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线性代数习题答案与参考解答 1矩矩矩阵阵阵及及及其其其运运运算算算 1 1矩矩矩阵阵阵的的的概概概念念念 A1 531 422 410 510 521 422 411 412 433 A2 25 36 510 1 2矩矩矩阵阵阵的的的基基基本本本运运运算算算 A1 1452 1355 1265 A2 25 36 510 100 400 2200 2700 4500 A3 1 12 0 1 14 2 14 32 49 3 23 02 45 4 90 8 1 36 A4 AB a13a12a11 a23a22a21 a33a32a31 AC a11a12ka13 a21a22ka23 a31a32ka33 AD a11 ka12a12ka13 a21 ka22a22ka23 a31 ka32a32ka33 BA a31a32a33 a21a22a23 a11a12a13 CA a11a12a13 a21a22a23 ka31ka32ka33 DA a11a12a13 a21 ka11a22 ka12ka23 ka12 a31a32a33 AB 交换A的第1列和第3列 AC 把A的第3列乘以k AD 在第1列上加上第2列的k倍 BA 交换A的第1行和第3行 CA 把A的第3行乘以k DA 在第2行上加上第1行的k倍 A5 1 35 6 49 2 10 3 01523 30 11 4 36 24 12 5 a11x2 1 a21x1x2 an1x1xn a12x1x2 a22x2 1 an2x2xn a1nx1xn a2nx2xn annx2 n 2 或简写成 n i 1 aiix2 i i j a ij aji xixj 也可简写成 n i j 1 aijxixj B6 由于AB 3 4 46 BA 1 2 38 因此 1 AB BA 2 A B 2 A2 2AB B2 3 A B A B A2 B2 B8 1 取A 0 1 00 O 但A2 O 2 取A 0 0 01 则A O A E 但A2 A 3 取A 1 0 00 X 0 0 01 Y 0 0 02 则X Y 但AX AY B9 A2 22 1 0 22 00 2 A 3 33 23 0 33 2 00 3 A n nn n 1 1 2n n 1 n 2 0 nn n 1 00 n 提示 如果进一步计算 则得知矩阵的主对角线元素具有形式 n 上方 次对角线元素具有形式n n 1 而位于第一行第三列位置的元素具有形式xn n 2 并且xn满足关系xn xn 1 n 1 即xn xn 1 n 1 二级 等差 因此xn 1 2n n 1 1 3方方方阵阵阵的的的行行行列列列式式式 A1 48 A2 1 29400000 2 27 3 160 4 an 1 n 1bn A3 2A 23 A 16 A B 1 2 1 1 2 2 4 1 2 1 2 4 1 1 2 4 2 1 2 4 A 4 B 20 A B 1 2 0 0 0 B4 能拆成4个二阶行列式的和 a 1b 2 c 3d 4 ab 2 cd 4 1b 2 3d 4 ab cd a2 c4 1b 3d 12 34 ad bc 4a 2c d 3b 2 B6 总按第一行展开 B7 证法一 Dn 1 a111 11 11 a21 11 111 1 an 11 111 11 1 a111 10 11 a21 10 111 1 an 10 111 1an 3 a100 00 0a20 00 000 an 10 111 11 an 1 a111 1 11 a21 1 111 1 an 1 a1a2 an 1 anDn 1 a1a2 an 1 an a1a2 an 2 an 1Dn 2 a1a2 an 1 a1a2 an 2an an 1anDn 2 a1a2 an 2 i 1 1 ai an 1anDn 2 a1a2 an n 1 i 1 1 ai a2a3 an 1anD1 a1a2 an n i 1 1 ai a1a2a3 an 1an a1a2 an 1 n i 1 1 ai 证法二 Dn ri r1 i 2 3 n 1 a111 11 a1a20 00 a100 an 10 a100 0an c1 a1 aici i 2 3 n 1 a1 n i 2 a1 ai 11 10 0a20 00 000 an 10 000 0an a2a3 an a1a2a3 an a2a3 an n i 2 a1 ai a1a2a3 an a1a2a3 an n i 1 a1 ai a1a2a3 an 1 n i 1 a1 ai 1 4方方方阵阵阵的的的逆逆逆矩矩矩阵阵阵 A1 2955 19 52317 26210 A2 1 4 2 31 2 1 1 2 1 2 30 1 1 1 2 1 2 3 1 1 2 3 2 3 1 7 9 111 A3 1 1 3 0 7 3 2 2 1 3 3 2 01 1 2 2 10 53 4 30 2 4 A4 B 033 123 110 A5 C 212 0 1 3 A6 A11 1 3 1 2134 213 1 211 4 211 B7 1 由A可逆 AX AY得A 1AX A 1AY 因此X Y 2 由A可逆 XA YA得XAA 1 YAA 1 因此X Y B8 设A aij 则aij的余子式和aji的余子式相等 即Mij Mji 因此Aij Aji 从而A的伴随矩阵A 也是对 称矩阵 因此A 1 1 A A 是对称矩阵 B9 由A2 A 2E 0得A A E 2E 从而A 1 2 A E E 因此A可逆并且A 1 1 2 A E B10 略 B11 系数矩阵为方阵的 齐次线性方程组有非零解当且仅当系数矩阵行列式等于零 由于 1 24 23 1 111 1 2 6 4 因此当 1 3 5或 3 5时 所给方程组有非零解 1 5分分分块块块矩矩矩阵阵阵 A1 1252 012 4 00 43 000 9 A2 1 1 200 2500 002 5 00 38 2 53000 3 2000 00 1 2 00 00025 000 38 A3 A8 390625000 039062500 002560 002048256 58000 05800 00280 0021128 A8 1016 5 A4 OB 1 A 1O 1 6矩矩矩阵阵阵的的的初初初等等等变变变换换换与与与初初初等等等矩矩矩阵阵阵 A1 1 1005 001 3 0000 2 1020 2 01 103 00014 00000 A2 A E 有限多次初等行变换 10 1 2 320 01232 10 00007 61 因此 P 320 2 10 7 61 PA 10 1 2 0123 0000 A3 1 1 1 2 1 2 30 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 3 2 3 1 7 9 111 A4 1 X 102 15 3 124 2 X 2 1 1 474 3 X 11 1 4 0 B5 将 A 的第二行和第三行对换 相当于在 A 的左边乘 四阶 初等矩阵 E 2 3 因此 B E 2 3 A 由于 E 2 3 1 E 2 3 所以 B 是两个可逆矩阵的乘积 从而 B 可逆 并且 AB 1 A E 2 3 A 1 AA 1 E 2 3 1 E 2 3 B6 由于 001 010 100 20 001 010 100 2 10 E10 E 因此 001 010 100 20 a1a2a3 b1b2b3 c1c2c3 001 010 100 21 a1a2a3 b1b2b3 c1c2c3 001 010 100 a3a2a1 b3b2b1 c3c2c1 6 1 7矩矩矩阵阵阵的的的秩秩秩及及及其其其性性性质质质 A1 1 R A 2 det 31 1 1 4 0 2 R A 3 det 2 3 5 3 20 100 10 0 B2 如果 R A r 则 A 可能有等于零的 r 1 阶子式和 r 阶子式 但不可能有不等于零的 r 1 阶子式 否 则 将有 R A r 1 B3 矩阵 A 经初等行变换可化为 1 23k 02 k 1 3 k 1 00 k 1 k 2 特别提醒 不可以在第二 三行除以 k 1 否则会漏解 因此 当 k 1 时 R A 1 当 k 2 时 R A 2 当 k 1 且 k 2 时 R A 3 B4 如果 A 与 B 等价 则存在可逆矩阵 P 和 Q 使 PAQ B 因此 由性质 5 R A R PAQ R B 反 之 如果 R A R B 不妨设 R A R B r 则 A 和 B 有相同的标准型矩阵 即 A 和 B 分别等价于相同的 标准型矩阵 由矩阵等价的传递性 A 与 B 等价 1 8第第第一一一章章章总总总习习习题题题 一 填空题 1 A 110 20 1 2 A 1 1 2 0 1 2 10 002 3 A B 40 4 abcd 5 a 1 6 AB 1 1 70 7 G 1 A 1 A E E A 1 A E A 1 8 A 1 1 2A 9 R AB 2 10 R A 1 二 选择题 1 C 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 C 8 A 9 B 10 D 三 计算证明题 1 A31 A32 A33 0 A34 A35 0 7 2 证法 1 由于 a1 b1b1 c1c1 a1 a2 b2b2 c2c2 a2 a3 b3b3 c3c3 a3 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 b1c1a1 b2c2a2 b3c3a3 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 001 100 010 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 101 110 011 因此 a1 b1b1 c1c1 a1 a2 b2b2 c2c2 a2 a3 b3b3 c3c3 a3 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 101 110 011 2 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 证法 2 a1 b1b1 c1c1 a1 a2 b2b2 c2c2 a2 a3 b3b3 c3c3 a3 a1b1 c1c1 a1 a2b2 c2c2 a2 a3b3 c3c3 a3 b1b1 c1c1 a1 b2b2 c2c2 a2 b3b3 c3c3 a3 a1b1c1 a1 a2b2c2 a2 a3b3c3 a3 a1c1c1 a1 a2c2c2 a2 a3c3c3 a3 0 b1c1c1 a1 b2c2c2 a2 b3c3c3 a3 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 0 0 0 0 0 b1c1a1 b2c2a2 b3c3a3 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 1 2 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 2 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 3 由于 A 1 2 A AA 1 1 2A 1 所以 2A 1 5A 1 2A 1 5 2A 1 2A 1 2 3A 1 16 8 4 由于 A E 001 010 100 A E 1 0 因此 A E 可逆 再由 AB E A2 B 知 A E B A2 E A E A E 等式两边同时左乘 A E 1 得到 B A E 201 030 102 5 由 AA A E 2E 得 AA BA 2ABA 8A 即 2BA 2ABA 8A 等式两边同时右乘 A 1 则 E A B 4E 所以 B 4 E A 1 4 diag 2 1 2 1 diag 2 4 2 6 对于 4 阶矩阵 A 由于 A A A 1 A 3 因此 A 2 对 A BA 2BA 8E 两边同时左乘 A 1 右 乘 A 则得 B A 1B 3E 因此 E A 1 B 3E 即 B 3 E A 1 1 3 E 1 A A 1 3 E 1 2A 1 6 2E A 1 6 diag 1 1 1 6 1 diag 6 6 6 1 7 A 1 A A 1 1 1 A A A 1 A 1 1 A 1 8 由 A2 A E 得 A A A 1 A 9 1 由于 1 x1y11 x1y2 1 x1yn 1 x2y11 x2y2 1 x2yn 1 xny11 xny2 1 xnyn 1x1 1x2 1xn 11 1 y1y2 yn 当 n 2 时 根据教材第 67 页性性性质质质 3 和性性性质质质 6 等号右边乘积矩阵的秩小于 n 因此等号左边矩阵行列式 1 x1y11 x1y2 1 x1yn 1 x2y11 x2y2 1 x2yn 1 xny11 xny2 1 xnyn 0 当 n 2 时 1 x1y11 x1y2 1 x2y11 x2y2 x1 x2 y1 y2 2 对行列式依次作行变换 ri ri 1 i 1 2 n 1 再依次作列变换 cj cn j 1 2 n 1 然后按第一 列展开即可 所求行列式值为 1 n 1 n 1 2n 2 012 n 3n 2n 1 101 n 4n 3n 2 210 n 5n 4n 3 n 3n 4n 5 012 n 2n 3n 4 101 n 1n 2n 3 210 ri ri 1 i 1 2 n 1 111 111 1 11 111 1 1 1 111 1 1 1 111 1 1 1 1 11 n 1n 2n 3 210 9 cj cn j 1 2 n 1 022 221 002 221 000 221 000 021 000 001 n 1n 2n 3 210 按第一列展开 1 n 1 n 1 22 221 02 221 00 221 00 021 00 001 1 n 1 n 1 2n 2 10 构造行列式 D1 1111 110 5 1313 24 13 D2 1 11 1 110 5 1313 24 13 则行列式 D D1和 D2中的代数余子式 A11 A12 A13 A14分别对应相等 因此 A11 A12 A13 A14 1111 110 5 1313 24 13 r2 r1 r3 r1 r4 2r1 1111 00 1 6 0424 02 31 2 0 1 6 212 2 31 2 0 1 6 041 2 31 92 M11 M12 M13 M14 A11 A12 A13 A14 1 11 1 110 5 1313 24 13 r2 r1 r3 r1 r4 2r1 1 11 1 02 1 4 0222 06 35 2 1 4 222 6 35 r2 r1 r3 3r1 2 1 4 036 0017 102 10 2线线线性性性方方方程程程组组组与与与向向向量量量组组组 2 1线线线性性性方方方程程程组组组解解解的的的存存存在在在性性性 A1 1 x1 x2 x3 x4 c 4 9 4 3 c R 2 x1 x2 x3 x4 c1 2 1 0 0 c2 1 0 0 1 c1 c2 R 3 x1 x2 x3 x4 c 1 7 5 2 c R 4 x1 x2 x3 x4 c1 3 17 19 17 1 0 c2 13 17 20 17 0 1 c1 c2 R 或写成 x1 x2 x3 x4 c1 3 19 17 0 c2 13 20 0 17 c1 c2 R A2 1 由于 R A 2 R A b 3 因此方程组无解 2 x y z 1 2 0 c 2 1 1 c R 3 x y z w 1 2 0 0 0 c1 1 2 1 0 0 c2 1 2 0 1 0 c1 c2 R 4 x y z w 6 7 5 7 0 0 c1 1 7 5 7 1 0 c2 1 7 9 7 0 1 c1 c2 R 或写成 x y z w 6 7 5 7 0 0 c1 1 5 7 0 c2 1 9 0 7 c1 c2 R B3 当 k 1 时 x1 x2 x3 1 0 0 c 1 1 1 c R 当 k 2 时 x1 x2 x3 2 2 0 c 1 1 1 c R 11 B4 方程组系数矩阵的增广矩阵可化为 k 1110 1k 113 11k 1k 初等行变换 11k 1k 0k k3 k 00 k k 3 k 1 k 3 因此 当 k 0 时 方程组无解 当 k 0 且 k 3 时 方程组有惟一解 当 k 3 时 有无穷多解 其通解 为 x1 x2 x3 1 2 0 c 1 1 1 c R B5 2x1 x2 x3 0 3x1 2x2 2x4 0 2 2向向向量量量组组组的的的线线线性性性组组组合合合与与与线线线性性性表表表示示示 A1 1 由于 1 2 3 初等行变换 1021 01 1 1 0000 0000 因此 R 1 2 3 R 1 2 3 所以 能由 1 2 3线性表示 1 2c 1 c 1 2 c 3 c R 2 由于 1 2 3 4 初等行变换 11110 01111 00110 0001 2 初等行变换 1000 1 01001 00102 0001 2 因此 R 1 2 3 4 R 1 2 3 4 所以 能由 1 2 3 4线性表示 1 2 2 3 2 4 A2 由于 R A 2 R B R A B 因此向量组 A 与 B 等价 B3 由于 R A R A B 3 因此向量组 B 能由向量组 A 线性表示 而 R B 2 R B A 3 因此向量 组 A 不能由向量组 B 线性表示 B4 由于 注意这里向量的排列顺序 并思考为何选择这样排列 并注意最后向量表达式中系数的对应关系 类似的处理也在 2 3 A2 2 4 B3中出现 3 2 1 初等行变换 112b 012 4b 1 00a 4 3b 12 因此 1 当 a 4 b 0 时 向量 不能由向量组 A 线性表示 2 当 a 4 时 向量 能由向量组 A 线性表示 且表示式惟一 3 当 a 4 b 0 时 向量 能由向量组 A 线性表示 且表示式不惟一 一般表达式为 c 1 1 2c 2 3 c R 提醒 注意系数的对应关系 2 3向向向量量量组组组的的的线线线性性性相相相关关关与与与线线线性性性无无无关关关 A1 1 向量组的秩等于 2 因此向量组线性相关 2 向量组的秩等于 3 或者向量组矩阵行列式不等于零 因此向量组线性无关 A2 由于 3 2 1 初等行变换 11k 0k 1k 1 00 k 1 k 2 所以当 k 1 或 k 2 时 R 1 2 3 3 从而向量组线性相关 B3 1 如果 1 0 2 0 则 1 2线性相关 但 1不能由 2线性表示 例如 1 1 1 2 0 0 2 取 1 1 0 2 0 2 1 1 1 2 0 1 则存在不全为零的数 1 2 1 使 1 2 1 2 0 但 1 2线性无关 1 2线性无关 3 取 1 1 0 2 0 0 1 0 0 2 0 1 则仅当 1 2 0 时 1 1 2 2 1 1 2 2 0 但 1 2线性相关 1 2亦线性相关 4 取 1 1 0 2 2 0 1 0 0 2 0 1 则 1 2 线性相关 1 2亦线性相关 如果 数 1 2使 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 则 1 2 2 0 2 0 从而 1 2 0 因此在这个例子中 不存在不全为零的数 1 2使 1 1 2 2 0 和 1 1 2 2 0 同时成立 B4 1 错误 当 1 2 r线性相关时 也有 0 1 0 2 0 r 0 2 错误 例如 1 0 2 0 时 它们是线性相关的 但当 1 0 且 2 0 时 1 1 2 2 0 3 错误 例如 如果 1 k 1 则导致 1 2 r 1 2 s线性相关 提示 一个向量组的部分组线性相关 则整个向量组线性相关 而线性无关向量组的任何部分组都线性无关 4 正确 设 1 2 r线性无关 假如某个向量 不妨设为 r 是其它向量的线性组合 即 r k1 1 k2 2 kr 1 r 1 则 k1 1 k2 2 kr 1 r 1 r 0 因而 1 2 r线性相关 矛 盾 13 B5 可能线性相关 例如 取 1 1 1 2 0 0 1 0 0 2 1 1 则 1 2线性相关 1 2亦线性 相关 同样 1 1 1 1 2 2 1 1 也是线性相关 但也可能线性无关 例如 取 1 1 0 2 0 0 1 0 0 2 0 1 则 1 2线性相关 1 2亦 线性相关 但 1 1 1 0 2 2 0 1 显然线性无关 B6 设k1 1 k2 2 kr r 0 则得到 k1 k2 kr 1 k2 kr 2 kr r 0 由 1 2 r 的线性无关性 k1 k2 kr 0 k2 kr 0 kr 0 因此 k1 k2 kr 0 所以 1 2 r线性无关 B7 由于 1 2 3 4 1 2 3 4 1001 1100 0110 0011 令 A 1 2 3 4 B 1 2 3 4 K 1001 1100 0110 0011 则得到 B AK 由于 K 0 因此 R K 4 所以 R 1 2 3 4 R B R K n 时 R AB R A n m 因此方程组 ABx 0 必有非零解 4 由题意知 方程组含 3 个未知数并且基础解系含 2 个解向量 因此系数矩阵的秩 R A 3 2 1 只有选 项 A 中的矩阵的秩等于 1 5 当 A 0 0 时 A 错 当 A 0 0 时 B 错 当 0 时 C 错 只有 D 正确 事实上 方程组 A T0 x y 0 含 n 1 未知量 但 R A T0 R A n n 1 因此方程组必有非零解 20 6 如果取 1 1 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 则 A B C 全错 7 B 错 正确的论述见 C 8 矩阵 As n的秩等于其列向量组的秩 也等于其行向量组的秩 因此正确 A 当 s n 时 选项 B 必错 当 s n 时 选项 C 必错 当 R As n R B 1 但 Ax 0 的解 不是 Bx 0 的解 如果取 A 1000 0100 0000 0000 B 0000 0000 0010 0001 则 R A R B 但 Ax 0 与 Bx 0 不同 解 10 B 错是显然的 见 2 3B4 的提示 三 计算证明题 1 由于 系数矩阵的增广矩阵 A b 1 100b1 01 10b2 001 1b3 1001b4 r4 r1 r2 r3 1 100b1 01 10b2 001 1b3 0000b1 b2 b3 b4 因此 这个方程组有解当且仅当 R A R A b 当且仅当 b1 b2 b3 b4 0 2 题目与 2 3 B7 相同 证明略 3 题目与 2 3 B6 相同 证明略 4 由题意 1 2 n能由 1 2 n线性表示 并且 1 2 n 1 2 n 011 11 101 11 111 10 21 令 K 011 11 101 11 111 10 由于 K 1 n 1 n 1 0 因此 K 可逆 从而 1 2 n 1 2 n K 1 即 1 2 n能 由 1 2 n 线性表示 所以 1 2 n与 1 2 n等价 提示 K 的计算 对 K 作初等行变换 c1 cj j 2 3 n 在所得到的行列式第一列提取 n 1 并进一 步作初等行变换 ri r1 i 2 3 n 即可 5 设矩阵 B 1 2 r A 1 2 r 则由题意 B AK 如果 B 线性无关 则 R B r 因 此 R AK r R K 但 K 只有 r 列 因此 R K r 反之 如果 R K r 因此存在某个 r 阶非零子式 但 K 只有 r 列 从而存在 K 的某 r 行 7 方程组系数矩阵的增广矩阵经初等行变换可化为 112 1 0 1 1 2 0 00 1 4 1 因此 1 当 1 且 4 时 方程组有惟一解 2 当 4 时 方程组无解 3 当 1 时 方程组有无穷多解 这时由 x1 x2 x3 1 解得其通解为 x1 x2 x3 c1 1 1 0 c2 1 0 1 1 0 0 其中 c1 c2是任意常数 8 方程组系数矩阵的增广矩阵经初等行变换可化为 11 11 0a 1 11 00b 1a 因此 1 当 a 0 b 1 时 方程组无解 2 当 a 1 且 b 1 时 方程组有惟一解 3 当 a 0 b 1 时 方程组有无穷多解 这时方程组系数矩阵的增广矩阵经初等行变换可进一步化 22 为 1000 01 11 0000 因此 解得其通解为 x1 x2 x3 c 0 1 1 0 1 0 其中 c 是任意常数 9 显然 1 2 n r线性无关 A b 因此 1 假如 1 2 n r线性相关 则 k1 1 k2 2 kn r n r 因此 A A k1 1 k2 2 kn r n r 0 矛盾 所以 1 2 n r线性无关 2 由于 R 1 2 n r n r 1 并且 1 2 n r 1 2 n r 111 1 010 0 001 0 000 1 而矩阵 111 1 010 0 001 0 000 1 可逆 因此 R 1 2 n r n r 1 从而得证 10 由于 Ax A k1 1 k2 2 ks s k1A 1 k2A 2 ksA s k1b k2b ksb k1 k2 ks b b 所以 x 是方程组 Ax b 的解 23 3相相相似似似矩矩矩阵阵阵与与与二二二次次次型型型 3 1线线线性性性变变变换换换初初初步步步 A1 1 不是 因为 ATA E 2 是 因为 ATA E B2 T x x 3 不是线性变换 也不是正交变换 是仿射变换 B3 由于 ATA E BTB E 因此 AB T AB BTATAB BT ATA B BTB E 所以 AB 也是正交矩阵 B4 由 ATA E 得 E ATA 1 A 1 AT 1 A 1 A 1 T 因此 A 1是正交矩阵 并由 ATA AT A A 2 1 得 A 1 B5 由于 HT E 2xxT T E 2 xxT T E 2xxT H 所以 H 是对称阵 再由 HTH E 2xxT T E 2xxT E 2xxT E 2xxT E 2xxT 2xxT 4xxTxxT E 2xxT 2xxT 4xxT E 知 H 是正交阵 因此 H 是 对称正交阵 3 2方方方阵阵阵的的的特特特征征征值值值和和和特特特征征征向向向量量量 A1 1 特征多项式 E A 1 3 特征值为 1 2 3 1 对应的全部特征向量为 kp k 1 1 1 T k 0 2 特征多项式 E A 1 9 特征值为 1 0 2 1 3 9 对应的全部特征向量分别 为 k1p1 k1 1 1 1 T k2p2 k2 1 1 0 T k3p3 k3 1 1 2 T 其中 k1 k2 k3 0 3 特征多项式 E A 1 2 1 2 特征值为 1 2 1 3 4 1 对应的全部特征向量 分别为 k1 0 1 1 0 T k2 1 0 0 1 T k3 0 1 1 0 T k4 1 0 0 1 T 其中 k1 k2 k3 k4 0 A2 由于 E A 0 因此 E A 0 A3 设 f 3 5 2 7 则 A3 5A2 7A 的特征值分别是 f 1 3 f 2 2 f 3 3 因此 A3 5A2 7A 3 2 3 18 A4 设 A 1 显然 0 因此 A 即 1 k 1 k 3 2k 2 k 3 从而由对应成比例的关系知 1 k 3 k 2k 2 解得 k 1 或 k 2 B5 1 错误 应该要求 x 0 2 错误 应该要求 k1p1 k2p2 0 3 错误 B6 由于 E AT E A T E A 因此 A 与 AT的特征值相同 B7 如果 A 的特征值是 则 A2 3A 2E 的特征值是 2 3 2 由于零矩阵的特征值为零 因 24 此 2 3 2 0 即 1 2 0 因此 A 的特征值的取值范围是 1 2 由 A2 3A 2E O 得 E A 2E A O 因此 E A 2E A 0 即 A 有并且只能有特征值 1 和 2 B8 由于 E A ATA A AT E A AT E A E T A E E A 因此 E A 0 所以 E A 1 n E A 0 即 1 是 A 的特征值 B9 设 AB 0 0 则 BAB B 即 BA B B 显然 B 0 否则 AB 0 这与 0 0 矛盾 因此 是 BA 的特征值 而非零向量 B 是 BA 的对应于特征值 的特征向量 3 3矩矩矩阵阵阵的的的相相相似似似与与与方方方阵阵阵的的的对对对角角角化化化 A1 1 特征多项式为 E A 1 2 4 特征值为 1 1 2 2 3 4 对应的特征 向量分别是 p1 1 1 2 1 T p2 1 2 1 1 T p3 2 2 1 T 单位化后 得 1 2 3 1 3 2 3 T 2 1 3 2 3 2 3 T 3 2 3 2 3 1 3 T 令 P 1 2 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 则是正交矩阵 并且使得 P 1AP 1 2 4 2 特征多项式为 E A 10 1 2 特征值为 1 10 2 3 1 与 1 10 对应的特 征向量是 p1 1 2 1 1 T 单位化 得 1 1 3 2 3 2 3 T 与 2 3 1 对应的特征向量为 p2 2 1 0 T p3 2 0 1 T 正交化后并单位化 得 2 2 5 1 5 0 T 3 2 3 5 4 3 5 5 3 5 T 令 P 1 2 3 1 3 2 5 2 3 5 2 3 1 5 4 3 5 2 3 0 5 3 5 则 P 是正交矩阵 使得 P 1AP 10 1 1 A2 令 P p1 p2 p3 则 P 可逆且 A PAP 1 011 111 110 2 2 1 110 1 11 01 1 23 3 45 3 44 2 25 A3 由特征多项式 E A 1 5 解得特征值 1 1 2 5 对应的特征向量分别是 p1 1 1 T p2 1 1 T 令 P p1 p2 11 1 1 由 10 5 9知道 A 的特征值是 1 4 5 0 则 A10 5A9 Pdiag 4 0 P 1 1 2 11 1 1 4 0 1 1 11 2 2 2 2 A4 3 1 3 33 9 2 16 B5 x 3 B6 由 A 1 AB A BA 得知 AB 相似于 BA B7 特征多项式为 E A 1 5 5 特征值分别是 1 1 2 5 3 5 求得可逆矩阵 P 112 0 21 012 P 1 10 1 0 2 5 1 5 0 1 5 2 5 所以 A100 P 100P 1 105100 1 051000 005100 B8 设 A E 的特征值为 则 1 E A E A E 0 因此 1 为 A 的特征值 所以 1 依次 等于 1 2 n 从而特征值 依次等于 2 3 n 1 因此行列式 A E 2 3 n 1 1 2 3 n 1 n 1 3 4二二二次次次型型型及及及其其其标标标准准准型型型 A1 1 f x y z 121 242 121 x y z 2 f x y z 1 1 2 11 2 2 2 7 x y z 3 f x1 x2 x3 1 10 113 031 x1 x2 x3 26 A2 1 f x1 x2 x3 200 032 023 x1 x2 x3 由 E A 1 2 5 解得 1 1 2 2 3 5 分别求得特征向量如下 1 0 1 1 T 2 1 0 0 T 3 0 1 1 T 由于特征值各不相同 因此已经是正交的 单位化 得 p1 0 1 2 1 2 T p2 2 1 0 0 T p3 0 1 2 1 2 T 令 P 010 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 则是正交矩阵 并通过正交变换 x1 x2 x3 P y1 y2 y3 010 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 y1 y2 y3 可将原二次型化为 f y2 1 2y22 5y23 2 f x1 x2 x3 110 10 1 0 11 x1 x2 x3 由 E A 1 1 2 解得 1 1 2 1 3 2 分别求得特征向量如下 1 1 0 1 T 2 1 2 1 T 3 1 1 1 T 由于特征值各不相同 因此已经是正交的 单位化 得 p1 1 2 0 1 2 T p2 1 6 2 6 1 6 T p3 1 3 1 3 1 3 T 令 P 1 2 1 6 1 3 0 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 则是正交矩阵 并通过正交变换 x1 x2 x3 P y1 y2 y3 1 2 1 6 1 3 0 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 y1 y2 y3 27 可将原二次型化为 f y2 1 y22 2y23 A3 1 用变换 x Cy 把二次型化为规范型 f y2 1 y22 y23 其中变换矩阵 C 1 2 2 3 2 2 1 1 2 用变换 x Cy 把二次型化为规范型 f y2 1 y22 y23 其中变换矩阵 C 1 1 1 00 1 011 B4 c 3 特征值分别为 0 4 9 由于存在正交变换 x Py 使 f y1 y2 y3 4y2 9y3 因此 f y1 y2 y3 4y2 9y3 1 表示椭圆柱面 而正交变换保持几何形状不变 所以 f 1 也是一个椭圆柱面 B5 注意到 A aij n n是对称矩阵 即 aij aji i j 1 2 n 因此 x 依次取 n 阶单位矩阵各列 即 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 则由 xTAx 0 得 a11 a22 a33 a44 ann 0 x 依次取 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 则 A 的第 1 行全为零 x 依次取 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 则 A 的第 2 行全为零 x 依次取 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 则 A 的第 3 行全为零 照此类推 28 直到x 依次取 0 0 0 0 0 1 1 则 A 的第 n 1 行全为零 由于 ann 0 并且 A 是对称矩阵 因此 A O 3 5二二二次次次型型型的的的若若若干干干基基基本本本概概概念念念和和和理理理论论论 A1 1 负定 2 正定 A2 1 t 0 或 4 5 t 0 三阶顺序主子式 5t2 4t 0 1 t 0 或 4 5 t 1 A3 1 正定 2 负定 3 正定 B4 显然 AT A 1 A 都是对称矩阵 由 A 正定 则 A 的特征值及行列式 A 都大于零 因此 1 A 1分 别是 AT A 1 A 的全部特征值 从而 AT A 1 A 的特征值也都大于零 亦即 AT A 1 A 都是正定矩阵 B5 对任意的 n 维列向量 x xT BAB x xTB A Bx Bx TA Bx 由于 A 是正定的 因此对列向 量 Bx Bx TA Bx 0 即 xT BAB x 0 因此 BAB 是正定矩阵 3 6第第第 3 章章章总总总习习习题题题 一 填空题 1 A2 E 2 A 的 n 个特征值是 1 0 2 3 n 2 3 a 1 b 3 4 y 2 5 A 2 2 1 6 A 3E 的特征值为 4 2 5 A 3E 40 7 B 1 E 120 8 a 0 9 f 的秩 R f 3 10 a 2 29 11 2 t 2 提示 1 由题意 存在可逆矩阵 P 使 P 1AP diag 1 1 1 因此 A2 P P 1 P P 1 P 2P 1 PEP 1 E 2 略 3 由 a 2 0 b 1 1 1 1 解得 a 1 b 3 4 由 3E A 0 解得 y 2 5 由 A 0 知 0 再由 A 2 E A 2A 1 E 知 A 2 E 必有特征值 A 2 2 1 6 由于 E A E A 2E A 0 因此 4E A 3E 2E A 3E 5E A 3E 0 所以 3 阶方阵 A 3E 的全部特征值为 4 2 5 并且 A 3E 4 2 5 40 或者这样解 由于 E A 3E 3 E A 因此当 3 分别等于 1 1 2 亦即 分别等 于 4 2 5 时 3 E A 0 从而 E A 3E 0 所以所以 3 阶方阵 A 3E 的全部特征值为 4 2 5 7 B 与 A 有相同的特征值 因此 B 1的特征值是 2 3 4 5 由 E B 1 E 1 E B 1 知 当 1 分别等于 2 3 4 5 时 亦即 分别等于 1 2 3 4 时 都有 E B 1 E 1 E B 1 0 因 此 4 阶方阵 B 1 E 的特征值是 1 2 3 4 从而 B 1 E 24 8 a 0 显然符合题意 当 a 0 时 所给矩阵的特征值是 0 二重根 但与之对应的特征向量 只有一个 因此不能对角化 教材定理 3 2 9 本题错误的解法是 作变换 y1 x1 x2 y2 x2 x3 y3 x3 x1 则 f y2 1 y22 y23 因此 所给二次型的秩为 3 错误的原因在于这里所作变换的变换矩阵不可逆 因此所作的变换是不可逆的 当然也就不能保证题目所给 二次型与二次型 f y2 1 y22 y23 有相同的秩 这个变换实际上只是把二次型 f y2 1 y22 y23 变为题目中所给的 二次型 但反之不行 正确的解法是 将所给二次型展开 得 f 2x2 1 2x22 2x23 2x1x2 2x1x3 2x2x3 二次型的矩阵为 211 12 1 1 12 它的秩为 2 因此 R f 2 10 由题意 二次型矩阵 A 的特征根是 1 6 2 3 0 并注意到所作的变换是正交变换 因此 1 如果 1 6 则由 A 1E A 6E a 622 2a 62 22a 6 初等行变换 22a 6 0a 88 a 00 a 2 a 8 30 由于 R A 1E 3 1 2 所以 a 2 2 如果 2 3 0 则由 A 2E A 3E A a22 2a2 22a 初等行变换 22a 0a 22 a 00 a 2 a 4 由于 R A 2E R A 3E 3 2 1 所以 a 2 因此 a 2 由于1 在中 只求出 a 的一个唯一的值 步骤2 可以省略 11 前两个顺序主子式已经大于零 因此只要第三个 即二次型矩阵行列式大于零即可 由此解 出 2 t 2 二 选择题 1 B2 B3 A4 B5 B6 B7 A8 B9 C10 C 解答提示 1 由于 A 可逆 因此 0 1 是 A 1的一个特征值 所以 A A A 1的一个特征值是 1 A 2 由f 3 1 2是 1 3A 2 2 3 A 1 2的特征值即得 3 如果 P 1AP 则特征值所在列在对角矩阵中的位置与其特征向量在 P 中的位置相同 或者说一致 4 由 A 两边同时乘以 PT 得 PTA PT 所以 PTA PP 1 T PT 因此 PTA P 1 TPT PT 即 P 1AP T PT PT 答案选 B 5 设 k1 1 k2A 1 2