集合与不等式(学案).doc

高中数学学业水平考试考前复习提纲1.1集合的含义、表示及基本关系知识清单1.集合的概念。一般地，我们把研究对象统称为元素，元素通常用小写拉丁字母a,b,c,表示把 叫做集合（简称为集）。集合通常用 表示构成集合的元素除了常见的数、式子、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象。2.集合的元素有三个特性，即 、互异性、 3.元素与集合之间关系.（1）如果a是集合A的元素，就说 ，记作 ；（2）如果a不是集合A的元素，记作 4常用的数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号5. 集合的表示方法：（1）列举法：把集合的元素 出来，并用 括起来表示集合的方法（2）描述法：用 表示集合的方法 （3）自然语言法.6. 集合与集合的关系.子集 ：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 我们就说这两个集合有 关系，称集合A为集合B的子集，记作 任何一个集合是它本身的子集。相等集合：如果 ，且 ，那么就说集合A与集合B相等，记作A=B。 两个相等的集合的元素完全相同。真子集：如果集合，但存在元素 ，我们称集合A是集合B的真子集，记作 7. 空集 ：把 的集合叫做空集，记为。注：空集是任何集合的子集。典型例题例题1：求集合的子集与真子集.例题2：求x|ax2+2x+1=0 是单元素集合时a的值.例题3：设集合A = ，B = ，且BA，求实数的取值集合。例题4已知集合M = ，P = ，求证：MP例题5已知集合，且，求实数的取值范围。课堂练习 1.用列举法表示集合为： 2. 已知集合S=a,b,c中的三个元素为ABC的三边长，那么ABC一定不是（ ）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形3.下列集合中，表示同一集合的是（ ）AM=（3，2），N=（2，3）BM=3，2，N=2，3CM=（1，2），N=1，2D（x,y）|x+y=1,N=y|x+y=14.设a、b、c是非零实数，求由的值的全体所组成的集合。5.把集合M=用列举法表示出来.课堂小结由学生自我整理课后作业1. 已知集合M满足2，3M1，2，3，4，5，则满足上述条件的集合M的个数为（）2 46 82已知集合M = ，N = ，P = ，则M、N、满足关系（）M = N P M N = PM N P N P M3.已知A= ，若1A，求实数的值。4. 已知集合S = x|x = 2n + 1,nZ,T = x|x = 4k 1,kZ,试判断S与T两个集合之间存在着怎样一种关系（包含或相等）。 5. 已知集合A=2,a+2,3,B=3,5,若，求a的值.6已知含有三个元素的集合求的值.7.已知由实数组成的集合A满足:若,则.1 设A中含有3个元素,且求A; A 能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由。高中数学学业水平考试考前复习提纲1.2集合的运算(交并补)知识清单1.并集： 般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.即 ，它对应于实数的加法；2.交集 ：一般地，由 的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.即 3全集与补集： 一般地，我们含有所研究问题中涉及的所有元素构成的集合称为全集，记作 而把 的所有元素组成的集合称为集合A相对于U的补集，简称为A的补集，记作： 它对应于实数的 。4.集合运算的一些基本结论(1)AB A， AB B， AA=A， A= , AB=BA；(2)A AB，B AB，AA=A， A= A, AB=BA；(3) （CUA）A=U，（CUA）A= ，CU（CUA）=A；(4) (5)若，则AB，反之也成立；若，则B A，反之也成立若x（AB），则xA，且xB；若x（AB），则xA，或xB5.在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。另外，我们也常常借助数轴来处理集合的运算和关系。典型例题例题1：已知集合U = x|x 5,集合A = x|- 2 0时,ax2+bx+c0(0)或ax2+bx+c0(0)分别称为大于和小于型不等式.4.结合二次函数与一元二次方程的知识，解一元二次不等式的一般步骤如下：（1）化为标准形式；（2）判断方程ax2+bx+c0的判别式的情况，若或，则构造二次函数后求解；若，则进行第（3）步.（3）解出方程ax2+bx+c0的两根，不妨设.若化成的标准形式不等式为“大于型”则解集“两边飞”， “小于型”则解集“两边飞”.5.一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系 =ax2-4acxyx2x10y=0y0)的图象xx0xy=ax2+bx+c(a0)的根x1 x2x=-没有实根ax2+bx+c0(a0)的解集xxx2或x0)的解集xx1xx2典型例题例题1：已知，且，则下列不等式中正确的是（ ）A. ； B. ；C. ； D. 例题2：求证：例题3：若A=, B=,求AB。例题4：若不等式ax2+bx+c0的解集为，求不等式cx2+bx+a0的解集.例题5：已知0a0的解集。例题6：函数y=lg（2-m）x2+2（2-m）x+4的定义域为R，求实数m的取值范围。 课堂练习 1. 若，则下列正确的是（ ）A. ；B. ；C. ； D. 2不等式的解集为（ ）A. ； B. ；C. ； D. 3若，且，则的取值范围是： 。4某同学在解不等式时，误将其看作而解得，求原不等式的解集.5不等式 的解集为空集，求实数k的取值范围。课堂小结由学生自我整理课后作业1设A= ，B=，比较A、B的大小。2已知函数是R上的奇函数，且单调递增，若，那么的值一定（ ） A.一定大于0； B. 一定小于0； C.等于0； D.都有可能3已知均小于0，且，求证：.4关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）A. ； B. C. D. 5已知三个不等式：；，以其中两个为条件，余下一个做为结论，则可以组成多少个真命题？ 6不等式的解集为，求的解集.7 f（x）=的定义城是R，求实数k的取值范围.8解关于x的不等式：高中数学学业水平考试考前复习提纲1.4二元一次不等式几何意义及线性规划知识清单1. 二元一次不等式的几何意义:在坐标系上，二元一次方程的几何意义是表示一条直线.而二元一次不等式表示的几何意义是对应直线 ，也就是说，二元一次不等式的解集对应的点都在直线的同一侧，可以称为 性.2.判断二元一次不等式所表示的具体是直线的哪一侧区域主要有以下两种方法：（1）根据同侧性，用“直线 ，特殊点定域”的方法；（2）化为标准形式后，直接用“小于型在左侧，大于型在右侧”的结论.(不适合于与y轴垂直的直线)3. 二元一次不等式组的几何意义就是各二元一次不等式所表示区域的 . 4. 线性规划的相关概念线性规划：就是在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题.牵涉到以下一些概念： 线性规划中的基本概念名 称意 义约束条件由变量x、y满足的条件线性约束条件由x、y 的 一次 不等式（方程）组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x、y的 一次 解析式可行解满足 约束条件 的解（x 、y）可行域所有可行解组成的 集合最优解使目标函数取得 最大值或最小值 的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求目标函数的最大值或最小值的问题5. 线性规划的主要步骤（1）根据实际问题得出约束条件和目标函数，并画出相应可行域；（2）将线性目标函数Z=Ax+By转化为直线的斜截式方程，先画过原点的直线，当B0则反之.（3）联立直线方程，找到最优解并代入目标函数中，求得Z的最值.6.线性规划的拓展（1）可行域可能拓展到是一条直线、一些点或是一个区域.其中求可行整数解的方法:一是用网格线将可行域分解为若干个整数点，看哪个离最优直线最近；二是在原来的最优解附近试值。（2）目标函数可以扩充到非线性的，但一般都具有几何意义。如表示区域内某点P（x,y） ；表示区域内某点P（x,y）到原点O的 等等7.常见的线性规划的实际问题的类型给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小。典型例题例题1：画不等式组表示的区域例题2：已知点A（2、3）和点B（4、5）在直线2x+ay-1=0的同侧，求a的取值范围例题3：已知均为正数，且不等式在坐标系上表示的区域为A，表示的区域为B，若A与B有公共部分，求应满足的关系式.例题4：设z=2y-2x+4,其中x,y满足，求z的最大值。例题5：设点（x,y）满足，且的最大值为，求a的值。课堂练习 1. 画出不等式表示的区域：（x-y）(x+2y-2)02. 约束条件 下目标函数为Z=4x+3y ,则Z的最大值为 3. 已知点（1，-2）与原点（0，0）在直线ax+（a-2）y+1=0的两侧，则a的取值范围是 .(1,)(4,2)(1,1)4.某线性规划问题中的可行域如图，若使目标函数Z=ax+y (a0)取得最大值的最优解有无穷多个，分析a的取值情况. 课堂小结课后作业1在平面直角坐标系中，直线x+y=0右上方的点（x、y）满是（）A、x+y0B、x+y0C、x+y0D、x+y 02.如图阴影部分的区域可用二元一次不等式组表示的是（ ）x12yoA、 B、C、 D、3.画不等式表示的平面区域4. 求不等式组表示的区域面积。5. 设集合A=(x,y)| x，y，1-x-y是三角形三边长，画出A所示的平面区域6. 将甲、乙两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格的大小钢板，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格块数品种ABC甲种钢板212乙种钢板122今需要A、B、C三种规格的成品分别至少有15块、18块、27块，列出所需甲、乙两种钢板数满足的数学关系式。7. 设x,y满足，求的最大值。8.已知1x+y5,-1x-y3求2x-3y取值范围高中数学学业水平考试考前复习提纲1.5基本不等式知识清单1基本不等式的概念：若，则 （当且仅当时，等号成立）。基本不等式又称为均值定理，均值不等式等，其中称为正数的 ，称为正数的几何平均数。2常见的与基本不等式相关的一些不等式（公式）（1） （2）（3） （4）（5）3用“基本不等式”求最值.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三等号”的原则，即第一：两个数必须是正实数；第二：和（求最大值）或积（求最小值）必须为常数；第三：等号成立的条件必须得到保证。一般“积定则和有最小值，和定则积有最大值”.（1）设x、y为正实数，若xy=p（p为常数，即积为定值），则当x=y时，其和x+y取得最小值 .（2）设x、y为正实数，若x+y= s（s为常数，即和为定值），则当x=y时，其积xy取得最大值 .4用基本不等式知识解实际应用问题的一般步骤：在理解题意的基础上设好变量；建立相应的函数解析式，将实际问题转化、抽象成为函数的最大（最小）值问题；在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大（最小）值，这一步往往用到基本不等式；回到实际问题中，作出正确的答案.典型例题例题1：若且均为正数，求最大值.例题2：求函数的值域。例题3：若为不全相等的正数，求证：例题4：已知x,y都是正数， 且，求的最小值。例题5：完成下面问题的解决：某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面费用 在这个问题中，把房屋总造价表示成的函数，可以得到，那么当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？ 例题6：若a、b均为正，a+b=1，求证： 课堂练习 1下列结论正确的是（ ）A当BC的最小值为2D当无最大值2若，则函数有（ ）A最小值 B最大值 C最大值 D最小值 3函数的最小值是： 。4已知均大于0，且，求的最小值.5已知对任意正数x,y都成立，求正实数a的最小值。 课堂小结由学生自我整理课后作业1若且满足，则的最小值是（ ）A；B ；C ；D2设，且，若，则有（ ）A； BC D3若则使不等式恒成立的常数m的最大值是（ ）A2； B，3；