中学数学思想方法之数形结合研究.doc

中学数学思想方法之“数形结合”研究罗碧兰（广东第二师范学院 510303）摘要：中学数学中的思想方法是中学阶段用于解答数学题的一类方法的概括，是贯穿于该类数学方法中的思维策略。例如，数形结合法、分类讨论法、公理化法、特殊化法、构造法等。其中的数形结合法又是解析法、三角法、图解法等的一类方法的概括，其思维解题策略是把数和形这两个数学研究的基本对象联系起来做综合考察，充分发挥代数和几何的理论优势，使问题得到解决。本文主要从中学数学中的思想方法数形结合法在中学数学中的应用、影响两方面进行研究。关键词：中学数学；思想方法；数形结合；转化；以形助数；以数解形1. 引言：数学思想方法是一类具体方法的概括，它以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍使用的方法。数学思想方法是掌握数学知识的基本方法,也是提高数学基本功的重要措施。熟练掌握和灵活运用这类方法,就能左右逢源,找到突破口,简化复杂问题,更好、更快地发现解题思路。数形结合思想是联系代数知识和几何知识的纽带,是架设它们的桥梁，数与形结合考察,往往使复杂问题简化、明朗化【1】。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的学科,所以数与形是数学的两个基本概念。在解题时,数和形可以结合在一起,在内容上互相联系,在方法上相互渗透,在一定的条件下还可以相互转换,这就是数形结合思想。在教学中,它能激发学生的学习兴趣,提高学生的记忆能力,训练学生的直觉思维与创造思维。同时,数形结合是一种重要的数学思想方法,在解题中以形表达数量关系,借数解形,数形结合,可以达到直观又入微的教学效果。这样，把数、式与图形结合起来,用代数的方法分析图形;用图形来直观地理解数、式中的关系。通过实例揭示了数形结合思想在解决问题时的重要作用,以及数形结合的意义。2. 数形结合的应用实例：数形结合思想是重要的数学思想之一,在中学数学教学中,我们会经常用到它,尤其是在函数教学中.例如运用数形结合思想可以把一些抽象的数学问题变得具体化,具有化腐朽为神奇的力量,更有助于培养学生的想象力,增加学生的学习兴趣. 数量关系如果借助于图形性质,可使许多抽象概念直观而形象,有利于解题途径的探求,这通常称为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究,又可以获得简捷而一般化的解法,即所谓“以数解形” 【2】。 它不仅在数学解题中有着强大的功能,更在数学教学中发挥着巨大的作用。形的直观与数的精确相辅相成,能优化解题,化解难点知识。实现数形结合,常与以下内容有关:实数与数轴上的点的对应关系;函数与图像的对应关系;曲线与方程的对应关系;以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如复数、三角函数等;所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义,如等式(x-2)2+(y-1)2=4.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解题能使我们快而准地得到答案。以下是一些实例。一，以形助数。解析法：解析法又称坐标法，是解解析几何和立体几何问题的重要方法之一。它是通过建立适当的坐标系，把几何问题转化为代数问题，再加以分析研究和计算解决问题的方法。应用该方法关键是如何选择恰当的坐标系，同一个问题，因为选择的坐标系不同，繁简程度有很大的差异。因此，选择坐标系时的法则是尽量使点的坐标容易标出来。例1.在ABC中，AO是BC边上的中线。求证：AB2+AC2=2（OA2+OC2）。证明：取线段BC所在直线为x轴、点O为原点建立直角坐标系。如图（1），设点A（a,b），B（-c,0）,C(c，0),由两点距离公式可得AB2=（a+c）2+b2,AC2=(a-c)2+b2,OA2=a2+b2,OC2=c2, AB2+ AC2=2(a2+b2+ c2), OA2+ OC2= a2+b2+ c2.AB2+ AC2=2 (OA2+ OC2). 数形结合法也可以用于解方程。例2.解方程：x2-2x-3=0。在直角坐标系中作抛物线x2-2x-3=0，从图上可以看出x1=-1,x2=3.当然此题最简便的方法是用求根法了！例3.如果实数x,y满足（x-2）2+y2=3,那么的最大值是（）。A B. C. D.解析：如图（2），圆（x-2）2+y2=3的圆心为（2,0），半径为r=，设=k,则k为y=kx的斜率，显然k的最大值在直线y=kx与圆相切时得到，及直线OM的斜率k为最大值。又AM=，OA=2，则MOA=60。于是Kmax=tan60。=.故选D。三角法：有些代数问题用代数方法解很麻烦 ,而用三角函数的方法来解 ,则能使复杂的问题简化。所谓三角法，就是引进辅助角，把代数或几何问题转化为三角函数问题的解决方法。例4.已知：x2-2xy+2y2=2,求证：-x+y.证明：由x2-2xy+2y2=2得+=1.因为sin2A+cos2A=1 所以设sinA= , cosA=,即x-y=sinA y=cosA .由+2得x+y=sinA+2cosA=sin(A+).-x+y.例5.已知a、b、c是三角形的三边长，S为面积，求证：a2+b2+c24S【3】.证明：作一个等边三角形ABC。AA2= a2+b2-2abcos(600-C)=a2+b2-2ab(cosC+sinC)= a2+b2-ab cosC-ab sinC= a2+b2-ab-ab sinC=+-2S=( a2+b2+c2-4S) 0a2+b2+c24S.图解法：图解法是数学及其他理科教与学的实践中最重要的方法和工具之一,它的应用能使复杂问题简单化、抽象问题具体化.很多题目都可以利用图解法来解决，前面一些例题的解法也可说是图解法。例6：数形结合法解概率问题：甲、乙两人相约10小时之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人3小时以后方可离去，若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会面的概率是多少？解析：设甲、乙两人分别在第x,y小时到达某地，则0x10,0y10,两人会面的条件是x-y3.如图（5），区域ABCO是边长为10的正方形，图中介于两条直线x-y=3 、x-y=-3之间的阴影部分表示事件A“此两人会面”，于是问题可以理解为求图中阴影部分占正方形的概率。所以，S=1010=100，SA=102-(10-3)2=51.故所求概率为P（A）=。例7.求方程10 x-sinx=0的解的个数。解析：此方程的个数为y=10 x的图像与y=sinx的图像的交点个数。因为sinx1, 10 x1.所以0x10在平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如图（6），可直观的看出两曲线有3个交点。 图（6）二，以数解形 例8 如图（7），定圆半径为a,圆心为（b,c）,则直线ax+by+c=0与直线xy+1=0的交点在 ( ) 图（7）A.第一象限 B第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：根据“图形语言”予以赋值，可使抽象问题具体化。由条件知a=r0,b0,且|b|r=a,|c|ac0，取a=2,b=3，c=1。得：交点(2,1)在三象限，选C。关于数形结合的类型题还有很多，例如，还可以研究函数的最值问题：y=+的最小值。我们可以根据它的几何意义进行转化，并利用函数图像进行分析，如图（9），其几何意义是动点P（x,0）到两定点A(0,2)，B（1,1）的距离之和。设B为B点关于x轴的对称点，显然点P在A B所在直线上时到两定点的距离之和最短。故A B=。 图（8）3.数形结合对数学学科的深刻影响：运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题化为数量关系的问题，或把数量关系的问题化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。这样，数形结合思想既能发挥代数的优势，又可以充分利用图形的直观性，从多个角度坍缩问题，对人的思维能力的发展大有裨益.我国著名数学家华罗庚曾写下这样一首诗，形象生动的阐述了数形结合的意义。“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。切莫代数统一体，永远联系，切莫分离。”可见，数与形二者相辅相成，缺一不可【4】。利用数形结合思想方法解题时，还能够调动学生的直觉思维和逻辑思维。4.总结：总之，数学思想方法制约着数学活动中主观意识的指向，对方法的取舍具有规范和调节的作用【5】。仅有数的分析或形的直观都不易单独解决的问题。数形结合既具有数学学科的鲜明特点,又是数学研究的常用方法。纵观多年来的高考试题,利用数形结合思想解题比比皆是,因此在教学中应引导学生树立数形结合的思想，将可使学生掌握多一种灵活解决数学问题利刃。这样引导学生领略数学的美，使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣和探讨的欲望，从而有可能获得最佳的教学效果。参考文献：【1】 向爱平.掌握数学思想方法 探索解题思路