河南省洛阳市第二外国语学校高考数学 闯关密练特训《114数学闯关密练特训归纳法》试题 理 新人教A版.docVIP

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训11-4数学闯关密练特训归纳法试题 理 新人教a版1.(2011威海模拟)在用数学归纳法证明“2nn2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于()a1 b3 c5 d7答案c解析n的取值与2n，n2的取值如下表：n1234562n248163264n2149162536由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n4时恒有2nn2.2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()a1b2c3d4答案c解析因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n03.3若f(n)1(nn)，则f(1)为()a1 b.c1 d非以上答案答案c解析注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n1的自然数，故f(1)1.4数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()aan3n2 bann2can3n1 dan4n3答案b解析a11，a24，a39，a416，猜想ann2.5已知f(n)，则()af(n)中共有n项 bf(n)中共有n1项cf(n)中共有n2n项 df(n)中共有n2n1项答案d解析f(n)的分母从n开始取自然数到n2止，共有n2(n1)n2n1项6一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去则第n个图共挖去小正方形()a(8n1)个 b(8n1)个c.(8n1)个 d.(8n1)个答案c解析第1个图挖去1个，第2个图挖去18个，第3个图挖去1882个第n个图挖去18828n1个7(2011徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步假设n2k1(kn)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真答案2k18(2012长春模拟)如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来的(n1,2,3，)，则第n2(n3，nn*)个图形共有_个顶点答案n(n1)解析当n1时，顶点共有3412(个)，当n2时，顶点共有4520(个)，当n3时，顶点共有5630(个)，当n4时，顶点共有6742(个)，故第n2图形共有顶点(n22)(n23)n(n1)个9已知点列an(xn,0)，nn*，其中x10，x2a(a0)，a3是线段a1a2的中点，a4是线段a2a3的中点，an是线段an2an1的中点，(1)写出xn与xn1、xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明解析(1)当n3时，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2(x2x1)a，a3x4x3x3(x3x2)a，由此推测an()n1a(nn*)证法1：因为a1a0，且anxn1xnxn(xnxn1)an1(n2)，所以an()n1a.证法2：用数学归纳法证明：(1)当n1时，a1x2x1a()0a，公式成立(2)假设当nk时，公式成立，即ak()k1a成立那么当nk1时，ak1xk2xk1xk1(xk1xk)ak()k1a()(k1)1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意nn*，公式an()n1a成立10已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f (an1)试比较与1的大小，并说明理由解析f (x)x21，an1f (an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，及a2(a11)21得，a2221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设当nk(k1且kn*)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由、知，对任意nn*，都有an2n1.即1an2n.1()n1.能力拓展提升11.用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nn)，在验证n1成立时，左边的项是()a1 b1ac1aa2 d1aa2a3答案c解析左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n1时，应为1aa2.12凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.答案解析将k1边形a1a2akak1的顶点a1与ak连接，则原k1边形分为k边形a1a2ak与三角形a1akak1，显见有f(k1)f(k).13已知：(x1)na0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3an(x1)n(n2，nn*)(1)当n5时，求a0a1a2a3a4a5的值(2)设bn，tnb2b3b4bn.试用数学归纳法证明：当n2时，tn.解析(1)当n5时，原等式变为(x1)5a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5令x2得a0a1a2a3a4a535243.(2)因为(x1)n2(x1)n，所以a2c2n2，bn2cn(n1)(n2)当n2时左边t2b22，右边2，左边右边，等式成立假设当nk(k2，kn*)时，等式成立，即tk成立那么，当nk1时，左边tkbk1(k1)(k1)1k(k1)k(k1)右边故当nk1时，等式成立综上，当n2时，tn.14已知f(x)a1xa2x2anxn(n为正偶数)且an为等差数列，f(1)n2，f(1)n，试比较f与3的大小，并证明你的结论解析由f(1)n2，f(1)n得，a11，d2.f3253(2n1) n，两边同乘以得，f233(2n3)n(2n1)n1，两式相减得，f22232n(2n1)n1(2n1).f3ln(n1)证明(1)当n1时，由于ln2ln(1k)则当nk1时，1ln(k1)要证不等式成立，只需证明ln(k2)ln()ln(1)下面构造函数f(x)ln(1x)x(x0)f (x)10，f(x)ln(1x)x在(0，)上是减函数，f(x)f(0)，即ln(1x)x.令x得ln(1).即不等式ln(k2)ln(k2)成立由(1)、(2)可知对nn*，不等式1ln(n1)成立点评利用数学归纳法证明涉及与指数式、对数式有关的不等式时，在由nk证明nk1时，可以通过构造函数，利用函数的单调性得到需要证明的不等式，这是近年来函数、不等式、数学归纳法结合在一起综合考查的热点问题，要加深对此法的理解与应用1蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，第四个图有37个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(6)()a53 b73 c91 d97答案c解析f(1)1661；f(2)266f(1)；f(3)366f(2)；f(4)466f(3)；f(n)n66f(n1)以上各式相加得f(n)(123n)66n13n23n1，f(6)36236191.2用数学归纳法证明1(nn*)成立，其初始值至少应取()a7b8c9d10答案b解析等式左端12，将选项中的值代入验证可知n的最小值为8.3设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()a若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立b若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立c若f(7)k2成立d若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立答案d解析对于a，f(3)9，加上题设可推出当k3时，均有f(k)k2成立，故a错误对于b，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故b错误对于c，没有奠基部分，即没有f(8)82，故c错误对于d，f(4)2542，由题设的递推关系，可知结论成立，故选d.4已知点pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nn*)且点p1的坐标为(1，1)(1)求过点p1，p2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nn*，点pn都在(1)中的直线l上解析(1)由p1的坐标为(1，1)知a11，b11.b2，a2a1b2.点p2的坐标为(，)直线l的方程为2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(kn*，k1)时，2akbk1成立，则当nk1时，2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，命题也成立由知，对nn*，都有2anbn1，即点pn在直线l上5(2011湖南理，22)已知函数f(x)x3，g(x)x.(1)求函数h(x)f(x)g(x)的零点个数，并说明理由；(2)设数列an(nn*)满足a1a(a0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数m，使得对于任意的nn*，都有anm.解析(1)由h(x)x3x知，x0，)，而h(0)0，且h(1)10，则x0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点因此h(x)至少有两个零点解法1：h(x)3x21x，记(x)3x21x，则(x)6xx.当x(0，)时，(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点又因为(1)0，()0，则(x)在(，1)内有零点，所以(x)在(0，)内有且只有一个零点记此零点为x1，则当x(0，x1)时，(x)(x1)0.所以当x(0，x1)时，h(x)单调递减，而h(0)0，则h(x)在(0，x1内无零点；当x(x1，)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，)内至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点解法2：由h(x)x(x21x)，记(x)x21x，则(x)2xx.当x(0，)时，(x)0，从而(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点因此h(x)在(0，)内也至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点(2)记h(x)的正零点为x0，即xx0.当ax0时，由a1a，即a1x0.而aa1x0x，因此a2x0，由此猜测：anx0，下面用数学归纳法证明a当n1时，a1x0显然成立b假设当nk(k1)时，akx0成立，则当nk1时，由aakx0x知，ak1x0.因此，当