巧用定比分点解代数问题.doc

巧 用 定 比 分 点 解 代 数 问 题张光荣 广东省韶关市第一中学高中部 美国数学家斯蒂思曾经说过，若一个特定的问题能转换为一个图形，那思想就整体地把握了问题，而且能创造地思索问题的解法.通过几何直观，不但使抽象的数学概念有了几何意义，得到了具体直观的几何解释，使抽象概念变得更利于学生理解掌握，而且其具体的几何意义常常给我们解题提供思路和方法.在许多数学问题中，只要深入挖掘，拓展关系抓住问题的共性，便可以巧建出相似的几何模型，既使问题变得容易解决，又提高了学生创新的思维能力，实属一举两得.常见的几何模型有多边形、单位圆、长方体、正方体等具体图形，也有距离、直线的斜率、线段的定比分点等几何特征量，距离和斜率应用很广泛，而线段的定比分点往往被忽视.1. 定义设、是直线上的两点，点是上不同于、的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点分有向线段所成的比.2. 性质2.1 坐标之间的关系若点、的坐标分别为（，）、（，）、（，），则有，即（、不重合），又可得.2.2 的取值范围（1）当点在线段上（点为内分点）时，；（2）当点与重合时，当点与重合时，定义无意义，不予研究；（3）当点不在线段上（点为外分点）时，且.具体地，若当点在线段的延长线上时,；若当点在线段的反向延长线上时，.综上，且.2.3特例当直线就是数轴时，数轴上三点、分别对应三个实数，结合实数的性质和定比分点公式可以解决很多代数问题.3.运用3.1用于求函数的解析式例1 已知的图像过点（，），是否存在常数、，使得不等式对一切实数都成立？解：假设存在。当，总有，为此我们不妨设、为数轴上三点，则，很显然其中，于是由定比分点的坐标公式得，又因为过点（，），代入得，解得.再将代入中得到=.3.2 用于求函数的值域例2 求函数的值域.解：令（），则有.不妨设、为数轴上三点，则，由解得，即函数的值域是，其几何意义是点是的外分点或点与重合.3.3用于解不等式例3 解不等式：.解：不妨设、为数轴上三点，由得，而点是线段的内分点，则有，解得，即原不等式解集是.3.4用于证明不等式例4证明：已知,求证,而,不妨设、为数轴上三点，则，显然有,这说明点是线段的内分点，则,即证.3.5用于处理三角问题例5证明：的值不在区间里.证明：(1)若，则；(2)若，则；(3)若，不妨设、为数轴上三点，点是分点.则有，即是的外分点，必有.综上，的值不在区间里.3.6用于处理数列问题 等差数列的通项公式是：，是关于的一次函数，其图像为直线，则、三点必共线（m、n、k），可将点看作是的定比分点.例6 在3与19之间插入31个数，使他们成等差数列，求其通项公式.解：设通项公式为,由、得、，点分所成的比为，于是，整理得.以上仅仅只是笔者构造定比分点解决代数问题的一点尝试，这充分体现了数形结合思想.数形结合是一种极富数学特点的信息转换，是直觉和逻辑的交汇，能很好地提升思维的灵活性.但正确使用数形结合要注意等价性、双向性、简单性原则，教学中尤其要把握好数与形的双向沟通，让学生感到转换过程自然，否则就哗众取宠，流于形式.作者简介张光荣(1977 ), 男 ，湖北洪湖人，大学本科，中学数学一级教师，中学奥数一级教练员，在省级、国家级等各类杂志上公开发表论文二十余篇