三角函数最全最易懂的课件.doc

1.1.2 弧度制（2）1弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为2扇形面积公式：扇形面积公式为：说明：弧度制下的公式要显得简洁的多了；以上公式中的必须为弧度单位3例题分析：例1 （1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？解：（1）因为，所以，（2）设弧长为，半径为，由已知，所以，从而，当时，最大，最大值为，这时 例2 如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。解：设扇形的弧长为，半径为，则有，所以，中心角为，弦长六、小结：1牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用； 2由将转化成，利用这个与的二次函数关系求出扇形面积的最值。补充：1一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为，求扇形的面积。3已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取多少值时，扇形面积最大，最大值为多少？1.2.1 任意角的三角函数（1）1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即；（4）比值叫做的余切，记作，即；（5）比值叫做的正割，记作，即；（6）比值叫做的余割，记作，即说明：的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置； 根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义；同理，当时，与无意义；除以上两种情况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。2三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域3例题分析例3 已知角的终边过点，求的六个三角函数值。解：因为过点，所以， 当； ；当； ；4三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：，其中，（练习）确定下列三角函数值的符号：（1）；（2）；（3）；（4）六、作业： 补充：已知点，在角的终边上，求、的值。1.2.1 任意角的三角函数（2）当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。1单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。2有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。3三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4例题分析：例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）； （2）； （3）； （4）解：图略。例2 利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。（1）； （2）； （3）且；（4）； （5）且答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）五、小结：1三角函数线的定义；2会画任意角的三角函数线3利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。六、作业： 1利用余弦线比较的大小； 2若，则比较、的大小；3分别根据下列条件，写出角的取值范围： （1） ； （2） ； （3）1.2.3 三角函数的诱导公式（1）1引入：对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。2诱导公式二：则有，由正弦函数、余弦函数的定义可知：若是弧度制，即有，；公式特点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切：（此公式要使等式两边同时有意义）3诱导公式三：即得：诱导公式三：；公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）；可以导出正切：4例题分析：例1 求下列三角函数值：（1）； （2）分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角的三角函数的值。解：（1）（诱导公式一）（诱导公式二）（2）（诱导公式三）（诱导公式一）（诱导公式二）方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：化负角的三角函数为正角的三角函数；化为内的三角函数；化为锐角的三角函数。可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。例2 化简解：原式1.2.3 三角函数的诱导公式（2）1公式推导： 结论诱导公式四：；诱导公式五：；可以导出正切：；2五组诱导公式：五组公式可概括如下：的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。说明：（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”。3例题分析：例1 求下列三角函数值：（1）；（2）解：（1）；（2）例2 化简：（1）；（2）解：（1）原式（2）原式 1.2.3 三角函数的诱导公式（3）例1 已知：，求的值。解：，原式说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。变式训练：已知：，求的值。解答：，原式说明：同样应用上题的技巧，把看成是一个分母为的三角函数式，注意结合“口诀”及的运用。例2 已知，且是第四象限角，求的值。解：由已知得：， 原式说明：关键在于抓住是第四象限角，判断的正负号，利用同角三角函数关系式得出结论。变式训练：将例2中的“是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？解答：原式，为负值，是第三、四象限角。当是第三象限角时，原式当是第四象限角时，即为上例。说明：抓住已知条件判断角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论。例3 化简解：当时，原式当时，原式说明：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。六、作业： 补充：1化简； 2化简且；三角函数阶段复习三、基础训练：1已知角的终边过点，则 ， 2若是第四象限角，则是第 象限角，是第 象限角。3若，且为二、三象限角，则的取值范围是 4已知，则 5已知集合， 则这三个集合之间的关系为（ ）四、例题分析：例1 求值：例2 已知，且，求（1）角的集合；（2）、终边所在的象限；（3）试判断，的符号。例3 化简：（1）；（2）（）例4 证明：（1）；（2）已知，求证：五、课后作业： 1已知是第二象限角，则 2若是三角形的内角，且，则此三角形一定是（）等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形3若，则角的取值范围是 求证：（1）；（2）已知，其中，求满足条件的实数的取值的集合。已知，求的值。1.3.1 三角函数的周期性1周期函数的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。说明：（1）必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。【思考】（1）对于函数，有，能否说是它的周期？（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？ （是，其原因为：）2最小正周期的定义对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；（2）从图象上可以看出，；，的最小正周期为；（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）3例题分析：例1：求下列函数周期：（1），；（2），；（3），解：（1），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现， 所以，函数，的周期是（2），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是（3），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期； （2）若，例如：，；，；，则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数及函数，的周期例2：求下列函数的周期：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）解：（1），周期为；（2），周期为；（3） 周期为；（4），周期为；（5），周期为说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解。五、课堂练习：求下列函数的周期：（1），； （2），； （3），；（4），；（5），；（6），六、小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. 型函数的周期的求法。1.3.2 三角函数的图像与性质（2）1正弦、余弦函数的定义域函 数定义域例1：求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）解：（1）， ； （2）， ； （3）， ；（4）， 且；（5） 2正、余弦函数的值域函 数值 域例2：求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？（1），； （2），解：（1）使函数，取得最大值的的集合，就是使函数， 取得最大值的的集合， 所以，函数，的最大值是（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值的 的集合是，由，得，即：使函数，取得最大值的的集合是，函数的最大值是说明：函数，的最值：最大值，最小值例3：求下列函数的值域：（1）； （2）解：（1）， 所以，值域为（2）， ， ，解得， 所以，值域为 补充：求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（其中为常数）1.3.2 三角函数的图像与性质（3）例1：求函数的值域。解：， ，所以，函数的值域是例2：求函数的值域。解： ，所以，函数的值域为【变题】若把本题再加上的条件，则结果又如何？说明：形式的函数求值域时，可考虑先将函数化为形式的函数来求解。例3：求函数的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。解： ，令，则，（），当，即或（）时， 当，即（）时，例4：求函数的值域。解：令，则，又，当时，当时，所以，函数的值域为五、练习：1求函数（）的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。六、小结：1可化为型的函数值域； 2可化为求二函数的函数的值域；3含，的函数的值域的求法。补充：求下列函数的值域： （1）； （2） ； （3）； （4）； （5）（）； （6）1.3.2 三角函数的图像与性质（4）2含字母系数的函数最值例2：已知函数（）的最大值为，最小值为，求函数 的最大值和最小值。解：（）当时， 当时， 由得， ，所以，当时，当时，例3：已知函数的定义域是，值域是，求常数解： ， ，若，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，解得：，若时，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，解得：， 所以，或补充：1求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）2已知的定义域为，值域为，求1.3.2 三角函数的图像与性质(5)1正切函数的定义域是什么？ 2正切函数是不是周期函数？ ， 是的一个周期。 是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。y0x（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。4正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（1）定义域：；（2）值域：R观察：当从小于，时， 当从大于，时，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。例：求函数的定义域。 答案：1.3.2 三角函数的图象和性质(6)例1：求下列函数的周期：（1） 答：。（2） 答：。说明：函数的周期例2：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。解：由得，所求定义域为，值域为R，周期，是非奇非偶函数，在区间上是增函数。将图象向右平移个单位，得到的图象；再将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象。例3：用图象求函数的定义域。解：由 得 ，利用图象知，所求定义域为，1“”是“”的 既不充分也不必要 条件。3函数的定义域是 4函数的值域是 5函数的奇偶性是 奇函数 ，周期是1.3.3 函数的图象（1）1型函数的图象例1 画出函数，的简图。解：先画出它们在上的图象，再向左右扩展，由图可知，对于同一个，的图象上的点的纵坐标等于，的图象上的点的纵坐标的倍，因此，的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到的。，的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的（横坐标不变情况下）。一般地，函数，的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，的值域是，最大值为，最小值为2型函数的图象例2 画出函数，的函数简图。解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展，一般地，函数，（）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（时）或伸长（时）到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。3型的函数图象例3 画出函数，的简图。解：由函数图象的平移知： ，的图象可看作，的图象向左平移个单位得到；，的图象可看作，的图象向右平移个单位得到。可得图象如下：一般地，函数（），的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（时）或向右（时）平行移动个单位而得到1.3.3 函数的图象（2）例 画出函数的简图。解：函数的周期为，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：函数的图象可看作由下面的方法得到的：图象上所有点向左平移个单位，得到的图象上；再把图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到的图象；再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，