题型归纳第一章集合与函数(以2007-2012年高考真题做例题)学生版(无答案).doc

第一章 集合与函数概念考点一：集合的描述法 描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：例1：已知集合（ ） A. ； B. ； C. ； D. 错解误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B正解 C； 显然，故考点二：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征例1【2008年江西理】定义集合运算：设，则集合的所有元素之和为（ ）A0； B2； C3； D6【答案】D解题思路根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素【答案】：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=变式1【2006山东改编】定义集合运算:,设集合,则集合的所有元素之和为 题型2：集合间的基本关系例1数集与之的关系是（ ）A ； B； C； D【答案】 C解题思路可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。【答案】 从题意看，数集与之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。变式1,则下列关系中立的是( ) A; B;C;D变式2.【2007湖北改编】设和是两个集合，定义集合，如果，,那么等于 变式3研究集合，之间的关系考点三：集合的基本运算 例1 设集合，（1） 若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围若，解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。【答案】因为，（1）由知，从而得，即，解得或当时，满足条件；当时，满足条件所以或（2）对于集合，由因为，所以当，即时，满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，才能满足条件，由根与系数的关系得，矛盾故实数的取值范围是【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.新题导练 变式1若集合，则是（ ）A. ；B. ；C.；D. 有限集变式2已知集合，那么集合为（ ）A.； B.； C.； D.变式3集合,且,求实数的值.变式4：已知，则中的元素个数是（ ）A. ； B. ； C.； D.无穷多个变式5【2008年天津】设集合，则的取值范围是（ ）A；B C或；D或变式6（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义，已知A=，B=，则AB等于（ ）A ；B；C；DUBA变式7.（09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A；B；C；D考点四：判断两函数是否为同一个函数例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（nN*）；（4），；（5），解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。【答案】 （1）由于，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当nN*时，2n1为奇数，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，都可视为同一函数.变式1. (2009佛山) 下列函数中与函数相同的是( )A .y = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. y=变式2.(09年重庆南开中学)与函数的图象相同的函数是 （ ）A.；B.；C.； D.考点五：求复合函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域例1：【2008年湖北卷文科8】函数的定义域为( )A. ;B.；C. ;D. 【答案】D解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。【答案】欲使函数有意义，必须并且只需，故应选择 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0；负分数指数幂中，底数应大于0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。变式1.【2012高考山东文3】函数的定义域为 (A) (B) (C) (D)变式2.【2012高考四川文13】函数的定义域是_。（用区间表示）变式3.【2012高考广东文11】函数的定义域为 .变式4.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为 变式5【2011年高考广东卷文科4】函数的定义域是 （ ）A B C D变式6【2011年高考江西卷文科3】若，则的定义域为A BC D变式7.【2011年高考安徽卷文科13】函数的定义域是 . 变式8.【2010广东文数2】函数的定义域是A. B. C. D. 变式9.【2010湖北文数5】函数的定义域为A.( ,1)B(,)C（1，+）D. ( ,1)（1，+）变式10.【2009江西卷文】函数的定义域为ABCD 变式11.【2009福建卷文】下列函数中，与函数 有相同定义域的是 A . B. C. D. 变式12.【2008全国卷文科1】函数的定义域为（ ）ABCD变式13.【2008安徽卷文科13】函数的定义域为 变式14.【2007陕西卷文科2】函数的定义域为（A）0，1（B）（-1，1）（C）-1，1（D）（-，-1）（1，+）题型2：求抽象函数的定义域例1：（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；（2） 已知函数的定义域为，求函数的定义域；（3） 已知函数的定义域为，求函数的定义域.解析：（1）设，由于函数的定义域为，故，即，解得，所以函数的定义域为. (2)设，因为，所以，即，函数的定义域为.由此得函数的定义域为 (3)因为函数的定义域为，即，所以，所以函数的定义域为，由，得，所以函数的定义域为.例2【2006湖北】设，则的定义域为（ ）A. ；B. ；C. ；D. 【答案】B解题思路要求复合函数的定义域，应先求的定义域。【答案】由得，的定义域为，故解得。故的定义域为.选B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。变式1.【2008江西卷文科3】若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A B C D变式2. (2008江西改) 若函数的定义域是，则函数的定义域是 变式3（05天津改）设函数，则函数的定义域是 考点六：求函数值域 函数值域求解方法：1 直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。例，2 配方法（二次函数法）：形如的函数的值域问题，均可使用配方法例 变式：求函数的值域解析：可变为解决3 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 例4 分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以用反函数法。例： 变式1：求函数的值域变式2：求函数的值域5 换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。例： 变式：求函数的值域6 判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 例 变式1：求函数的值域 7 函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例8 利用函数的导数求最值：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值。 例：求函数的值域 解析：因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为9 利用重要的不等式：基本不等式求值域。例 变式：求函数的值域10 图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。11 基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。注：求函数的值域没有通性解法，只有根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。但不论哪种方法，都应遵循一个原则：定义域优先的原则。求函数的值域或最值题型1：求有解析式函数的值域例1已知函数，若恒成立，求的值域解题思路应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域【答案】依题意，恒成立，则，解得，所以，从而，所以的值域是【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。变式1. 定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )A；B；C；D无法确定 变式2. 函数的值域是 变式3.【2010重庆文数4】函数的值域是（A） （B）（C） （D）变式4.【2010山东文数3】函数的值域为A. B. C. D. 变式5【2008浙江卷文科11】已知函数，则_。变式6. 【2008江西理改】若函数的值域是，则函数的值域是 变式7.【2007浙江卷文11】函数的值域是_变式8.【2007重庆卷文16】函数的最小值为 。变式9. （09年执信中学）若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）A；B； C；D变式10设函数的定义域是(是正整数)，那么的值域中共有 个整数题型2:求抽象函数的值或值域例1.【2008陕西卷文科11】定义在上的函数满足（），则等于（ ）A2B3C6D9【答案】A解：令，令；令得题型3:已知函数的定义域，值域，求参数的取值范围例1已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围；考点七：映射题型1：映射的性质例1 （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）A；B；C；D解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。【答案】 当接收方收到密文14，9，23，28时，有，解得，解密得到的明文为C【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.变式1集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立从A到B的映射个数是_，从B到A的映射个数是_.变式2若f :y=3x+1是从集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.变式3（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则中，构成从集合A到集合的映射是（ ）ABCD变式4.（03年上海）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立。（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数的图象与的图象有公共点，证明： 题型2：定义的新型函数例1【2011年高考广东卷10】文科设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意x ，（fg）（x）=；（fg）（x）=则下列恒等式成立的是ABCD变式1【2011年高考天津卷文科】对实数，定义运算“”：设函数。若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）ABCD-2，-1变式2.【2010陕西文数10】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx（x表示不大于x的最大整数）可以表示为B（A）y（B）y（C）y（D）y变式3.【2008湖南卷15】设表示不超x的最大整数，（如）。对于给定的,定义则_;当时，函数的值域是_。 考点八：函数的三种表示法 题型1： 函数解析式的求法：（1） 代入法： 由求，一般使用代入法 例：已知，求解：（2）换元法：已知复合函数的表达式时，可令，再求出的解析式，然后再用代替两边所有的，即可求出函数解析式，要注意所换元的定义域的变化。 例： 已知，求解：令，则， 变式：已知函数满足，求（3）待定系数法：已知的函数类型，求的解析式时，可根据类型设其解析式，然后确定其系数即可。例：设是一次函数，且，求解：设 ，则 （4） 方程组消元法已知与满足的关系式，要求，可用代替两边所有的，得到关于及的方程组，解之，即可得到。例：已知，求解： 用代替式中的， 由2-，得 （）例1.（04湖北改编）已知=，则的解析式可取为 【答案】解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法【答案】 令，则， .【名师指引】求函数解析式的常用方法有： 换元法（ 注意新元的取值范围）； 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；整体代换（配凑法）；构造方程组（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等）。变式2（06全国卷二改编）若，则 变式3（09年潮州金山中学）设是一次函数，若且成等比数列，则 ；变式4.（华侨中学09届第3次月考（09年中山）设 ，又记则 （ ）A；B；C；D；变式5.（普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数满足，且。求的解析式；在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。变式6设二次函数满足,且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求的解析式。变式7（05江苏）已知为常数，若，则= 变式8（06福建）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。变式9.【2011年高考浙江卷文科11】设函数 ,若,则实数=_变式10.【2007山东卷文科6】给出下列三个等式：，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）ABCD变式11.已知函数，求的值题型2：用图像法表示函数：例题1(05辽宁改)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）A B C D 【答案】 A.；令，则等价于，是由点组成，而又知道，所以每各点都在y=x的上方。变式1【2005湖北】函数的图象大致是( )题型3：用列表法表示函数例1 （07年北京）已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为；满足的的值是解题思路这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。【答案】由表中对应值知=；当时，不满足条件当时，满足条件，当时，不满足条件，满足的的值是【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。变式1（09年山东梁山）设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：映射f的对应法则是表1原象1234象3421映射g的对应法则是表2原象1234象4312 则与相同的是（ ）A；B；C；D变式2（04年江苏改编）二次函数（R）的部分对应值如下表：3210123460466406则不等式的解集是 考点九：分段函数题型1：根据分段函数的图象写解析式例1 【2007年湖北卷】为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。思路点拨根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（）【答案】 （）观察图象，当时是直线，故；当时，图象过所以，即，所以（），所以至少需要经过小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。变式1.【2007安徽卷文科7】图中的图象所表示的函数的解析式为(A)(0x2) (B) (0x2)(C) (0x2)(D) (0x2)变式2（09年广州高三年级第一学期中段考）函数的图象如图2所示.观察图象可知函数的定义域、值域分别是（ ）O-52625图2A.,；B. C.,；D.题型2：分段函数的图象例1. (2006上海)设函数，在区间上画出函数的图像。思路点拨需将来绝对值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。【答案】 ,如右上图.【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。变式1（09年惠州第一次调研考）某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图像可能是（ ）48yot48yot48yot48yot变式2（中山市09届高三统测）已知函数 其中， 。作出函数的图象；变式3（06重庆）如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是（ ）变式4（09年惠州第二次调研考）如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO变式5.【2012高考江西文10】如右图，OA=2（单位：m）,OB=1(单位：m),OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C.甲。乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位:ms）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：ms）沿圆弧行至点C后停止，乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止。设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图像大致是 变式6.【2012高考湖北文6】已知定义在区间0,2上的函数的图像如图所示，则的图像为题型3：由分段函数的解析式写出复合函数的值.或解不等式例1（09年潮州金山中学）已知函数，则 【答案】2变式1（06山东改编）设则不等式的解集为 变式2.【2012高考江西文3】设函数，则（ ）A. B.3 C. D. 变式3.【2102高考福建文9】设则的值为 A 1 B 0 C -1 D 变式4【2012高考陕西文11】设函数发f（x）=，则f（f（-4）= 变式5.【2011年高考福建卷文8】已知函数f（x）=。若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于（ ）A. -3 B. -1 C. 1 D. 3变式6.【2011年高考陕西卷文11】设 则 =_.变式7.【2010湖北文数3】已知函数，则A.4B. C.-4D-变式8.【2010陕西文数13】已知函数f（x）若f（f（0）4a，则实数a .变式9. 【2010江苏卷11】已知函数,则满足不等式的x的范围是_。变式10.【2010天津文数10】设函数，则的值域是（A） （B） （C）（D）变式11.【2009山东卷文】定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( )A.-1 B. -2 C.1 D. 2变式12.【2009天津卷文】设函数则不等式的解集是（ ）A B C D 变式13.【2009湖南卷文】设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 取函数。当=时，函数的单调递增区间为（ ）A B C D 变式14.【2009辽宁卷文】已知函数满足：x4,则；当x4时，则（A） （B） （C） （D）变式15.【2009北京文】已知函数若，则 . 变式16.【2008山东卷文科5】 设函数则的值为（ ）A BCD变式17对记，函数的最小值是（ ）A.；B. ；C.；D.变式18（2004湖南改编）设函数若,则关于的方程的解的个数为 考点十：函数的单调性题型1：讨论函数的单调性 例1 【2008广东】设,函数.试讨论函数的单调性.解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。【答案】: 因为,所以 (1)当x0， 当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递增； 当时，令，解得， 且当时，；当时， 故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；(2)当x1时， x-10， 当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递减； 当时，令，解得，且当时，；当时，故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；综上得，当k=0时，F(x)在区间上单调递增，F(x)在区间上单调递减；当k0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间上单调递增；当时，F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理.变式1（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数的单调递减区间是（ ）A; B; C; D 变式2.【2011年高考江苏卷2】函数的单调增区间是_变式3.【2010全国卷1文数7】已知函数.若且，则的取值范围是(A) (B)(C) (D) 变式4.【2009江苏卷】已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . 变式5.【2007辽宁卷文9】函数的单调增区间为（ ）ABCD变式6（09汕头金中）下列四个函数中，在区间上为减函数的是（ ）A；B；C；D 变式7.【2010北京文数6】给定函数，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A） （B） （C） （D）变式8.（06陕西改编）已知函数若则与的大小关系为 变式9.【2010辽宁文数4】已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（A） （B） （C） （D）题型2：已知函数的单调性，求参数的取值范围例1（华师附中09高三数学训练题）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（ ）A.；B.；C.；D.【答案】 C；因为，由其图象知，若函数在区间上为减函数，则应有变式1（普宁市城东中学09）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A；B； C；D变式2（06北京改编）已知 是上的减函数，那么的取值范围是 变式3.【2012高考安徽文13】若函数的单调递增区间是，则=_。变式4.【2007福建卷文科7】已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是A.（-，1）B.（1，+）C.（-，0）（0，1）D.（-，0）（1，+）题型2：研究抽象函数的单调性例1. 定义在R上的函数，当x0时，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围.解题思路抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。【答案】（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0时f（x）10，xR时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函数，3xx20.0x3.【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.考点十一：函数的最值的求法函数的最值的求法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型1：求分式函数的最值例1 （2000年上海）已知函数当时，求函数的最小值； 解题思路当时，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；【答案】当时，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。【名师指引】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型2：利用函数的最值求参数的取值范围例1 （2000年上海）已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。解题思路 欲求参数的取值范围，应从恒成立的具体情况开始。【答案】在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3， 即【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。变式1.（09年广东南海）若函数的最大值与最小值分别为M,m，则M+m = 变式2.【2012高考山东文15】若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a.变式3.【2102高考北京文14】已知，若，或，则m的取值范围是_。变式4.（高州中学09届模拟）已知函数。 （）若为奇函数，求的值； （）若在上恒大于0，求的取值范围。变式5.（06年重庆）已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；变式6【2008浙江理】已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则 变式7.（09潮州金山中学）已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（ ）A1； B2； C3； D4题型3：求三次多项式函数的最值 例1.（09年高州中学）已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值。解题思路求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。【答案】， 3分 4分 得：当 5分当 6分因此，在区间内单调递减，而在内单调递减，且又 ，10分【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。考点十二：函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性判断函数的奇偶性之步骤：先考查函数的定义域是否关于原点对称将代入，看是与原函数相等或与原函数互为相反数； 如，则为偶函数；如，则为奇函数另外，还需注意：若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数；若是奇函数且在处有定义，则若在函数的定义域内有，则可以断定不是偶函数，同样，若在函数的定义域内有，则可以断定不是奇函数。例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）；（4）思路点拨判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。【答案】 （1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，f（x）=f（x）故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.【名师指引】函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件分段函数的奇偶性一般要分段证明.判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.变式1定义两种运算：，则是_函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）变式2.【2012高考广东文4】下列函数为偶函数的是A. B. C. D. 变式3.【2010广东文数3】若函数与的定义域均为R，则A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数变式4【2010北京文数4】若a,b是非零向量，且，则函数是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数变式5.【2010天津文数5】下列命题中，真命题是(A)(B)(C)(D)变式6.【2009全国卷文】函数y=的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称变式7【2008全国卷文科4】函数的图像关于（ ）A轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称题型2：已知函数的奇偶性，求参数的值例1（09广东电白一中）设函数为奇函数，则_。【答案】0；由函数为奇函数得到，即所以变式1.【2012高考重庆文12】函数 为偶函数，则实数 变式2.【2011年高考辽宁卷文科6】若函数为奇函数，则a=（A） （B） （C） （D）1变式3【2011年高考广东卷文科】设函数,若,则f（-a）=_变式4.【2010山东文数5】设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3变式5 .【2010江苏卷5】设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_变式6.【2009辽宁卷文】已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）变式7.【2008辽宁卷文科2】若函数为偶函数，则a=（ ）A BCD变式8.【2007江苏文科卷8】设是奇函数，则使的的取值范围是（）A B C D变式9.【2007海、宁文14】设函数为偶函数，则变式10（高州中学09届训练题）已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ）A0；B；C1；D变式11已知函数（a、b、cZ）是奇函数,又，求a、b、c的值.题型3：利用函数的奇偶性求值例1.【2012高考新课标文16】设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=_【答案】2【解析】，令，则为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即，而，所以.变式1.【2012高考上海文9】已知是奇函数，若且，则 变式2【2011年高考湖北卷文科3】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则A.B.C.D. 变式3【2011年高考湖南卷文科12】已知为奇函数， 变式4.【2011年高考安徽卷文科11】设是定义在R上的奇函数，当x0时，=，则 .变式5【2008福建卷文科4】函数f(x)=x3+sinx+1(xR)，若f(a)=2, 则f(-a)的值为（ ）A.3 B.0 C.-1 D.-2变式6.【2007辽宁文13】已知函数为奇函数，若，则题型4：证明抽象函数的奇偶性例1. （09年山东梁山）定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数；思路点拨欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值”【答案】令x = y = 0，则f (0) + f (0) = f (0) = 0令x(1, 1) x(1, 1) f (x) + f (x) = f () = f (0) = 0 f (x) =f (x) f (x) 在(1，1)上为奇函数【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) f (x2) = f (x1) + f (x2)新题导练变式1. 【2011年高考四川卷文科16】函数的定义域为A,若A，且时总有，则称为单函数.例如是单函数，下