基于教学案例的数学概念课的建构——从数系的扩充与复.pdf

2 4 数学通报2 0 1 0 年第4 9 卷第6 期 基于教学案例的数学概念课的建构 从 数系的扩充与复数的引入 一节课谈起 孙福明 江苏常州市教育教研室2 1 3 0 0 1 数学概念是数学大厦的基石 是数学体系的 起点 数学教师都知道学习数学概念的重要性 他 们在谈论学生的错误时 总喜欢归因为学生 概念 不清 然而究其根源 教师在讲授概念时 首先没 有讲清概念 尤其是新课程实施以来 部分教师由 于对情境 活动的功能认识不到位 导致概念教学 的弱化 如在利用情境引入概念时 概念的本质属 性突出不够 分析概念内涵时 缺乏思想方法引 领 常常揪住细枝末节大做文章 阐述概念性质 时 不能采用演绎的方法分清性质的层次 常把衍 生很远的结论作为性质 运用概念时 不用概念规 范和引领思维活动 一味强调程序和技巧等 本文 以 数系的扩充与复数的引入 苏教版普通高中 数学课程标准实验教科书数学选修2 2 下同 为例 谈谈数学概念课建构的一些认识 数系的扩充与复数的引入 一节分成三个层 次 第一层次是数集扩充史的简要回顾 第二层次 是虚数单位及复数的定义 第三层次是复数概念 的运用 包括复数分类 复数相等 1 引入概念 立足数学 着眼学生 1 1 以数学系统性为基础 以引发学生认知冲突 为重点 在处理第一板块时 有些教师通过讲故事的 方式 大篇幅的采用了数学史 引经据典 给人的 感觉不是在上数学课 而是在上历史课 其实 就 数学史自身而言 数系的发展纵横数百年 枝节很 多 有些书籍的介绍只是简约的结论 并没有完整 展示 本节课的教学目标定位于通过适度 经历数 的概念的发展和数系扩充的过程 重点 体会数 学发现和创造的过程 为数集的进一步扩充打下 基础 即 数学发生 发展的客观需要 最终达到 让学生充分体会到引入虚数是必需的 合理的 是 水到渠成的 课程标准提出的所谓 经历 不能简 单地理解为完整 走 一遍 在这里 数学史并非重 点 蕴含在数学史中的数学家的问题意识和数学 家追求理性 追求数学的完美的创新精神是值得 向同学们介绍的 部分教师简单照搬教材内容 采取了两条线 索来叙述数集的扩充过程 一条是社会发展的需 要 从人类生活历史的角度 说明引入数集z Q 的重要性 一条是数学内部运动发展使然 由于采 用了平行引人的处理方法 使得课堂层次不请 主 题不突出 反而削弱了情境的作用 数学固然来源 于生活 但数学并不能总是在生活中找到模型 比 如 虚数单位 i 在人们日常生活中 是无法直接 感知的 引进虚数概念 应从数学内部矛盾运动着 手 是数学内部矛盾运动的产物 本节课引入可以 设计成以研究方程的解为线索 在回顾求解系列 方程5 x 3 z 1 0 z 2 2 等的过程中 让学生 一次次感受到由于已有的数集 不够用 导致了 数系扩充的必然性 让学生形成 由于数不够用 了 导致数系必然要扩充 这一问题解决模式 由 此在研究最简单的一元二次方程X 2 一一1 时 类 似的问题情境 学生自然想到扩充数系的必要性 这样的引入 既强调了数学的逻辑体系 又引发了 学生的认知冲突 学生认知新概念的欲望得到 调动 1 2 情境设置的三重功能 提取 过渡 伏笔 在介绍数系扩充过程中 教师只是简单呈现 这样一条线 N Q R 即数系扩充的结果 其实 在数系扩充过程中 情境可以起到三重功能的作 用 第一重功能是提取 即提取学生知识结构中有 关数系的知识 从扩充的视角 重新排列 学生知 识结构中是没有数系及扩充的概念的 有的只是 万方数据 2 0 1 0 年第4 9 卷第6 期数学通报 2 5 数集的知识和数集之间的包含关系 数集和数系 是两个不同的概念 数系是数集连同相应的运算 及结构 显然 数集仅是数系的对象 包含和扩充 是有本质区别的 前者在学生的印象中更多的是 多少 或 大小 的概念 而扩充 既体现在范围的 增加上 更重要的是保持原有的 好 的运算结 构 没有因为引入新数产生变异 这一点是至为关 键的 可以说是数系扩充的核心 在呈现过程中 教师应有意识的引导学生从 扩充 的角度重新排 列数集的知识 渗透 强化扩充的原则 第二重功 能是过渡 即通过历次数系扩充必要性的介绍 自 然过渡到引入虚数的重要性及合理性 第三重功 能是伏笔 情境引入要为后续知识服务 不能像火 箭升天 扔掉一节是一节 介绍数系历次扩充过程 中的扩充原则 要作为重点 每次扩充都要强化 为复数概念引入打下伏笔 扩充原则中 保持原来 的部分运算性质 要有具体的例子 以便为虚数 引入后 虚数与实数的运算打下伏笔 解决虚数与 实数运算这个难点提供铺垫 如引入无理数后 无 理数与有理数之问的运算时 应板书2 2 3 5 2 这样一些形式的数 以加强学生的感性认识 当后面出现虚数时 类似的 只要把无理数换成相 应的虚数 采用类比的方法可以很好地解决虚数 与实数运算所带来的学生认知上的困难 2 认识概念 整体构建 说清分类 2 1 虚数单位引入的合理性 为什么称 i 为虚数单位 几乎所有教师在 上课时都没有给与合理的解释 都是 空投 直接作为结论呈现给学生 其实 实数表示中 也 是有单位的 这个单位就是1 例如数5 意指5 个 1 同样 为了引入虚数 也需要引进虚数单位 也 因为一4 4 一1 当以 0 时 一a a 一1 所有的负数都可以转化为一个正数与一1 的积 因此对负数的开平方 归根到底转化为对一1 的 开平方 相当于实数中1 为单位 对一1 开平方根 就相应称为虚数单位 有个别教师类比符号如分数线 一 根号 厂 等 认为引进的虚数单位 i 是个符号 这 是不对的 前面的符号都是代表某种运算 但虚数 单位i 不是 前后有本质区别 不存在类比关系 2 2 整体认识复数代数形式 根据数集的扩充原则 对虚数单位i 规定运 算 实数可以与i 进行四则运算 进行四则运算 时 原有的加法 乘法运算律仍然成立 首先考虑 最基本的加法和乘法运算 因为减法和除法是加 法与乘法的逆运算 所以作为最简单的运算结果 只需要考虑加法和乘法 其次这个数是分两步得 到的 第一步是虚数单位i 可以与任意实数b 相 乘 得到结果是一个数6 i 当然也可以写成i 6 但 因为i 是虚数单位 因而习惯把b 写在前面 再把 这个数与任意实数a 相加 得到结果a b i 这又 是一个数 再次 复数代数形式是简约化的约定 包括口 b R 及实部在前 虚部在后的约定 a b 可以是具体的实数 也可以是代数表达式 引入虚数单位i 并与实数进行运算后得到a 6 i n b R 后 如何在学生认知结构中纳入这 个概念是十分关键的 复数进入学生的认知结构 不是简单的同化 而是顺应 很多教师常因为其简 单 就一带而过 事实证明 学生对复数概念模糊 相当大程度上是因为对代数形式理解不到位 对 复数的代数形式 首先应整体理解 这个整体形式 是一个数 不能因为有运算符号 就认为它是 个式子 这是虚数与实数运算 包括化简 的结果 这个整体与2 2 等无理数有形似之处 即无理 数无法再与有理数 合并 化简 只能保留这样的 结果 同样的 虚数也无法与实数进行 合并 所 以只能保持这样的结构 复数的这种结构体现了数学概念的两重性 即既是运算的过程 体现加法 乘法运算 是一个 动态的过程 又是运算的结果 是一个静态的 形式 2 3 复数的分类是对复数代数形式认识的精 致化 很多教师写出或让学生写出若干个各种结构 的复数 然后结合复数的形式进行分类 其实 从 数学逻辑关系来说 复数集是在实数集基础上扩 充过来的 在复数a b i 口 b R 中 a b 是字母 形式 按照高二学生的认知水平 应该自然想到分 类讨论的思想 a b 满足什么条件 复数变成 说 退化更准确 实数 学生自然能想到b 一0 进而 分类到6 0 的情形 对a 是否等于0 的讨论 不 是讨论的焦点 只不过因为虚数集中有这样一类 数集 故把它们归为一类 对a b 是否等于0 的讨 万方数据 2 6数学通报2 0 1 0 年第4 9 卷第6 期 论 尽管形式相同 但数学含义是不一样的 分类是概念的精致化过程 是概念体系的建 立过程 即复数与实数是否有关系 有何关系 通过复数概念的内涵和逻辑的关联 进而分类 系 统化 形成整体知识体系 达到相互联系 融汇变 通 因此 有些教师前面出现了扩充体系N z Q R 但引入复数集c 却没有及时链接上去 没 有明确指出到此为止形成中学阶段完备的数系扩 充体系N z Q R C 不能不令人遗憾 对数的分类讨论思想其实在数系的扩充过程 中是一直存在的 每一次的扩充就是分类思想的 体现 如有理数分为整数和分数 实数分为有理数 和无理数 同样 实数扩充到复数后 复数分为实 数和虚数 这样的分类更能体现数学培养学生逻 辑思维能力的作用 体现数学的系统性 体现数学 思想的一脉相承 3 概念应用 紧贴内涵 渗透思想 3 1 概念应用 紧扣复数代数形式 不能走得 太远 教材设置了三道例题来认识复数代数形式 前两道是最基础的 但很多教师误认为简单就一 带而过 失去了在具体情境下认识复数的例题教 学的价值 例题教学要引导学生学会用概念规范 和引领思维活动 首先要突出审题和分析的思维 过程 判断对象是否是复数的标准代数形式 实 部 虚部分别是什么 其次 如果实部 虚部中含 有字母 如何有序分类讨论 作为例题教学 解题 的示范格式也是必不可少的 3 2 挖掘概念中的数学思想方法 教材第三道例题是复数相等的概念运用 很 多教师感觉到如何引入复数相等是个难点 甚至 个别教师违反教材逻辑 通过点重合来说明复数 相等 复数相等仍然是复数概念的深化 即相同的 一对有序数对只能决定一个复数 由于学生已经 学过向量 对有序数对的概念并不陌生 所以在这 里 把复数形式与有序数对对应起来 明确一个复 数a b i a b R 确定一对有序数对 n 6 逆过 来 一对有序数对确定一个复数 就是说两个标准 的复数代数形式 只要它们各自的a b 顺序对应 相等 那么这就是同一个复数 这就渗透了数形结 合的思想 尽管不必明确指出 但数学思想 对 应 数形结合的渗透是无处不在的 教师在数学概 念的教学中 应努力在特殊的个案中挖掘重要的 数学思想 并适当加以强化 数学思想是数学的灵 魂 它是无处不在的 关键在于教师有一双 慧 眼 4 学生活动 浓厚思维含量 增加探究味道 新课程强调课堂教学中学生的主体地位 如 何在数学课堂中体现学生的主角位置呢 通过教 师精心设计知识关键点 学生理解困难点等关节 点处的问题 激发学生探索的欲望 在学生探索过 程中 教师利用适度的点 拨 调 引等手段 让学 生的思维不断走向深入 是张扬学生主体地位的 常用模式 在本节课的教学中 有些教师把可以探 索的内容变成了直接的知识传授 把课上得索然 无味 学生完全处于游离的状态 其实 本节课可 以设计成问题串的形式 让学生进入思维的轨道 充分给予学生思考的权力 引入虚数概念后 用类 比的方法 通过与实数的比较 激发学生探求新知 的兴趣 如虚数与实数的运算能否类比实施与实 91 数的运算 有何共性及区别 如2 3 i 与寺 oU 区别何在 等等 总之 在概念教学中 应围绕概念 本着 强化 理性思维 的教学原则 本着帮助学生 认识数学 的本质 的原则 多角度 全方位地做深入浅出的 剖析 恩格斯曾说 在一定意义上 科学的内容就 是概念的体系 所以 认真重视概念教学 既是新 课程的要求 也是素质教育观下培养学生数学素 养的必然 参考文棘 1中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 实验 E M 3 j E 京 人民教育出版社 2 0 0 3 4 2 单j 尊 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2 2 M 南京 江苏教育出版杜 2 0 0 8 8 3 韩立福主编 当代国际教育理论基础导读C M 北京 首都筛 范大学出版社 2 0 0 6 4 邵光华 章建跃 数学概念的分类 特征及其教学探讨E J 课 程 教材 教法 2 0 0 9 7 4 7 5 1 万方数据 基于教学案例的数学概念课的建构 从 数系的扩充与复数基于教学案例的数学概念课的建构 从 数系的扩充与复数 的引入 一节课谈起的引入 一节课谈起 作者 孙福明 作者单位 江苏常州市教育教研室 213001 刊名 数学通报 英文刊名 BULLETIN