换元积分法常用技巧.pdf

第 1 a 卷 6期 1 9 9 3 年 1 D 1 日 7 一 益阳师专学报 O C RNAL OF YI YA NG TEA CHERZ COLLEGE U o1 No 6 oct I 9 换 元积 分法常用技巧 王锡 华 数学系 7 2 2 摘耍本文对 换元积分法佯了深人 的研究 对甩换元 积分法解 题的技巧进 亍了系统的整理 嚣簇达 式 喜 氢 d 定 理 设 不 定 积 分 的 被 积 表 达 式 可 以 写 成l x x x 其 中f x 及 x 在所 考虑 的 区间上连 续 叉 设 F u f u 璁 9 有 l f x 置 dx F 叩 x c 1 若 令 ILl x 那么 1 式 可表 为 l f u d u l d F u F u c 2 由此可 见 上面 的定理 表 明 了 只要 F u f u 不 论 是 自变 量或 者 是 自变量x的具有连 续导 数的 函数 公式 2 都 是正确 的 该定理对计算不定积 分非常有用 其主要精神在于 通过适 当选择新变量t l x 使原 不 定积 分 的被积 表达 式化 为f u d u而 容易 找到 F q 使 F u f n 于 是原不 定积 分就等 于F x c 我们 将上 述计算 格 式表 示如下 5 f x 叩 x d x j f u d u F u c F 五 c 在有些场合下 选择新变量u x 是比较困难的 而其反函数的选择每是比较 容 易的 也就是谴 可以将自变量x 表 示成新变量 的一个适当的函数x u 使 原 不 定积 分的被积 表达 式f x d z亿为 f x d x f u u d a g 1 1 d H 而且容易找到G u 使 G u g u 这样原不定积分就等于G u c G 叩 x c 其 中1 1 x 是x u 的反 函数 为 了从x 1 9 u 保 证u x 的存在 性 我们 假定 函致 x 呻 U 是 单竭 的 为 了保证 不定积 舟 5 u U d u 有意义 除 了要 求 f 连续 外 还 要 求 u 也 连续 我们 将上述 计算 格式 表示于下 l f x d x l f u l I u d u i g u d u G u 4 c G 叩 五 c 上两种计算方法我们都称为不定积分的换元积分法 它稚共同之处是通过 新 变 量的引入而使不定积分较易算 出I其不 同之妊是前者给 出新变 量用原 自变壁袭采 南 匮 数 而后者给出原自变量用耨变镀表示的函数 一 收稿 日期 t l 口 g 3 0 5 2 1 维普资讯 盎雨师专 学报 l 9 9 3 年 换元积分法包含很多特殊灵活的技巧 要想掌握它 除了 熟悉一些典型的莉子外 只有通过大量的练习才行 笔者从教学实践中总结出换元积分法八种常用技巧 引起了 学生的浓厚兴趣 使他们普遍提高 了甩换元积赫法解题的能力 收到 了强好 的教学效果 1 变 套 j d x 一 3 x 8 z 一 3 x 8 i l 工 一 3 z 8 c J i ii f n l n n x I c J i 2 x d x 每 J 1 2 z I d 一 2 z 一 一 2 一 士 1 2 x c 2 一 高 等 f 南 J J J 一 a 一 1 a ct g J d x 一 寿 J 丽 J J i z 一 亍 J x 一 n 一 导j d n 一 n c J 品 j I 血 a x 一 n e J 塞1 d x J 堕 a x z f 一 一 咀 n 川 J a x 寺 睾 击 J 一 a e 41 i 一 l n x 4 c n J x l 一 n i 4 c dx t gz 一 c 杀 面 J j s e c x d x I 簧 J J d x 而 i l t gx 一 d t g x 4 t g x e 4 暂 开 J n 维普资讯 蒜 6朝 壬锡华拽元积分法常用技巧 9 q fS i n s c 封 n s x s i啦 a x J s in 8 x d c s x 丢 f s n x d x 一 c s s x 一 1 c s x c 被 积 函数 为s i n p x s i n q x c o s p x c o s q x J 情形 都可 以这 样解决 j s e c 6 x d x J tg x 1 s e c x d x j t g x 2 g x 十 d g x 墼 墨 j c o s j 堕 争 扑呲州z x 5 i c 2 d x 寺 j x d 1 x 参 J 1 x 1 j 1 x d 1 x 一 圭 j r x z j d 1 x 一 J x d 1 x 一 x 吉 1 x z c 5 攫 取 f堕 f J e 1 j d x r e 1十e一 f 竖 一 f d J 1 e 一 j 1 0 一 一一 I n 1牛e一 c x 1 n e x 1 f 1 5 J j a o dx 菩 拳 篙 r c t e 一 I志 j 鬲 j d x x 7 i 詈 一 a r c s i n v I x 2 v r r 一 一 Jl一 x 2 c 6三 角置 j 雯 捌 栅分 J 解 令 x t g u 限 制 o 解被 积 函数 有两个连 续 区 闻x 8 及za 的 情 形 1 设x s e c u 限制 0 u 2 这 时V 二 i a t E u f s e c u t g a s e c a d u 产 f s e e r t g U I c l s e c t g a 0 詈 牢 c n z 厅 c 利用图 2 图 2 2 x a 的情 形 设z S C C U 限制 a o J x 一 a 对 形如l f i j d x或 5 f 五 d x 的不 定积 分 通常 可利用 三 角置 换法 进 行 计算但不 一定是 戢伟 方 法 7双曲置按 例 l 求 不 定 积 分 d x 解被积 函数有两 个连续 区闻x 8 及x a 的情 形 令x a c t u 并 限制u 0 这时 ii a 丽 a s h u d x a s h a d a 结 果有 f 一 l d u u c a h x c J x 一a 2 x 0 同样有 一 h d 一 h d 结果 有 一 dx 一 d u n c 一 a r c h 一 c 合 并 以 上 计 算 靖 果 我 们 有 v j 一 一a 如 一 a r c x a J i a r c h 一 x 一 a 读 者 可 以验 证此结 果 与前面用 三角置 换 法计算 所 得结果 是 一致的 例 2 求不 定积 分 r 兰 一d x J 解令 x 2 c h a 则 d x 2 s h u d u 于是 I d x 一 4 i c h 2 i I d u s h 2u d u c la 2 u s h 2 u 2 u c 2 s l u c h u 2 u c J d x 一 4 i c h 2 i I 2 u c c 一 号 蕊 2 1 n x l 8 髑代换 d X 例 求 不 定 积 分 j 解 作 代 抉x d x 0 d u 志 一 j 一封 一 一 c 一 对 形 如 Jr d x f d三 x x x x a I x a 的 不 定 积 分 通 常 可 利 用 例 代 换 x 进 行 计 算 换元积分法是求不定积分的最基本的方法之一 因此善于利用适当的变量置换是掌 握 积 分技巧 的一个关 键 为此 首先要 熟 悉基本积 分表 因 为进行 变量置 换最终 要 化为 基本积分麦中已有的形式a此外要熟悉具体函数和它们的微分的特性 要通过宴践注意 怎样的被积表达式用什么置换能解决 问题 本文所举 的例题都是一些典型的情形 读者 应 认真研究这些置换并能灵恬运用 我 们 知道 原 函数是对被 积 函数 的连续 区间来 求 的 进行 变量 置换时 应 注意原 来积 分变量x 的变化范围与引进 的新变量u 的变化范围 不要只作形式