圆锥曲线 2全.doc

8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：. 一般方程：.椭圆的标准方程：的参数方程为（一象限应是属于）.顶点：或.轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.焦点：或.焦距：.准线：或.离心率：.焦点半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：双曲线标准方程：. 一般方程：.i. 焦点在x轴上：顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. 离心率. 准线距（两准线的距离）；通径. 参数关系. 焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） 构成满足 等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.若P在双曲线，则常用结论1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.2：P到焦点的距离为m =;n，则P到两准线的距离比为mn. 简证： = .三、抛物线方程.3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率焦点注：顶点.则焦点半径;则焦点半径为.通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.（或）的参数方程为（或）（为参数）.(2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。解：.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立.SABC的最大值是. 双曲线1.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。解：.设椭圆的方程为，双曲线得方程为，半焦距c由已知得：a1a24 ，解得：a17，a23所以：b1236，b224，所以两条曲线的方程分别为： ，2已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）由消去，得（1）依题意即且（2）（2）设，则 以AB为直径的圆过原点 但 由（3）（4）， 解得且满足（2）（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直 ，即 直线的方程为将代入（3）得 AB中点的横坐标为2 纵坐标为 但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。抛物线例1 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,又设点A，B，M在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此时x=(x1+x2)= y= 即M(,), N(,)一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆，直线被椭圆C截得的弦长为，且，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线被椭圆C截的弦长AB，求椭圆的方程；弦AB的长度.思路分析：把直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.解析：由被椭圆C截得的弦长为，得， 又，即，所以. 联立得，所以所求的椭圆的方程为. 椭圆的右焦点，的方程为：， 代入椭圆C的方程，化简得，由韦达定理知，从而，由弦长公式，得，即弦AB的长度为点评：本题抓住的特点简便地得出方程，再根据得方程，从而求得待定系数，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。二、中点弦长问题：例2、过点作抛物线的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为，则有，两式相减，得又则，所以所求直线AB的方程为，即.解法2：设AB所在的直线方程为 由，整理得. 设，由韦达定理得， 又P是AB的中点，所以所求直线AB的方程为.由 整理得，则有弦长公式得，.点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例3、（同例1、）另解：椭圆的右焦点，的方程为： ， 代入椭圆C的方程，化简得，由韦达定理知，由过右焦点，有焦半径公式的弦长为. 即弦AB的长度为点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.焦点半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.例1. 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程解：设所求直线方程为代入椭圆方程，整理得 设直线与椭圆的交点为，则、是的两根，为中点，所求直线方程为例2. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程解：如图所示，椭圆的焦点为，点关于直线的对称点的坐标为（9，6），直线的方程为