观主要是指利用图形 描述和分析问题 它的本质是一种通过图形所展 开的想象能力 借助几何直观 可以探索 发现解 决问题的思路 可以把复杂的数学问题变得简明 形象 把抽象的数学问题变得简单 正如数学家希 尔伯特在他所著的 直观几何 一书中所谈到的 图形可以帮助我们发现 描述研究的 可以帮助 我们寻找解决问题的思路 可以帮助我们理解和 记忆得到的结果 因此 几何直观是研究和学习 数学的最基本的能力 湘教版教材非常重视几何直观能力的培养 因为它是以几何直观为基础的 这主要表现在以 下几方面 一方面 教材许多地方直接考查了学生 的几何直观能力 例如 在七上4 1 节 几何图 形 就以 观察 栏目的形式 分别给出一些实物 图形和一些立体几何图形 要求学生找出实物相 上接第4 0 页 让学生建立的认知结构更完善 更系统 更全面 一轮复习环节设计由关注教转为关注学 基 参考文献 于学生的学来构建完整的学习模型 学生的参与 1 皮连生 教育心理学 第三版 M 上海 上海教育出版社 譬亨 登学 尊 警乎 学习结景可苎 环节可融2 磊菜篡j 奥苏贝尔认知结构与迁移理论及教学 J 黑龙江高 合在一起 但从学生认识问题的认知角度来说 每 教研究 2 0 0 4 5 个环节是不可缺少的 万方数据 4 2 数学通报 2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期 对应的立体图形 然后 又以 说一说 的形式 让 学生从不同的交通标志中抽象出平面图形 又如 在七上4 3 节 角 中 开篇要求学生先观察给出 的三幅实物图 时针与分针分开的钟表 张开的圆 规 打开的折扇 然后回答 钟面上的时针与分针 圆规的两只脚之间 折扇的扇骨与扇骨之间都给 我们以什么样的形象 这一问题 要回答上述问 题 必须以几何直观为基础 同时还需要一定的空 间想象力 另外 由于湘教版初中数学教材 图形 与几何 部分的最大特点是通过 图形的运动 来 探索 发现图形的性质和数量关系 因而要让图形 要 动起来 就必须有较强的几何直观能力和空 间想象能力 因此 湘教版教材既以几何直观为基 础 又在不断让图形 动起来 的同时 提升学生的 几何直观能力 另一方面 由于 几何直观 与 逻辑推理 是 相互交织在一起的 直观中有逻辑 逻辑中有直 观 因而几何直观常常是以逻辑为支撑的 它不仅 包含看到了什么 而且包含通过看到的图形思考 到了什么 想象到了什么 这是数学中非常重要的 有价值的思维方式 因此 在进行逻辑推理时 也 需要运用几何直观能力 把看到的与以前学到的 知识结合起来 通过思考 抽象 从而猜想出一些 可能的结论和证明思路 为后面的严格证明奠定 基础 由于湘教版教材非常注重探索与证明相结 合 详见后文 因此 它在 图形与几何 部分 总 是要求学生将所要研究的 对象 抽象成 图形 再把 对象之间的关系 转化为 图形之间的关 系 从而把所研究的问题转化为关于 图形的数 量或位置关系 问题 然后借助图形直观进行思 考 分析并解决 因此 在进行逻辑推理的同时 也 是在不断培养学生的几何直观能力 2以图形变化为主线 用变化的观点来探索图形 的度量性质和位置关系 根据新课标要求 在第三学段主要要求学生 掌握以下几种图形的变换 平移 轴对称 旋转 相 似 投影 由于学生的认知能力和理解能力还处于 发展阶段 因而义务教育阶段不可能也不必要给 出图形变换的严格定义 因此 在新课标教材中把 这些变换统称为图形的变化 湘教版初中数学教材以 几何是研究图形在 变换群下不变的性质 的现代数学观点为指导 将 几何的直观性与思维的严谨性有机地结合在一 起 强调用图形变化的观点通过不同形式的探索 过程来发现图形的度量性质和位置关系 它主要 体现在以下两方面 一方面 是认识平移 轴对称 旋转 相似 投 影这几种图形变化本身 这些图形变化是图形存 在形式或图形之间相互关系的基础 由于平移 旋 转 轴对称这三种变化具有很强的直观性 因此学 生很容易接受 它们都不改变图形的形状和大小 这一理论 因此 湘教版教材在七下第4 章 相交 线与平行线 的4 2 节就研究学习了 平移 这一 图形变化 在第5 章 轴对称与旋转 就分别介绍 了轴对称 旋转这两种图形变化 为后面更好地运 用 变化 的思想学习 图形与几何 部分的其他知 识奠定了坚实基础 另一方面 借助这些图形变化的方法来认识 图形 把它们作为认识图形的一种有效手段 让学 生从观察 实验操作等经验中猜想图形的某些度 量性质及位置关系 例如 在七下4 3 节 平行线 的性质 中探究 两直线平行 同位角相等 这一性 质时 就先以 做一做 栏目的形式 给出如下已知 条件 已知两条平行线A B C D 与直线M N 分别 相交于点M N 然后要求学生去找寻图中的同位 角 并且探讨每组同位角是否相等 最后教材指 出 将直线A B 沿直线M N 方向平移 平行移动 的距离等于线段M N 的长度 这样就可发现平移 后A B 与C D 这两条直线互相重合 因而每组同 位角都会相等 这样 学生通过图形的变化 既加 深了学生对 同位角 这一概念的认识 同时又会 发现 两直线平行 同位角相等 这一性质 又如 在探索 等腰三角形的一条重要性 质 三线合一 时 大多数教材都是先通过作一 个等腰三角形的底边上的中线 然后运用 S S S 或 S A S 等方法判定两个小三角形全等 再由全 等三角形的性质得出 三线合一 这一结论 而湘 教版却是通过探索如下图形变化过程得出的 任意画一个等腰 A B C 其中A B A C 作 A B C 关于顶角角平分线A D 所在直线的轴对 称图形 如图 1 由于么1 么2 A B A C 因此 射线A B 的 像是射线A C 射线A C 的像是射线 线段 A B 的像是线段A C 线段A C 的像是线段 点B 的像是点C 点C 的像是点 因 此 线段B C 的像是线段C B 从而 等腰三角形 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期 数学通报 4 3 A B C 关于直线对称 由于点D 的像是点D 因此 线段D B 的像是线段 从而A D 是底边B C 上 的 由于射线B A 的 像是射线C A 射线B C 的像只 是射线C B 因此么B 么C D 图 1 如图 2 在 A B C 中 点D 为A B 上任意一 点 过点D 作B C 的平行 线D E 交A C 于点E A D E 与 A B C 口 的三个角分别相等吗 从上述探索过程可以看出 以图形的变化为 手段 借助图形的变化 可以使学生在自己的亲身 操作经历中发现许多图形的性质 从而可以让学 生更主动地接受新知识 也容易激发学生的学习 兴趣 3 注重探索与证明的有机结合 努力培养学生的 科学理性思维方式 新课标指出 推理是数学的基本思维方式 也 是人们学习和生活中经常使用的思维方式 学习 数学的重要一点就是要学习推理 而在义务教育 阶段 推理主要是指合情推理和演绎推理 前面我们已谈到 图形变化的直观性能使学 生通过观察 实验等操作 猜想出许多图形的度量 性质及位置关系 但通过几何直观猜测出的结论 是否成立 还需进行严格的演绎推理 也就是说 观察 操作等探索活动是进行合情推理的过程 它 有助于理清思路 发现结论 还有助于发展学生的 创新意识和创新精神 探索发现的结论必须通过 演绎推理才能证明其正确性 湘教版在编写 图形与几何 部分的知识时 基本上都是按照 观察 抽象 探索 猜 测 分析和论证 这一数学思维方式进行编写 的 这样既能让学生在积累数学活动经验的同时 感悟数学基本思想 同时通过演绎推理证明的严 谨性训练 又能使学生受到科学理性思维方式的 训练 使学生养成讲道理的习惯 从而不断发展学 生的合情推理能力和演绎推理能力 因此 湘教版 教材是将合情推理和演绎推理都作为研究图形性 质的重要工具 将 探索 与 证明 有机结合 采用 有效的 多样化的活动途径 让学生在 猜想 证明 的探索过程中 亲身经历用合情推理获得猜 想 发现结论 然后通过演绎推理来验证猜想 证 明结论 这一完整推理过程 例如 在讲解 两角分 别相等的两个三角形相似 这一定理时 教材先给 出了如下问题 图 2 C 分别度量 A D E 与 A B C 的边长 它们的边长是否对应成比例 A D E 与 A B C 之间有什么关系 平行 移动D E 的位置 你的结论还成立吗 你可以说 明理由吗 从上述内容可以看出 要完成这一系列问题 学生必须动手 动脑 通过自己的亲身操作 才能 合情推理出这一图形中蕴含的结论 然后还要进 行说理 即演绎推理证明 真正将 探索证明 与 演绎证明 有机结合在一起 由于对初中学生来说 要有理有据地进行推 理证明 精炼准确地表达推理过程 还是比较困难 的 因而对学生推理能力的培养需要一个长期的 逐渐提升过程 因此 湘教版教材根据学生的身心 发展规律 针对不同年级 采用不同的形式提出不 同程度的要求 不断训练学生的推理能力 例如 对于演绎推理能力的训练 不同阶段采用不同形 式进行训练和培养 如在七年级下学期 通过 说 一说 想一想 等栏目形式 使学生初步经历 说点儿理 简单推理 等简单推理训练 到八 年级上学期 则采用 填空 等形式 引导学生明白 推理的基本步骤和推理出来的结论 初步体会 规 范证明 的格式 在课后习题 练习部分 更是精心 选择了一些证明目的明确 证明过程简单的习题 供学生训练使用 进入八年级下学期 则重点训练 学生的 规范证明 的书写格式 让学生明白每一 步推理都必须言必有据 合乎逻辑 同时体会证明 思路 到九年级 不再要求在证明过程中书写出每 一步推理的理由 但要求学生自己一定要明确 同 时通过图形变化较复杂或证明过程较复杂等形 式 开始注重进行如何分析证明思路 如何思考 如何清楚地表达自己的思考过程等方面的训练 与此同时 大力加强了已知与未知 简单与复杂 特殊与一般等在一定条件下可以转化的思想训 练 使学生学会把未知化为已知 把复杂问题变为 简单问题 把一般问题化为特殊问题的思考方法 这样 通过三年的循序渐进 螺旋式的训练和培 万方数据 4 4 数学通报 2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期 养 就能使学生的逻辑思维能力和分析解决实际 问题的能力都得到提高 也利于学生的科学理性 思维方式的培养 4 强调模型思想的渗透 不断发展学生的应用 意识 模型思想作为新课标新增的核心概念之一 它在新课标的多个部分出现 作为一种基本的数 学思想 湘教版在 图形与几何 领域也强调了模 型思想的渗透 例如 湘教版教材在九上为了更好地突出 问 题情境 建立模型 求解验证 这一过程 就 专设了 相似三角形的应用 解直角三角形的应 用 两节 在这两节 基本都是采用如下方式编写 的 第一步 以 动脑筋 的形式给出一个没有给出 任何具体数量的实际问题 让学生思考如何去解 决这一实际问题 因此学生为了解决这一实际问 题 就必须通过发散思维 将实际问题抽象为数学 问题 然后才能分析出其中的可能解决方案及其 所需的已知条件 第二步 以 做一做 的形式 给 出一些已知量 让学生再以给出的已知量为条件 去解决前面 动脑筋 中的问题 当所要求的量已 经解答出来后 又以卡通图的形式 提醒学生还要 对所求出的解进行是否合乎实际的解释和判断 因此 这一整个过程 既具有问题性 活动性 又有 过程性 探索性 很好地体现了数学建模这一综合 性过程 同时 也较好地体现了 能够利用数学的 概念 原理 方法来解决现实世界中的问题 同时 又让学生认识到现实生活中的大量与数量 图形 有关的问题都可以抽象成数学问题 并且能用数 学的方法予以解决 而这些正是 数学源于生活 而又应用于生活 的有益体现 对学生应用意识的 培养大有裨益 另外 由于数学应用意识的培养具有长期性 因此 为了更好地丰富学生的应用意识 湘教版教 材在 图形与几何 部分也列举了许多利于培养学 生应用意识的素材 如 包装盒的设计 图形的镶 嵌 测量物体的高度或长度等问题 使学生切实体 会到数学应用的广泛性和数学的价值 逐步学会 用数学的眼光看世界 从而不断发展学生的应用 意识 5 重视空间观念的培养 大力提高学生的空间想 象力 根据新课标的要求 义务教育阶段的空间观 念主要是指 1 根据物体特征抽象出几何图形 根据几何图形想象出所描述的实际物体 2 想象 出物体的方位和相互之间的位置关系 3 描述图 形的运动和变化 4 依据语言的描述画出图形 从上述内容可以看出 空间观念的培养应该 贯穿于整个图形与几何的学习过程中 因此 湘教 版教材除了在整个 图形与几何 部分的正文中 对学生的空间观念能力进行培养外 还结合现代 信息技术 在许多章节新增了 I T 教室 栏目 其 目的是为了方便地