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“指向核心素养的初中数学原创试题设计” -解答题【试题来源】题：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么. 题 ：如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上，求证：AE2+AD2=2AC2 【试题内容】如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形OEFG的顶点，OE交AB于M，OG交BC于N.（1）如图（1），正方形OEFG在绕点O旋转的过程中，AM与BN之间有什么数量关系，请证明你的结论；（2）如图（2），正方形OEFG在旋转过程中，若对角线EG恰好经过点B，试判断线段BE、BG、BO之间的数量关系，并说明理由；当EBBG时，若BO5，EF，求AM的长.（1）（2）【赋分说明】本题满分 10 分，第（1）问 3 分，第（2）问3 分，4 分.【考查目标】本题主要考查等腰直角三角形的有关性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质.突出考查化归与转化，由一般到特殊的思想，重点考查直观想象素养、 逻辑推理素养（见下表）核心知识知识要求考试要求核心思想核心素养等腰直角三角形的有关性质，全等三角形的判定与性质，勾股运用综合性化归与转化的思想一般到特殊的思想直观想象素养逻辑推理素养定理，相似三角形的判定与性质.【设计思路】本题根据人教版教材 8 年级下册第十七章习题17.1第 14题和第十八章 实验与探究改编而成，以正方形为载体，通过从一般情况到特殊情况的问题探究，揭示规律，并进行推理论证. 主要鼓励学生通过几何直观，借用画图等手段，探索结论，进行逻辑推理.【解答方法】（1）主要是借助等腰直角三角形和正方形的性质，证明AOMBON，从而得出线段 AM，BN之间的数量关系为：AM=BN；（2）连接CG，易证BOECOG，可得BE=CG，OGC=OEB=45，则BGC=45+45=90，所以CG2+BG2=BC2,即BE2+BG2=BC2，又因为BC=OB，所以BE2+BG2=2OB2方法一：由题意： BG=EF=14，设BE=x,则BG=14-x，由得x2+（14-x）2=2（5）2因为EBBG，解得x=6，所以BG=14-6=8. 易证OBNOGB，得NMGFOEDCBA即，解得BN=，所以AM= BN=方法二：易证OBNOGB，得OB2= OG ON即（5）2=7ON，解得ON=过点O作于点在等腰直角中解得在中，由勾股定理得，所以【评分细则】本题采用分段累加的方式给出评分细则如下：（1） AM=BN 1分理由如下：四边形ABCD是正方形OA=OB，AOB=90，OAM=OBN=45AOM+BOM=90又四边形OEFG为正方形EOG=90BON+BOM=90AOM=BON在AOM和BON中AOMBON（ASA）2 分AM=BN3 分（2）BE2+BG2=2OB24 分理由如下：连接CGEOB+BOG=90COG+BOG=90EOB=COG又OB=OC，OE=OG在BOE和COG中BOECOG（SAS）5分BE=CG，OGC=OEB=45BGC=BGN+OGC=45+45=90CG2+BG2=BC2又BE=CGBE2+BG2=BC2在等腰直角三角形OBC中BC=OBBE2+BG2=（ OB）2=2OB26分在等腰直角三角形EFG中EG=EF=7=147分设BE=x,则BG=14-x由得BE2+BG2=2OB2x2+（14-x）2=2（5）2解得x1=6,x2=8EBBGBE=6, BG=14-6=88分在正方形ABCD和正方