自考高等数学微分中值定理和导数的应用.pdf

第 四 章微分中值定理和导数的应用 一 考核要求 知道罗尔定理成立的条件和结论 知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论 能识别各种类型的未定式 并会用洛必达法则求它们的极限 会判别函数的单调性 会用单调性求函数的单调区间 并会利用函数的单调性证明简单的不 等式 会求函数的极值 会求出数在闭区间上的最值 并会求简单应用问题的最值 会判断曲线的凹凸性 会求曲线的凹凸区间和拐点 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线 二 基本概念 主要定理和公式 典型例题 微分中值定理 今后 如果函数 f x 在某一点 x0处的导数值 0 就说这一点是驻点 因此罗尔中值定 理的结论也可以说 f x 在 a b 内至少有一个驻点 从 y f x 的几何图形 见下图 可以看出 若 y f x 满足罗尔中值的条件 则它在 a b 内 至少有一点 其切线是水平的 根据导数的几何意义知道 该点的斜率 k 0 从函数 y f x 的图形看 见下图 连接 y f x 在 a b 上的图形的端点 A 与 B 则线段 AB 的斜率为 将 AB 平行移动至某处 当 AB 的平行线与曲线 y f x 相切时 若切点为 x c 则根据导数的几 何意义知 或写作 故从几何图形看 拉格朗日定理是成立的 典型例题 例一 单选 下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是 1 1 1 1 1 2 1 1 解 在 1 1 上处处有意义 没有无意义的点 因为他没有分母 所以 在 b 区间 1 1 上处处连续满足第一个条件 又 f 1 1 f 1 1 所以在端点上函数值相等 满足第三个条件 因此这函数在开间内不是处处可导 只少在 0 这一点不可导的 因此不满足第二个条件 在 x o 处不可导 也不满足第二个条件 f 1 1 f 2 4 在 1 2 上满足第三个条件 处处可导且处处连续 f 1 1 f 1 1 在 1 1 上满足三个条件 例二 证明方程在 0 1 内至少有一个根 证 用罗尔中值定理 解 由于 令在 0 1 上满足罗尔定理的三个条件 所以在 0 1 内至少存在一个数 c 0 c 1 使 x c 是方程的根 即 x c是方程的根 例三 证明不等式 arctanb arctana b a a b 解 令 f x arctan x 处处存在 f x arctan x 处处可导 处处连续 所以 f x arctanx 在 a b 上满足拉格朗日定理 的二个条件 因此存在 a c b 使 即 arctanb arctana b a 在第三章我们曾知常数的导数为零 即 反过来会问 导数为零的函数是否一定是常数 下面我们证明 证 在 a b 任取两数 x1 x2 假定 x2 x1 证明这两个函数值相等的 由于函数在 a b 内 处处可导 因此根据拉格朗中值定理知道在区间内部处处连续 因此函数在开区间 x1 x2内部只少存在一点 c 使 使在端点的函数值 f x1 f x2 x2 x1 由于函数在区间内部的导数值永远等于 0 所以 0 f x2 f x1 0 f x2 f x1 证毕 证 令 x f x g x 在 a b 内 0 在 a b 内 x c 即 在 a b 内 f x g x c 在 a b 内 f x g x c 洛必达法则 当 limf x 0 且 limg x 0 时 或 limf x 且 limg x 时 分式的极限 不能用除法公式计算 上面的分式的极限可能存在 也可能是 还可能没有极限 因此叫未 定式 对于未定式的极限有下面的计算方法 叫洛必达法则 我们不加证明地介绍给学员使用 在洛必达法则的条件和结论中 我们没有写明 x 的变化状态 意思是 x a 或 x 这两情形 洛必达法则都正确 洛必达法则的优点在于 在大多情形下 极限的计算较困难 而极限的计算较 易 便可将一个较难的计算变为较易的极限计算 洛必达法则在使用时可以简写为 即两个无限小相除或两个无究大相除都可用洛必达法则计算 需要法注意的前提是它们的导数 必须存在且比值的极限必需是常数或 典型例题 洛必达法则可以多次使用 需要注意的是使用它的前提必须是未定式或 在使用洛必达法则求极限时不要忘记四则运算法则和等价替换原则 综合使用时计算会显得简 单 例如在例二中 下面的计算因为 x 0 时 1 cosx 进行等价替换会更简单 解 x 0 时 sin x x 从例八同学们可以看出 无论 a 为何值 均有 由例七 例八同学们可以看出 x 时 虽然 lnx a 0 都是无穷大量 但 远大于 远大于 lnx 或者说 是比高阶的无穷大 a 0 是比 lnx 高阶的无穷大 从上边可以看到 求不定式型或型的极限时 洛必达法则是一种很有效的方法 但同学 们必需注意两条 第一 只有不定式型或型才能使用洛必达法则 否则会犯错误 第二 有或时 等式才成立 也就是说 若不 存在时 并不能说 也就是说 不能说也不存在 这时 只好用其它方法 求极限 请看下面两个例题 若不注意 错误地用洛必达法则 便得出错误的结果 错误在于第一个等式 由于本题不是不定型 所以不能用洛必达法则 因为 x 时 sinx 的值在 1 与 1 之间波动 不存在 不存在 若由此得出结论 不存在那就错了 原因在于不存在时 不能说 正确的解法是 下面介绍三种可以化为不定式型或型的极限 1 型 由于 结果不定 可以是无穷小 也可以是无穷大 还可以是接近于常数 A 的量 如果 希望用洛必达法则求它的极限 必须合并为一个分式化为型或型 2 0 型 无穷小乘无穷大其结果也是不能直接确定的 为了用洛必达法则 要将被 求极限写成分式变为型或型 3 型 型和 型 它们常见于幂指函数求极限 由于 例十九若 f x 有二阶连续导数 求 函数的增减性及其判别定理 证 用拉格朗日中值定理 1 在 a b 内任取 只需证明即可 在 a b 内 当然在 a b 内可导 在 a b 内连续 在 上连续 在 上可导 在 上满足拉格朗日中值定理的两个 条件 根据拉格朗日中值定理知 在 内至少存在一点 使 同法可证 2 及 3 例一证明在上是增加的 证 在上 0 在上处处增加 在上 0 在上处处增加 在上可导 在上连续 在上处处增加 注 由本例可知 若函数 在 a b 内除个别点导数为 0 外 其余各点导数都大于 0 或都 小于 0 并不影响增加性 或减少性 所以今后我们发现函数 在某个区间 a b 上除个别点 导数为零外 其余点导数都大于零 或都小于零 则对导数为零的点不再加说明 例三 证明不等式 f 0 0 0 x 时 f x f 0 0 即 0 x 时 x ln 1 x 0 即 0 x 时 x ln 1 x 再证 0 x 时 0 x 时 分子是正的 分母也是正的 0 0 x 时 增加 f 0 0 0 x 时 即 0 x 时 即 0 x 时 例四证明 1 x 时 函数的极值及极值的求法 例如 在下图中 都是的极大值 点 x1和点 x3都是极大值点 都是 极小值 点 x2和点 x4都是极小值点 今后 我们把极大值和极小值统称为极值 极大值点和极小值点统称为极值点 为了求函数的 极值 我们分两步进行 首先求出可能取极值的点 这种点一般是很少的 那些不能取极值的点就 可以不再分析判断 第二步才对这些可能取极值的点进行判断 下面用定理的形式进行介绍 定理一说明 在一切可导点中 只有驻点 即导数值为零的点 才可能是极值点 不是驻点绝 不可能是极值点 请大家务必注意 定理一只是说在可导点中只有驻点才可能是极值点 没有说不可导点不是极 值点 其实 不可导点也可能是极值点 例如在点 x 0 处的函数值 f 0 0 而 0 所以 x 0 是的极小值点 然而在 x 0 处不可导 所以不可导点也可能是极值 点 综合上述 有下面结论 只有驻点和不可导点才可能是极值点 本定理的正确性是明显的 在 成立的条件下 它的图形见下图 这时 在点的左侧增加 在点的右侧函数减少 是极大值 在 成立的条件下 它的图形见下图 这时 在点的左侧减少 右点的右侧函数增加 所以是极小值 在 iii 成立的条件下 它们的图形见下图 由于在点左右两侧同号 所以 f x 在号的左右两侧要么都增加 要么都减少 所以 不是极值 例一求的增减区间 极值 解 第一步 求驻点和不可导点 第二步 用驻点 不可导点将定义区间 分成三部分 0 0 2 2 在每个区间内不再有驻点 不可导点 所以在上述每个区间内导数不会变号 i 当 x 0 时 0 所以在区间 0 内增 加 ii 当 0 x 2 时 函数导数没变 还是 0 所以在区间 0 2 内减 少 iii 当 2 x 时 0 所以在区间 2 内增加 因此的增加区间为 0 2 减少区间为 0 2 由于在点 x 0 的左侧 0 在 x 0 点的右邻侧 0 x 0 是最大值点 极大值为 f 0 0 由于在点 x 2 的左邻侧 0 点 x 2 的右邻侧 0 所以点 x 2 是极小值点 极小值为 f 2 4 上面的结果我们经常用下面的表格表示 表示的第一行写出自变量 x 的取值 第二行为导数 的正负性 第三行写出函数的状态和函数值是否是极值 例二求的增减区间和极值 解 第一步 写出函数的定义域 Df 0 x 第二步 求函数在它的定义域内的可能取极值的点 即驻点和不可导点 不可导点 x 0 及驻点 x 1 都不在定义域内 所以不予讨论 只有唯一驻点 x 1 在定义域内 所以在定义域内的驻点为 x 1 此驻点 x 1 将定义区间 0 分为两部分 0 1 和 1 下面列表分析 当 x 比 1 小的导数是负的 比 1 大的导数是正的 极小值 f 1 1 2ln1 因此极小值等于 1 例三 求的增减区间和极值 解 第一步 写出 f x 的定义域 第二步 求 f x 在定义域内的驻点和不可导点 第三步用不可导点 驻点将定义域分为分别列表分析 x 0 0 0 2 2 2 x 0 极大值 0 极小值 判断驻点是否是极值点还可用下面的定理判别 同法可证明 ii 请学员练习 当函数 f x 的二阶导数易求 且 f x 只有驻点 没有不可导点时 用此种方法判断驻点是否 是极值点非常方便 函数的最值 1 函数 f x 的最值的概念 就说 f x1 是函数 f x 在区间 a b 上的最小值 f x2 是函数 f x 在这间 a b 上的最大值 2 函数 f x 在闭区间 a b 上的最大值和最小值的求法 由于若 f x0 是最值 且 x0 a b 内一点 则 x0必是极值点 自然 x0是驻点或不可导点 除 此 边界点也可能是最值点 例如 f x x2在 0 2 上的最小值为 f 0 0 最大值 f 2 4 它们 都是边界点 因此函数的最值点只能在驻点 不可导点 边界点上产生 所以求函数 f x 在闭区间 a b 上的最值的方法为 第一步 求导数 写出函数 f x 在闭区间内所有的驻点和不可导点 x1 x2 xn 第 二 步 计 算 出 函 数 f x 在 驻 点 不 可 导 点 及 边 界 点 处 的 函 数 值 f a f x1 f x2 f xn f b 第三步 选出 f a f x1 f x2 f xn f b 中最大者是 f x 在 a b 上的最大值 最小 者是 f x 在 a b 上的最小值 例一 求 f x x 4 2 x2 5 在闭间 2 2 上的最大值和最小值 解 第一步 求 f x 在 2 2 内的驻点和为可导点 第二步 计算边界和驻点处的函数法 f 2 f 2 13 f 1 f 1 4 f 0 5 最大值为 f 2 13 最小值为 f 1 4 例二 求 第二步 计算边界点 驻点 不可导点的函数值进行的比较 特别情形一 上面的结论的正确性是明显的 它们的图形见下图 解 例二 求 f x arctanx x 在 0 上的最大值 解 在 0 上ln 1 x x 0 时 f x 0 即 x 0 时 x ln 1 x 0 即 x 0 时 x ln 1 x 特别情形二 上面的结论的正确性也是明显的 它们的图形下图 例四 解 例五 证明不等式 证 例六 欲在旧墙边围一块面积为 512 平方料的矩形料场 问新建的墙两边分别为多少米时所用 材料长度最少 解 图形见下图 设矩形料场一边长为 x 米 则另一边长为米 在定义域 0 内只有一个驻点 x0 16 x 16 x 0 舍去 这时一边长 材料的最小总长为 例七 在一块边长为 a 的铁皮的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形 然后折 叠起来加工成一个无盖的长方体容器 问剪去的小正方形边长 x 为何值时 加工成的长方体容器容 积 v 最大 解 图形见下图 例八 欲加工一个容积为 V0 米 3 的无盖圆柱形容器 它的底面每平方米的加工费是侧面每平方 米加工费的两倍 问它的高 h 和底半径 r 分别为多少米时 总加工费最省 解 图形见下图 设侧面每米 2加工费为 a 元 则底面每平方米加工费为 2a 元 设总费用为 y 因为底面积为 所以底面加工费为 因为侧面积为 所以侧面加工费为 例九 工厂 A 位于铁路北 100 公里处 它在铁路的垂足为 B 见下图 城市 C 位于铁路线上 且与 B 相距 200 公里 工厂的产品需运送到城市 C 现欲在铁路上建一转运站 D 已知公路运费为每 吨货物每公里 5 元 铁路运费每吨货物每公里 3 元 问转运站 D 应位于何处 才能使 1 吨货物由工 厂 A 运送城市 C 的点运费最少 解 设转运站 D 与 B 相距 BD x 公里 1 吨货物总运费为 y 铁路 1 吨货运费 3 200 x 公路 1 吨货运费 得驻点 由于在本例中运费有最小值 驻点只有一个 因为只有驻点才能取最小值 所以 x 75 是最小值 点 故 例十 在抛物线上求一点 使过该点的切线与 x 轴 y 轴围在第一象限的图形的面积最 小 解 图形见下图 设该求点为 在 0 1 内只有一个驻点 因为本例中有最小面积 且只有一个驻点 所以此驻点 是最小值点 即在点处的切线与 x 轴 y 轴所围图形面积最小 最小面积为 例十一 某商店年进货某商品 5000 台 分批进货 每批进货费 40 元 每件商品进货价 200 元 年保管费率 20 若年库存量刚好为每批进货量的一半 求最优订货批量 解 设每批进货量 x 件 由于年进货量 每批进货量 进货批次 设年总费用为 y 则 y 年进货费 年保管费 每批进货费 年进货批数 每件年保管费 年库存量 即每批进货量 100 件时 总费用最少 最少总费用为 例十二 某产品每件售价 P 与产量 Q 的关系为 P 200 3Q 它的平均成本 求产品 Q 多大时 利润最多 解 收入 每件售价 产量 最大利润为 L 25 5000 2500 2500 例十三 用一周长为 20 的等腰 ABC 绕它的底边 ABC 旋转一周而生成一旋转体 问 AB 为多少 时 该旋转体体积最大 解 设底边长 AB 2x 则腰长 BC 10 x 它的高为 曲线的凹凸性及拐点 定义 1 当 x 在区间上取值时 曲线上任意两点连线都在曲线上方 就说在区间上 曲线凹的 并且说区间是区间的凹区间 图形见下图 2 当 x 在区间上取值时 区间上任意两点连线都在曲线下方 就说在区上曲 线是凸的 并且说区间是曲线的凸区间 图形见下图 例如 曲线的图形是开口向上的抛物线 曲线的图形是开口向下的抛物线 见下图 可见抛物线的图形在上是凹的 抛物线的图形在上是凸的 对于抛物线 它的二阶导数 对于抛物线 它的二阶导数 这个结果具有一般性 下面我们不加证明的介绍下面的曲线的凹凸性的判别定理 典型例题 例一 验证曲线在它的定义域上的图形是凸的 例二 验证曲线 在上是凹的 证 例三 求曲线的凹向区间和拐点 名词 连续曲线的凹凸分界点叫拐点 解 1 当 2 当 3 例四 设点 M 1 3 是 若拐点是可导点 则在拐点处应有 曲线的渐近线 定义 如果曲线上的点 P 趋向于无穷远时 P 与直线 l 的距离趋向于零 就说直线 l 是 曲线的渐近线 下面我们给出两种比较简单的渐近线的求法 它们的图形见下图 1 2 典型例题 求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线 解 i ii 3 解 i ii 解 i ii 三 同步练习题 1 判断下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的三个条件 若满足 求出相应的中值 c 2 设 3 判断函数在给定的闭区间 0 2 上是否满足拉格朗日中值定理的两个条件 如果满足 求出中值 c 4 证明 5 用洛必达法则求下列极限 7 极限是否可用洛必达法则计算 为什么 如不能 则应如何求它的值 8 极限是否可用洛必达法则计算 为什么 如不能 则应如何求它的值 9 求下列函数的增减区间以及极值 10 的极小值为 y 1 1 且点 0 1 是它的拐点 求 a b c 11 求下列函数的区间上的最大值和最小值 12 证明不等式 14 求曲线的凹向区间 拐点 15 用截面的直径为 d 的圆形木材加工成截面为矩形的梁 如果它的宽为 b 高为 h 则梁的 强度 W kbh 2 k 是常数 问 b 和 h 分别为何值时 梁的强度 W 最大 16 对某零件的长度测定 n 次 其值测得的结果分别为 x x2 xn用 x 表示该零件的长度 令 问 x 为何值时 可使最小 17 在一块长为 8 寸 宽为 5 寸的矩形铁杖的四个角上分别剪去相同的小正方形 然后折叠 成一个无盖的长方体容器 问剪去的小正方形边长为多少寸时可使加工成的长方体容器的容积最大 18 某产品的固定成本为 60000 元 每生产一件产品需增加 20 元成本 设产销平衡 该产品 的单位售价为 其中 Q 表示产量 问产量 Q 为多少时 该产品利润最多 并求最大利润 19 某商店每周购进一批商品 进价为 6 元 件 若售量 Q 与每件售价 P 的尺度为 p a bQ 且 每件售价为 10 元时可售出 120 件 每件售价降低 0 5 元时 售量增加 20 件 向价格 p 定为多少时 每周利润最多 求最大利润 20 假设在航行中的燃料费与速度 的立方成正比 已知 10 公里 小时的燃料费为 6 元 小 时 其他费用为 96 元 小时 问 为何值时 该船航行每公里的费用总和最小 21 求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线 第 四 章微分中值定理和导数的应用打印本页 三 同步练习题 1 在 x 1 处不可导 在 0 2 内不处处可导 在 0 6 上有意义 在 0 6 上连续 且 在 0 6 内可导 f 0 f 6 0 在 0 6 上满足罗尔定理三个条件 中值 c 4 在 x 1 不可导 f x 在 2 0 不满足罗尔定 理的三个条件 所以不处处可导 2 f x 在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且 f 0 f 1 0 根据罗尔定 理 在 0 1 所以内至少存在一点 0 c 1 使 二至少存在一点 0 c 1 使 x c 是方程的根 同理可得方程内至少有一根 由于是一元二次方程 只有二个根 故方程在 0 1 和 1 2 中各恰 有一根 3 f x 在 0 2 在连续 在 0 2 内可导 故 f x 在 0 2 上满足拉格朗日定理的条件 故在 0 2 内至少存在 0 c 2 使 5 用洛必达法则求下列极限 6 所以当 x 趋于 0 时 原式就等于 e0 1 7 极限是否可用洛必达法则计算 为什么 如不能 则应如何求它的值 此极限不存在 不能用洛必达法则计算 正确的解法是 8 此极限不存在 不能用洛必达法则计算 正确的解法是 9 求下列函数的增减区间以及极值 列表得 列表得 列表得 列表得 列表得 列表得 10 的极小值为 y 1 1 且点 0 1 是它的拐点 求 a b c 解 极小值为 y 1 1 得 1 a b c 在 x 1 处取极值 得 0 3a b 点 0 1 是拐点 0 1 在曲线上 得 1 c a 1 b 3 c 1 12 证明不等式 f x x arctanx 在 0 上的最小值为 f 0 0 x 0 时 f x 0 即 x 0 时 x arctanx 0 在 0 上 在 0 上 f x 的最小值为 f 0 0 x 0 时 f x 0 即 x 0 时 f x 在 0 上的最小值为 f 0 0 x 0 时 f x 0 即 x 0 时 x sinx 13 若在 a b 内在 a b 的增减性 0 a x b 在 a b 上 F x 增加 14 求曲线的凹凸区间及拐点 列表得 凸区间为 2 凹区间为 2 15 用截面的直径为 d 的圆形木材加工成截面为矩形的梁 如果它的宽为 b 高为 h 则梁的强度 W kbh 2 k 是常数 问 b 和 h 分别为何值时 梁的强度 W 最大 因为只有一个驻点 时 强度 w 最大 16 对某零件的长度测定 n 次 其值测得的结果分别为 x1 x2 xn 用 x 表示该零件 的长度 令问 x 为何值时 可使最小 唯一驻点是极小值点 此极小点是最小值点 17 在一块长为 8 寸 宽为 5 寸的矩形铁杖的四个角上分别剪去相同的小正方形 然 后折叠成一个无盖的长方体容器 问剪去的小正方形边长为多少寸时可使加工成的长方体容 器的容积最大 设剪去小正方形边长为 x 容器体积为 y 则 y x 5 2x 8 2x x 5 2 驻点为 x 1 唯一驻点是极大点 也是最大值点 即 x 1 时容器体积最大 最大体积为 y 1 18 寸 3 三 同步练习题 1 在 x 1 处不可导 在 0 2 内不处处可导 在 0 6 上有意义 在 0 6 上连续 且 在 0 6 内可导 f 0 f 6 0 在 0 6 上满足罗尔定理三个条件 中值 c 4 在 x 1 不可导 f x 在 2 0 不满足罗尔定理 的三个条件 所以不处处可导 2 f x 在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且f 0 f 1 0 根据罗尔定理 在 0 1 所以内至少存在一点 0 c 1 使 二至少存在一点 0 c 1 使 x c 是方 程的根 同理可得方程内至少有一根 由于是一元二次方程 只有二个根 故方程在 0 1 和 1 2 中各恰有 一根 3 f x 在 0 2 在连续 在 0 2 内可导 故f x 在 0 2 上满足拉格朗日定理的条件 故在 0 2 内至少存在 0 c 2 使 5 用洛必达法则求下列极限 6 所以当 x 趋于 0 时 原式就等于 e0 1 7 极限是否可用洛必达法则计算 为什么 如不能 则应如何求它的值 此极限不存在 不能用洛必达法则计算 正确的解法是 8 此极限不存在 不能用洛必达法则计算 正确的解法是 9 求下列函数的增减区间以及极值 列表得 列表得 列表得 列表得 列表得 列表得 10 的极小值为 y 1 1 且点 0 1 是它的拐点 求 a b c 解 极小值为 y 1 1 得 1 a b c 在 x 1 处取极值 得 0 3a b 点 0 1 是拐点 0 1 在曲线上 得 1 c a 1 b 3 c 1 12 证明不等式 f x x arctanx 在 0 上的最小值为f 0 0 x 0 时f x 0 即 x 0 时 x arctanx 0 在 0 上 在 0 上f x 的最小值为f 0 0 x 0 时f x 0 即 x 0 时 f x 在 0 上的最小值为f 0 0 x 0 时f x 0 即 x 0 时 x sinx 13 若在 a b 内在 a b 的增减性 0 a x b 在 a b 上 F x 增加 14 求曲线的凹凸区间及拐点 列表得 凸区间为 2 凹区间为 2 15 用截面的直径为 d 的圆形木材加工成截面为矩形的梁 如果它的宽为 b 高为 h 则梁的 强度 W kbh2 k 是常数 问 b 和