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一类四次可逆多项式微分系统的细中心问题 基础数学专业 研究生陈兴武指导教师张伟年 动力系统的理论起源于对常微分方程的研究，近半个多世纪以来得到了蓬 勃发展随着在结构稳定系统的研究中所取得的突破性进展，对结构不稳定系 统的研究( 即分岔理论) 便受到越来越多的关注所谓分岔现象，是指依赖于 参数的某一研究对象当参数在一个特定值附近作微小变化时，它的某些性质所 发生的本质变化例如，平衡点的汇聚与分离及该点附近轨道的变化；周期轨 的产生与消失；同宿轨、异宿轨的形成与破裂；以及一些更为复杂的动力学行 为( 例如混沌) 的出现与消失等 由于次谐分岔等分岔问题涉及到周期轨族的周期单调性，此外，在h a m i l t o n 力学也关心周期轨族的周期单调性或同步周期轨等问题，因此人们逐渐关注临 界周期的产生和分布，尤其在中心附近人们关心在扰动下有多少局部临界周期 产生出来，这就是本文要深入研究的局部临界周期分岔这种可能产生局部临 界周期分岔的中心就是c h i c o n e 和j a c o b 等人提出的细中心和等时中心。 关于局部临界周期分岔问题，前人已经对二次多项式系统给出了十分丰富 的结果。尽管对三次齐次系统，具有二次等式中心的某类可逆三次系统以及其 它一些特殊类型的多项式微分系统已经获得了结果，然而，离解决三次系统的 细中，5 - 拳l l 定以及局部临界周期分岔问题的解决还相差很远。事实上，判断细中 心的阶数涉及到有限个多项式生成的理想之间的关系以及生成元的化简，这往 往是很困难的。 本文在第一章介绍多项式微分系统局部临界周期分岔的基本理论基础上， 在第二章介绍用计算机代数系统分析多元高次多项式组零点问题的基本方法 在第三章综述三次多项式微分系统的局部i l 缶界周期分岔问题上的进展和主要结 果在第四章中运用第二章的方法，并用多项式的结式消元法和伪除等技术克 服了确定多元高次多项式组零点所点来的困难，确定了一类具三次等时中心的 四次可逆多项式微分系统的细中心阶数，证明了该系统至多分岔出5 个临界周 期进而，按细中心的阶数对此系统的参数空间进行了分区，给出了扰动系统 具有等时中心的参数条件 关键词：多项式微分系统，等时中心，细中心，极限环，计算机代数系统， 临界周期分岔 w e a kc e n t e rf o rr e v e r s i b l ep o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m sw i t hi s o c h r o n e m a j o r ：m a t h e m a t i c s m s c a n d i d a t e ：c h e nx i n g w u s u p e r v i s o r ：z h a n gw e i n i a n d y n a m i c st h e o r yo r i g i n a t e df r o ms t u d yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h a sb e e nd e v e l o p i n gp r o s p e r o u s l ys i n c eh a l fac e n t u r yb e f o r e w i t ht h eg r e a t p r o g r e s so fs t a b l es y s t e m s ，m o r ea t t e n t i o ni sp a i dt os t u d yo fu n s t a b l es y s t e m s s u c ha se x i s t e n c ea n dd i s a p p e a r a n c eo fp e r i o do r b i t s h o m o d i n i co r b i t sa n d c h a o s b e s i d e ss u b h a r m o n i cb i f l l r c a t i o n s o i t i eb i f u r c a t i o nt h e o r i e sa r eb a s e do nt h e m o n o t o n i c i t yo fp e r i o df u n c t i o n s o ，p e o p l eh a v eb e e nf o c u s i n go no c c u r r e n c e a n dd i s t r i b u t i n go fc r i t i c a lp e r i o d ，e s p e c i a l l yo nh o wm a n yl o c a lc r i t i c a lp e r i o d s a p p e a r ，w h i c h i sc a l l e dl o c a lc r i t i c a lp e r i o db i f u r c a t i o nt ob es t u d i e di nt h i s p a p e r t h ec o r r e s p o n d i n gc e n t e ri sc a l l e dw e a kc e n t e ro ri s o e h r o n ed e f i n e db y c h i c o n ea n dj a c o b s f o rt w od e g r e ep o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ，c u b i ch o m o g e n e o u ss y s t e m ， c u b i cr e v e r s i b l es y s t e mw h o s ec o r r e s p o n d i n gq u a d r a t i cs y s t e mh a si s o c b r o n e a n do t h e rs p e c i a lp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，m a n yc o n c l u s i o n sa b o u tl o c a l c r i t i c a lp e r i o db i f u r c a t i o nh a v eb e e nd o n e h o w e v e r ，t h e r ei sn or e s u l tf o rg e n e r a l c u b i cs y s t e m a c t u a l l y , d e t e r m i n i n gt h eo r d e ro fw e a kc e n t e ri s r e l a t e dw i t h f i n d i n go r i g i n a t e n a t o ro ft h ei d e a o fp o l y n o m i a lr i n g ，w h i c hi sv e r yd i f f i c u l t i nt h i sp a p e r ，b a s i ct h e o r yo fl o c a lc r i t i c a lp e r i o db i f u r c a t i o ni si n t r o d u c e d i nc h a p t e ro n e ，a n dt h e ni nc h a p t e rt w o ，t h eg e n e r a lm e t h o dt oa n a l y z ec o m m o n z e r o so fp o l y n o m i a l s i nc h a p t e rt h r e em o s tc o n c l u s i o n sa b o u tl o c a lc r i t i c a lp e r i o db i f u r c a t i o nf o rc u b i cs y s t e ma r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e rf o u r ，t h em e t h o d i nc h a p t e rt w oi sa p p l i e dt og i v et h eo r d e ro fw e a kc e n t e rf o raf o u rd e g r e er e v e r s i b l ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw h o s ec o r r e s p o n d i n gc u b i cs y s t e mh a si s o c h r o n ea n d t op r o v et h a ta tm o s tf i v ec r i t i c a lp e r i o d sp e r t u r b e df r o mt h ew e a kc e n t e r t h e c o l n m o nz e r o sp r o b l e mo f h i g h e r d e g r e ep o l y n o m i a l s i so v e r c o m ew i t ht e c h n i q u e s o fe l i m i n a t i o n m o r e o v e r 】t h ep a r a m e t e rs p a c ei sd i v i d e di nt e r m so ft h eo r d e r o ft h ew e a kc e n t e ra n dt h ec o n d i t i o n sf o rt h i ss y s t e mt oh a v ea ni s o c h r o n ea t t h eo r i g i na x eg i v e n k e yw o r d s ：p o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，i s o c h r o n e ，w e a kc e n t e r l i m i tc y c l e ，c o m p u t e ra l g e b r a s y s t e m ，c r i t i c a lp e r i o db i f u r c a t i o n 致谢 y6 5 4 6 2 0 本文是在我的导师张伟年教授的悉心指导下完成的，他 的许多重要工作和思想都是本文的基础。正是他三年来对我 始终不渝的关心、鼓励、教诲和帮助使我顺利完成学业。他 的高尚师德、严谨学风和深邃洞察力给予我深刻的启迪和影 响，使我终身受益。在此，向张老师表示最诚挚的敬意和感 谢! 衷心感谢曾振柄老师和侯晓荣老师对我的关心和热情帮 助，他们给我提出许多好的建议和提示，在此，表示深深的 谢意! 感谢所有关心、支持和帮助我顺利完成学业的老师、讨 论班的同学和朋友。也感谢我的家人多年来对我的理解和支 持。 第一章绪论 在相当长的时间里，研究分岔主要是在应用领域中进行的直到本世纪6 0 年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性分析等方面逐渐形成了现代数学 理论，电子计算机和有效计算手段相继出现，尤其是在不同领域中混沌现象的 发现，促使分岔理论迅速发展，并在力学、物理学、化学、生物学、医学、控制 工程技术以至社会科学中得到了广泛应用。但是，这里所说的分岔是指系统的 结构不稳定性导致参数发生变化时系统轨道前后不同胚。在分岔理论中还有另 外种分岔一局部l 临界周期分岔参数变化前后系统轨道是同胚的结构不发 生变化。这种分岔越来越受到人们的关注 1 1 中心型微分方程 本节主要研究二维欧氏空间r 2 中的多项式微分方程，有时也简称二维多 项式微分系统二维向量只有两个分量，所以也常直接用两个标量方程来表示 二维多项式微分系统。这样的齐次线性系统的一般形式是 圣= a z ，( 1 i ，i ) 其中z = ( 兰) ，a = ( a l l a 1 2 a 2 t a 2 2 ) ，g c 。，= ( 夏：蓦) ，原点c 。，。，是c - - ，z 2 “2 ( z j 的平衡点通过计算a 的特征值可以判定平衡点的类型。特别的，当a 有一 对纯虚根时，称原点为中心型平衡点。但是当有了附加项后，即使附加项在平 衡点( 0 ，0 ) 附近为任意阶高阶无穷小，平衡点( 0 ，0 ) 也可能不再是中心，也就是 说，它的拓扑结构可能改变 考虑一般的二维多项式微分系统 土= a x + g ( z ) ，( 1 ，1 2 ) 其中g c z ，= ( 戛譬j ) ，g t c 。，g 2 ( x ，是最低次不小于z 的多项式。当a 的特征值为一对纯虚根时，称( 1 1 2 ) 为中心型微分方程。到底( 0 ，0 ) 还是不是 第2 页第一章绪论 ( 1 1 2 ) 的中心呢? 这个问题并不简单经过多年的研究，这个问题已经有了令 人满意的解答。人们通过用三种经典的方法( 后继函数法、形式级数判别法、 直接求周期解判别法) 可以断定( 11 2 ) 的平衡点( 0 ，0 ) 或者是焦点或者仍然是 中5 - ，并称这样的焦点为细焦点，这样的中心为细中心问题就归结为判别 ( 1 1 2 ) 的平衡点( 0 ，o ) 何时是中心，何时是焦点考虑系统 j 圣一b y + m ，) ，( 1 1 3 ) i 口= 胁+ g ( x ，f ) ， 、 应用正规形( n o r m a lf o r m ) 理论( 【3 0 ，6 2 】) ，可做正规变换得到( 1 1 3 ) 的实标 准正规形 吐= 一p 扣+ v r ( r 2 ) + u g ( r 2 ) ) ，( 1 1 4 ) ii = p ( u + u n ( r 2 ) 一v g ( r 2 ) ) ， 。 其中 g ( r 2 ) = r 2 m ， r n = l n ( r 2 ) = p m r 2 m m = 1 有下面命题成立。 命题1 1 1 若存在自然数n ，使得g v 0 ，则原点是rj j 圳的细焦点。 进一步，当9 _ 0 ，g ：= 0 ，i 0 ，9 i = 0 ，i 0 和( z ，y ) = ( 0 ，0 ) 点的邻域u ，使得 当 盯时，以在u 内至多有k 个极限环； 俐对任意整数j ，1 曼js 七，任意常数盯+ ，0 口+ 仃，以及( 卫，y ) = ( 0 ，0 ) 的任意邻域u + 亡u ，存在一个开折系统，使得x ；在u 内恰有j 个极 限环，其中川 0 和a 。的任意邻域w ，存在a w ，使得 p 吣，a ) = 0 在u ：= ( 0 ，e ) 中至多有女4 - j 群，并且，a + 的任意邻域中都有天使 得尸躲邳= 0 在u 中刚好有k 个解，则称关于参数a + 有个局部临界周期 从细中心分岔出来。 定义1 2 1 给出了细中心阶数，可见此阶数主要决定于周期函数p 。所以 要弄清细中心的阶数首先就要研究函数p 的性质 引理1 2 1 【j 功n j 定义p ( o ，a ) = 2 7 r ，a r ，存在a 的开邻域w 和包含 = 0 的开区间j ，使得周期函数p 在a ：= j w 上解析。 f 彩对任意沁r “，当蚓， a 九l 充分小时，周期函数p 可表示为t a y l o r 级数 0 0 p ( ，a ) = 2 7 r + m ( a ) 六 k = 2 而且p k r a l ，a 2 ，a n x ，其为在a 收敛的幂级数环 第6 页 第一章绪论 r 跏2 七+ 1 在环r t ；h ，a 2 ，a ) 的理想( p 2 ，p 4 ，p 2 ) 中。特别地，第一个使 m 0 的k 是偶数 由定义1 2 1 和引理1 ，2 1 易有下面结果： 推论1 2 1i 若对参数凡er n ，存在整数k 0 ，满足 p 2 ( a + ) = p a ( a 。) = = p 2 k ( a 。) = 0 ，p 2 k + 2 ( a ) 0 则原点( o ，0 ) 是k 阶细中心。否则( 0 ，0 ) 是等时中心，此时对任意i = 1 ，2 均有p k ( a 。) 兰0 。 有了此结果，后面研究局部临界周期分岔的问题实质上就是对周期系数p 2 t ， i = 1 ，2 ，的公共零点进行讨论 在本节最后，我们将给出两个非常重要的分岔定理在这之前先给出一个 相对无关定义 定义1 2 4 如果函数f ：r 。- - + r 和一有限函数族 ：r ”。r ，i = 1 ，2 ，满足： 九的任意开邻域均含有a z ( ，h 一1 ) 使得f e ( a ) f ( a ) o i 一砂若a z ( ，f j ) ，乃+ l ( a ) 0 ，2 j 墨一1 ，则a 的任意开邻域w 均 含有口z ( f l ，f j 一1 ) 使得力( 口) 厶+ l ( a ) o j f i i i ) 若a z ( ) ，f 2 ( a ) 0 ，则 的任意开邻域均合有口使得f l ( o ) 厶( ) 0 ， 其中z ( f l ，厶) 表示函数，1 ，j 的公共零点，则称函数族 ，i = 1 ，2 ， 在参数沁处相对函数，无关。 c c h i c o n e 和m j a c o b s 于1 9 8 9 年给出了细中心分岔出局部临界周期的条 件，且给出具体分岔出几个局部临界周期，下面这两个定理已成为局部临界周 期分岔的奠基石。后面很多关于局部临界周期分岔的工作( 【3 ，4 ，5 ，6 ，1 5 ，2 4 ， 4 6 ，4 7 ，6 0 1 ) 都是建立在此两定理基础上的， 定理1 2 1 ( 有限阶细中心分岔定理) 【j 功若原点( 0 ，0 ) 是关于参数k 的k 阶细中心，则至多k 个局部临界周期从( 0 ，0 ) 分岔出来；进一步，如果周期系 数p 2 ，p 4 ，m k 在参数k 处相对p 2 + 2 无关，则对任意m ，恰有m 个局 1 2 局部临界周期分岔第7 页 部临界周期从( 0 ，0 ) 分岔出来。 定理1 2 2 ( 等时中心分岔定理) 【厕若原点( 0 ，o ) 是关于参数a 的等时中 心。且周期函数所有周期系数在理想2 ，p ”，p 2 k + 2 ) 中，则至多k 个局部临 g g l 期从( 0 ，0 ) 分岔出来；进一步，如果p 2 ，p 4 ，p 2 k 在参数a 处相对p 2 k + 2 无关，则对任意msk ，恰有m 个局部临界周期从( o ，0 ) 分岔出来 第二章多项式组的零点问题 在上一章中涉及到了很多多元高次多项式，如周期系数p 2 ，m ，。由定理 1 2 1 和定理1 2 2 知要考虑局部临界周期分岔问题，首先就要弄清细中心的阶 数，由定义1 2 1 可知要算出细中心的阶数其实就是计算多元高次多项式组的 零点问题随着多项式次数的增高，零点的计算是非常难的问题另外，在上 章中也用到了多项式环的理想( p 2 ，p 4 ，m k ) 等多项式环理论知识，所以，有必 要对多项式环理论和多项式零点问题做一定的介绍，这正是本章的主要工作 2 1 多项式环理论 定义2 1 1 设是k 基数域，z = ( 1 ，x 2 ，、，z 。) ，则 k = k x l ，z 2 ，z 。】： ，= 瓯z 。：g k ，o 缉) n 定义了数域k z - 1 5 0 一个多项式环 定义2 1 2 环肘称为n o e t h e r i a n 环，如栗它满足下面的等价条件： 例m 中的每个非空理想集有一个极大元； 一纠m 中的每个理想升链是稳定的； 一例m 中的每个理想是有r 艮生成的 设z 的幂积的集合记为： 瓦= z ? z ；2 x n “：o l l ，a 2 ，( ) 其中是非负整数集，则l 构成了域k 上多项式环的一个基，下面在l 上 定义一些序关系。 定义2 1 3 在瓦上定义的序_ t 要满足： 俐 t 为全( 线性) 序； “l j 了为乘法保持，即护 tx b 辛护- - t 扩； 阳计 t 为良序，即每个非空子集有最小元 2 1 多项式环理论第9 页 设多项式环k x 】上的变量序为z l 她 定义2 1 4e 上元素之间的序 l 称为纯字典序，若s = z ? 1 x “2 z ：n _ l z 1 z 争。争= t 甘存在g ，使得k = 风，1sk z ，而o l 反 定义2 1 5 耳上元素之间的序 d 称为全次序，若8 = x “1 。；2 - z ：n d 工 1 z 争z 争= t ( i ) d e a ( s ) = ( 0 0 + 锄+ + a 。) ( 卢l + 岛q - + 风) = d e g ( t ) 或 ( i i ) d e g ( s ) = d e g ( t ) 且存在使得k = m ，冬礼，啦- l 觑。 定义2 1 6ick 1 w i ( o ) ，称为理想，若 ( t ) j 1 9 i 音f 十9 i ； 一砂p k z 】，f i = p f i 定义2 1 7 给定 ，丘，丘k 1 w i ，称 ( ，1 ， ，厶) ：= ( p l f l + p 2 a 十+ 挑 ：n k 1 w i 是由k x 】中的多项式f l ，2 ，s 生成的。 由定义21 7 易验证( ，厂2 ，正) 是环m 中的一个理想，称为由多 项式，。，厶， 生成的理想。在第一章第二节中的理想( p z ，p 4 ，p 2 + ：) 就是 n o e t h e r i a n 环r f a l ，a 2 ，a k 中的理想，生成元是忱，a ，p 2 k + 2 正由于 r a i ，b ，a 是n o e t h e r i a n 环。所以定理1 , 2 2 中的k 总是存在的，但 是要给出这个女到底是多少却非常困难。 对于一个多项式，k 【z 1 ，用l t ( f ) 记，关于序 t 的首项，即，中按 ? 序的最大单顼式，h c o e f f ( ) 记，的首项系数，h t e r m ( ) 记l t ( f ) 的幂 积，既l t ( f ) = h c o e f f ( f ) 一h t e r m ( f ) 定义2 1 8 对k x 中非零多项式f ，g ，称，模g 约化。如果存在f 中的一个单 项式能被h t e r m ( g ) 整除，若记f = m q + r ，这里m 贸 o ，q ，r 圄 且q h t e r m ( g ) = p 瓦，用 ，时。，一( m q l t ( g ) ) g = f 一( m h c o e f f ( g ) ) p g = f 表，模g 约化为f 如果，摸某些多项式孽 g = 9 l ，9 2 ，9 。 约化为 第1 0 页第二章多项式组的零点问题 ，则称，模g 约化为f 7 ，记为f 卜g ，否则称f 模g 不可约化 用卜+ 占记。的自反、传递闭包，即，卜+ 占g 当且仅当存在一个多项式的 约化序列。使得： f = ，0 g 卜g ，2 卜g 厶= g 如果，卜古g ，且g 是不可约化的，就记为，苦9 下面将给出，模g 约化算法： r e d u c e ( f ，g ) 算法： 输入：f ( e m ) ，g = 9 l ，9 2 ，鲰) 慨k z 】，i = 1 ，2 ，n ) 输入：9 ( k x 1 ) ，使得，卜刍g 初始化：p = f ，g = 0 步骤l ：若g 不存在，则直接输入，否则进行步骤2 。 步骤2 ；w h i l e p 0 d o i f 兄g 0 t h e n q 乍s e l e c t b l y ( r v ，g ) p # p f l t ( p ) l t ( q ) ) q g 仁g + l t ( p ) ； p = p l t ( p ) ；) r e t u r n ( g ) e n d 例如：考虑多项式集g = g l ，9 2 ) g x ，y 】，其中 g l = x y 一1 ，9 2 = y 2 1 按纯字典序 l 进行排列多项式的项，若给定一个多项式 ，= x 2 y + x y 2 + y 2 k z ，y 1 2 。2 清无法第1 1 页 用r e d u c e ( f ，g ) 算法，可求出，关于g 的约化多项式g ，过程如下： ，卜9 i ，一x g l = x y 2 + 。+ y 2 = ，l ， 卜十g 一y g l = 。+ y 2 + y = 厶， 丘h 9 2 丘一9 2 = z + y + 1 = 9 其中z + y + 1 为所求多项式9 ，因为此时9 i 和雪2 的首项都不可能再整除g 中 的任意一项 2 2 消元法 解决线性多项式方程组的一个重要方法是消元法，消元法的思想深刻地影 响着方程理论的发展，以至于我们现在无处不见它的踪影对一般的非线性代 数方程组，我们的思想是要从给定的方程组构造出个所谓的导出方程组，然 后把这个导出方程组看作是诸未知元各不同幂积的线性方程组，从而利用已得 到充分发展的、丰富的消元法来研究原来的非线性方程组。 本节将介绍两种主要的消元法( 1 s ，5 3 ，5 4 ) 。 1 伪除法 定义2 2 1 给定多项式9 ( z ) 和i ( x ) ，如果存在多项式q ( z ) ，使得 ，( 。) = g ( z ) 9 ( z ) ， 则称多项式g ) 整除，b ) ，此时我们称方程g ( z ) = 0 与y ( x ) = 0 是整相关 的 对任意，( 嚣) ，9 ( 茁) k b l ，g ( 互) 除，( z ) 的余式和商式分别记为： r e m ( ，口，z ) ，q u o ( f ，g ，z ) ， 它们满足 ，( z ) = g ( 茁) q “o ( ，g ，z ) + r e 7 孔( ，g ，z ) ， 且余式r e m ( ，g ，z ) 关于变元x 的次数小于9 ( z ) 的次数，即 d e g ( r e m ( f ，g ，z ) ，。) d e g ( 9 ，z ) 第1 2 页第二章多项式组的零点间题 记l c o e f f ( ，z ) 为多项式关于z 的苜项系数，我们将用下面的程序得到夕( z ) 除 ，( 霉) 的商式和余式：设r o ：= ，0 ) ，r l ：= 9 ( 。) ，q u o ( f ，9 ，t ) ：= 0 步骤1 ：令扎：= d e g ( r l ，z ) ，m ：= d e g ( r o ，z ) ，如果m n ，则 r e m ( f ，g ，x ) ：= r o ，q u o ( f ，g ，茁) ：= q u o ( f ，g ，x ) 步骤2 ：如果r t g , 7 1 , ，令 返回步骤1 。 r ：= r l ： = t o 一纛然蛊z m - n r l ； r 0 ：2r ； q u o ( y ，g ，z ) ：= q u o ( f ，g ，z ) + 瓮辨高z 一” 定理2 2 1 多项式箩扛) 整除多项式，( z ) 甘r e m ( f ，9 ，x ) = 0 下面用此方法给出一个范例求解多项式组 f = 工5 一z 4 一z 2 + 石+ 1 = 0 ， ，2 ：z 4 一。+ n ：o ，( 2 2 1 ) l ，3 = z 3 + 6 z 一1 ：o 假设基数域是有理数域，此时，- 有不可约分解 = ( 2 7 1 ) ( z 2 + z + 1 ) ( 茁2 一x 1 ) 设 l = g 一1 ， 2 = 十。+ 1 ， 3 = 。2 一一1 这样( 2 2 i ) 就化为 f ，。2 = 0 或 ，2 ：0 l 五：o f ，1 3 = 0 或 ，2 ：0 l 矗：。 我们只分析第三种情况，其他是类似的用 。分别除，2 和，3 有 q 札d ( 厶，f 1 3 ，x ) = z 2 + x + 2 ， q 龃o ( ，f 1 3 ，。) = z + l ， r e m ( 止，1 3 ，7 3 ) = 2 z + a + 2 r e m ( a ， 3 ，z ) = ( b + 2 ) 立 0 0 o = = l i 尼 ，-，、ll 2 ，2 消元法第1 3 页 由于 3 是不可约的，而余式关于变元x 的次数比 3 的低，所以余式应恒为 零，即 r e m ( f 2 ， 3 ，z ) = 2 z + a + 2 = o ；r e m ( ，3 ，f 1 3 ，z ) = ( b + 2 ) x = 0 反之，若余式等于0 且 3 = 0 ，则f 2 = ，3 = 0 从而知当a 2 + 6 a + 4 = 0 ，b = 一2 时，茁= 一业2 ，否则无解 这种解法首先的一步是求多项式在基数域上的不可约分解，这往往是比 较困难的当首项系数出现参数时，为了避免做除法运算时常常出现的分式， 通常用伪除法来代替除法任给多项式，( z ) ，g ( x ) k n ，9 ( 茁) 除，( z ) 的伪余 式和伪商分别记为p r e m ( - ，g ，z ) 和p q u o ( ! ，g ，z ) 夕( 士) 除，扛) 的伪除法可由 如下程序实现：设t o ：= ，( z ) ，r l ：= 9 ( z ) ，p q 仳o ( f ，g ，z ) ：= 0 步骤i ：令n = d e g ( r 1 ，z ) ，m ：= d e g ( r o ，x ) ，如果m 礼，则 p r e m ( f ，g ，z ) ：= t o ，p q u o ( f ，g ，z ) = p q “o ( f ，g ，。) 步骤2 ：如果m 礼，令 r ：= r l ： r l ：= l c o e f f ( r , ，x ) r o l c o e f f ( r o ，z ) z “一“t 1 ； r 0 ：= r ； p q u o u ，g ，x ) = l c o e f f ( r l ，z ) p q u o ( ，9 ，z ) + l c o e ，( r o ，。) z ”“ 返回步骤1 。 设l c o e h ( g ，z ) = c ，则 p r e m ( f ，g ，z ) = c 。r e m ( f ，g ，z ) ，p q 札o ( f ，9 ，。) = c 。q u o ( f ，9 ，z ) 其中k 为某一非负整数，它的值由程序中步骤2 循环的次数决定 2 结式消元法 我们知遭在代数中常用辗转相除法从两个多项式中消去变元而得到仅含它 们系数的式子，然后根据这个式子为零与否来判定这两个多项式是否有公根。 这样的式子称为结式同时，辗转消元的过程也给出了两个多项式的最大公园 第1 4 页第二章多项式组的零点问题 式。辗转相除法是一个过程性的算法，如果不经过演算，就不能由它了解结式 的性态，而其演算过程往往是冗长繁琐钓，所以一般无法用它来求结式和最大 公因式好在结式消元法有许多简洁优美的显示表示，下面将介绍其中形式最 为简明的一种一西尔维斯特( j j s y l v e s t e r ) 结式消元法( 【1 8 ，5 4 】) 。可以说西尔 维斯特结式消元法是具有明显“线性”形式的辗转相除法，其基本思想如下： 给定两个多项式 m ) = n 。t + 郴一1 + + n m k 2 ) ig ( z ) = 。“+ 6 1 。”f 1 十+ k k 陋】 、 。 记= m + n 一1 ，z f = x 。，。一l = x 。一1 ，z o = z o = l ， 坛= a oa l a m g o0 1 口m 6 06 l 6 0 b 。 b l - b ob l、6 n 尬是一个m + 竹一2 i 行、m + n i 列的矩阵特别地m o 是方阵，称为多项 式，( z ) ，a ( x ) 关于z 的西尔维斯特结式矩阵 考虑如下关于变元轧，魏“，。o 的线性方程组： m b x l x * - 1 z 1 0 0 x n - l ，( z ) x n - 2 ，( z ) x l ，( x ) ，( z ) x m - 1 9 扛) x 1 9 ( z ) 9 ( x ) o h 5 2 2 消元法第1 5 页 从这m + n 个联立方程中消去变元。1 ，x 。，并依次消去变元3 7 。山，日将可 得到一列变元逐步减少的线性方程。这个线性方程组的公共零点等价于( 2 2 ，2 ) 这个非线性方程组的公共零点。下面给出此方法的一些结论： 定义2 2 2r e s ( ：，g ，z ) = d e t ( m o ) 称为多项式，扛) 和9 ) 关于x 的结式。 定理2 2 2 5 4 1 如果a o b o 0 ，则，( z ) 和9 ) 有公根r e s ( f ，g ，z ) = 0 为了弄清楚，( z ) ，9 ( 茁) 的最大公因式g c d ( f ，g ，z ) 的显式表示，我们首先需 要引入几个记号。 用 露表示矩阵 正的前m + n 一2 i 一1 列和第m + n 一2 i + j 列形成的 予矩阵它是一个方阵，其行列式记为| m 引，特别记& = l 删i ，称为f ( x ) 和g ( z ) 的第i 个主子结式设m 礼，且对于所有i = 0 ，1 ，2 ，礼一1 ，记 r + ，( ，g ，x ) = ，( z ) ，。p n ( ，g ，。) = 9 ( z ) ， t 只( ，g ，茁) = 1 孵5 = 1 聊j 矿+ 1 埘i x 1 + + i m ：j j = o 称这个多项式序列为，( 。) 和9 ( z ) 的子结式多项式序列 定理2 2 3 1 8 ，5 4 如果a o b o 0 ，且岛= = s k l = o ，s k 0 ，则，( z ) 和 g ( x ) 的最大公因式g c d ( f ，口，z ) = p k ( ，p ，盘) 定理2 2 4 【最5 4 1 如果a o b o 0 ，则方程组 ，( ) = 0 ，9 ( ) = 0 ) 等价于方程 组 只( ，g ，z ) = o ，i = 0 ，1 ，2 ，n ) 。 尽管从形式上看，后一方程组有更多的方程，可是其中包含有，( z ) ，9 ( x ) 关 于变量z 的最大公因式，因而是一个比较简单的方程组 第三章几类多项式微分系统的细中心 在微分系统的研究中，解析微分系统是很重要的一类系统。既然向量场是 解析的，人们总可以把它展成幂积数的形式加以研究，所以对多项式微分系统 的研究是很必要、很重要的本章主要介绍几类细中心问题已经得到圆满解决 的多项式微分系统。 3 1 二次微分系统的细中心 1 9 5 4 年n n b a u t i n ( 2 ) 指出对任何二次微分系统，若存在围绕着原点( 0 ，0 ) 的闭轨，则可以通过线性变换变为b a u t i n 型 ；：= - z a l + xa-，y+-aa。3zx。2+(2a。2+a5)xy一+afy。2,y 2 a a 4 ) z ya 2 y ( 3 1 1 ) i 啻= z + a 1 + a 2 2 2 + (3 + 一2 r 由于考虑的是中心的情形，所以总假设a l = 0 通过计算焦点量( l y a p u n o v 量) 9 3 = a 5 ( a 3 一a 6 ) ， 9 s = a 2 a 4 ( a 3 一a 6 ) ( a 4 + 5 a 3 5 a 6 ) ， 9 7 = a 2 a 4 ( a 3 一a 6 ) 2 ( a 3 a 6 2 a ：一a ；) ， 且其他的焦点量都是以9 3 ，9 5 ，9 z 作为因式，所以原点( 0 ，0 ) 是系统( 3 1 ，1 ) ( a l = 0 ) 的中心当且仅当9 3 g sg t0 即原点( 0 ，0 ) 是系统 ；：= z - + y - a 。a z 3 。x + 2 + ( 2 ( a 2 。a + 2 + a s ) x y 一+ a 。a 9 6 ：y a 4 ) z y ，2 ( 3 1 2 ) i 舀= z + a 2 2 2 + ( 2 a 3 + 一a 2 9 2 ， r 。叫 的中心当且仅当a ：= ( 入2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，a 6 ) ( r 5 ) b v ，其中 b v = b 1 u b 2 u b 3 u b 4 ， b l = b 2 = b 3 = b 42 a 4 = k = 0 ) 、， 0 | | 2 2 a一 2 6 2 6 a 3 | | 6 a5 3 队吣 一二+ f f 6 4 s 一 1 ，a r 7 ( 3 4 8 ) 把( 3 4 7 ) 代入( 3 4 5 ) 中，并比较等式两边的系数，易得 u i