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第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程考情展望1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等.2.考查不同条件下求直线的方程(点斜式、两点式及一般式等).3.题型多为客观题，多与两直线的位置关系、直线与圆的位置关系及圆锥曲线结合交汇命题一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，)2斜率公式(1)直线l的倾斜角为90，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.二、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用1直线xya0的倾斜角为()A30B60C150D120【答案】B2已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1 B1C2或1 D2或1【答案】D3已知A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三点共线，则x_.【答案】34一条直线经过点A(2，3)，并且它的倾斜角等于直线yx的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是_，斜截式方程是_【答案】xy230yx235(2014福建高考)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则直线l的方程是()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30【答案】D6(2013辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0【答案】C考向一 122直线的倾斜角和斜率(1) 若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A.BCD.(2)直线xcos y20的倾斜角的范围是()A. B.C. D.【尝试解答】(1)设P(x,1)，Q(7，y)，则1，1，x5，y3，即P(5,1)，Q(7，3)，故直线l的斜率k.(2)设直线的倾斜角为，则tan cos ，又cos 1,1，tan ，又0，且ytan 在及上均为增函数，故.【答案】(1)B(2)B对点训练若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_【解析】当时，ktan ，当时，ktan ，0)即k，0).【答案】，0)考向二 123求直线的方程已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形【尝试解答】(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.若a0，即直线过点(0,0)及(3,4)直线的方程为yx，即4x3y0.若a0，则设所求直线的方程为1，又点(3,4)在直线上，1，a7，直线的方程为xy70.综合可知所求直线方程为4x3y0或xy70.(2)由题意可知，所求直线的斜率为1，又过点(3,4)由点斜式得y4(x3)，所求直线的方程为xy10或xy70. 规律方法21.截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.2.求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.对点训练ABC的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC的垂直平分线DE的方程【解】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2x3y60.(3)BC的斜率k1，则BC的垂直平分线DE的斜率k22，由斜截式得直线DE的方程为y2x2.考向三 124直线方程的综合应用已知直线方程为(2m)x(12m)y43m0.(1)证明：直线恒过定点M；(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程【尝试解答】(1)(2m)x(12m)y43m0可化为(x2y3)m2xy4.由得直线必过定点M(1，2)(2)设直线的斜率为k(k0)，则其方程为y2k(x1)，|OA|1，|OB|2k，SAOB|OA|OB|(2k).k0，k0，SAOB4.当且仅当k，即k2时取等号，AOB的面积最小值是4，此时直线的方程为y22(x1)，即y2x40.规律方法31.解答本题的关键是面积最小值的求法，解法中使用了均值不等式，仔细体会此解法.,2.利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式.对点训练直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线l的方程【解】法一设直线l的方程为1(a0，b0)，A(a,0)，B(0，b)，解得所求直线l的方程为1，即2x3y120.法二设直线l的方程为y2k(x3)，令y0，得直线l在x轴的正半轴上的截距a3，令x0，得直线l在y轴的正半轴上的截距b23k，(23k)24，解得k，直线l的方程为y2(x3)，即2x3y120.易错易误之十三求直线方程忽视零截距1个示范例设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围【解】(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a2，即a11.a0，方程即为xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1综上可知a的取值范围是a1.1个防错练【防范措施】1.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.求经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程【解】设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为yx，即2x3y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(3,2)，1，a5，l的方程为xy50，综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.课时限时检测(四十二)直线的倾斜角与斜率、直线方程(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，则参数m满足的条件是()AmBm0Cm0且m1 Dm1【答案】D2直线xsin ycos 0的倾斜角是()AB.C.D.【答案】D3直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B4直线mxy2m10经过一定点，则该定点的坐标是()A(2,1) B(2,1) C(1，2) D(1,2)【答案】A5已知函数f(x)ax(a0且a1)，当x0时，f(x)1，方程yax表示的直线是()【答案】C6若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7若A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)，(ab0)三点共线，则的值为_【答案】8如图811，点A、B在函数ytan的图象上，则直线AB的方程为_图811【答案】xy209已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于_【答案】3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)过点P(1，1)的直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率和倾斜角【解】设A(a,0)，B(0，b)，则即A(2,0)，B(0，2)，kAB1，故直线l的倾斜角为135.11(12分)(1)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程(2)求经过点A(，3)，且倾斜角为直线xy10的倾斜角的一半的直线方程【解】(1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为ykx，将(5,2)代入ykx中，得k时，此时，直线方程为yx，即2x5y0.当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，此时，直线方程为x2y10.综上所述，所求直线方程为x2y10或2x5y0.(2)由xy10得此直线的斜率为，倾斜角为120，从而所求直线的倾斜角为60，所求直线的斜率为.又过点A(，3)，所求直线方程为y3(x)，即xy60.12(13分)已知定点P(6,4)与直线l1：y4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M.求使OQM面积最小的直线l的方程【解】Q点在l1：y4x上，可设Q(x0,4x0)，则PQ的方程为.令y0，得x(x01)，M.SOQM4x0101040.当且仅当x01即x02时取等号，Q(2,8)PQ的方程为：，xy100.第二节两条直线的位置关系考情展望1.考查由已知两条直线平行与垂直求参数.2.考查距离的计算及对称问题.3.本节内容客观题主要考查基础知识和基本能力，主观题主要在知识交汇处命题注重考查分类讨论与数形结合思想一、两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解1一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.二、几种距离1两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.2点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.3两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等1过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20 Dx2y10【答案】A2已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B2C.1 D.1【答案】C3已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为()A7 B1C1或7 D.【答案】A4若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_.【答案】15(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_【答案】36(2014四川高考)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_【答案】5考向一 125两条直线的平行与垂直已知直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0，问当m为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？【尝试解答】(1)3m(m2)即m22m30，所以m3且m1.当m3且m1时，l1与l2相交(2)要使l1l2，只要1(m2)m30即m.当m时，l1l2.(3)要使l1l2，只要当m1时，l1l2.(4)由(3)知，当m3时，l1与l2重合规律方法1在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l1l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)；(2)l1l2A1A2B1B20，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根.对点训练(1)(2015威海模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin Aayc0与直线bxysin Bsin C0的位置关系是()A平行B垂直C重合 D相交但不垂直(2)已知直线xa2y60与直线(a2)x3ay2a0平行，则a的值为()A0或3或1 B0或3C3或1 D0或1【解析】(1)在ABC中，由正弦定理，1.又xsin Aayc0的斜率k1，bxysin Bsin C0的斜率k2，因此k1k21，两条直线垂直(2)由3a(a2)a20得a(a22a3)0，a1或0或3.检验当a0或1时两直线平行，当a3时两直线重合【答案】(1)B(2)D考向二 126两直线的交点与距离(1)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程(2)已知点P(2，1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离【尝试解答】(1)法一先解方程组得l1、l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.法三由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0，其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x2满足条件若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知，得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.由点斜式得y12(x2)，2xy50.直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.规律方法2求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k的代数关系式求解；(2)从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解.在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解.对点训练直线l经过点P(2，5)且与点A(3，2)和点B(1,6)的距离之比为12，求直线l的方程【解】当直线l与x轴垂直时，此时l的方程为x2，A到l的距离为d11，B到l的距离为d23，不符合题意，故直线l的斜率必存在直线l过点P(2，5)，设直线l的方程为y5k(x2)，即kxy2k50.A(3，2)到直线l的距离d1，B(1,6)到直线l的距离d2.d1d212，k218k170，k11，k217.所求直线方程为xy30和17xy290.考向三 127对称问题光线由点P(1,3)射出，遇直线l：xy10反射，反射光线经过点Q(4，2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程【尝试解答】设P(1,3)关于直线xy10的对称点为P(x1，y1)，点Q(4，2)关于直线xy10的对称点为Q(x2，y2)所以P(4,0)同理有Q(1，5)这样，反射光线所在直线为PQ，斜率k1.直线方程为x4y40.入射光线所在直线为PQ，斜率k24，直线方程为4xy10.入射光线直线方程为4xy10，反射光线直线方程为x4y40.对点训练已知点A的坐标为(4,4)，直线l的方程为3xy20，求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线l关于点A的对称直线l的方程【解】(1)设点A的坐标为(x，y)，由题意可知解得x2，y6，A点的坐标为(2,6)(2)法一在直线l上任取一点P(x，y)，其关于点A(4,4)的对称点(8x,8y)必在直线l上，即3(8x)(8y)20，即3xy180，所以所求直线的方程为3xy180.法二由题意可知ll，设l的方程为3xyc0，由题意可知，解得c18或c2(舍)，所以所求直线的方程为3xy180.易错易误之十四小视斜率不存在1个示范例已知l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20.求使l1l2的a的值【解】法一当直线斜率不存在，即a0时，有l1：3x50，l2：x20，符合l1l2.此处易误认为直线l1与l2的斜率一定存在，漏掉讨论直线斜率不存在的情形当直线斜率存在时，l1l2，a，经检验，a符合题意故使l1l2的a的值为0或.法二由l1l23(a)(3a1)2a0，得a0或a，经检验，a0或a均符合题意，故使l1l2的a的值为0或.1个防错练【防范措施】在讨论含参数的两条直线的位置关系时，一定不要忘记两条直线的斜率是否存在的情况，否则会出现漏解.已知直线l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0互相垂直，则实数a的值是_【解析】因为直线l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0互相垂直，故有a(2a1)a(1)0，可知a的值为0或1.【答案】0或1课时限时检测(四十三)两条直线的位置关系(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为()A.BC2D2【答案】A2直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A12 B2 C0 D10【答案】A3已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是()A0 B2 C. D4【答案】B4当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】B5若三条直线l1：4xy4，l2：mxy0，l3：2x3my4不能围成三角形，则实数m的取值最多有()A2个 B3个 C4个 D6个【答案】C6若曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为()A. B. C. D.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7已知直线l1：xay60和l1：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是_【答案】18已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为_【答案】xy109若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则的值为_【答案】1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等【解】(1)l1l2，a(a1)b0.又直线l1过点(3，1)，3ab40.故a2，b2.(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.故a2，b2或a，b2.11(12分)已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程【解】(1)证明直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得直线l恒过定点(2,3)(2)设直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大又直线PA的斜率kPA，直线l的斜率kl5.故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70.12(13分)过点A(3，1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y2x于点C，若|BC|2|AB|，求直线l的方程【解】当k不存在时B(3,0)，C(3,6)，此时|BC|6，|AB|1，|BC|2|AB|.直线l的斜率存在设直线l的方程为y1k(x3)令y0，得B.由得C点横坐标xC.若|BC|2|AB|，则|xBxC|2|xAxB|.2.3或3，解得k或k.所求直线l的方程为：3x2y70或x4y70.第三节圆的方程考情展望1.结合直线方程，考查运用待定系数法求圆的方程.2.考查运用圆的几何性质求动点的轨迹方程.3.多以选择题、填空题形式考查一、圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点集合限定条件标准方程(xa)2(yb)2r2圆心：(a，b)，半径：rr0一般方程x2y2DxEyF0圆心：，半径：D2E24F0确定圆的方程时，常用到的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在任一弦的中垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线二、点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系1若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.2若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.3若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.从位置看d，r的关系判定点与圆的位置关系还可利用点到圆心的距离d与r的关系：dr点在圆外；dr点在圆上；dr点在圆内1圆的方程为x2y22by2b20，则圆的圆心和半径分别为()A(0，b)，bB(0，b)，|b|C(0，b)，b D(0，b)，|b|【答案】D2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()Aa2或a Ba0C2a0 D2a【答案】D3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da1【答案】A4已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_【答案】(x2)2y2105(2013重庆高考)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4 C3 D2【答案】B6(2014课标全国卷)设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_【答案】1,1考向一 128求圆的方程求圆心在直线2xy30上，且过点A(5,2)和点B(3，2)的圆的方程【尝试解答】法一圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上线段AB的垂直平分线方程为y(x4)设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有解得C(2,1)，r|CA|.所求圆的方程为(x2)2(y1)210.法二设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则解得圆的方程为(x2)2(y1)210.法三设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D4，E2，F5，所求圆的方程为x2y24x2y50.规律方法1求圆的方程有两种方法：,(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程.若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解.若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解.(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程.对点训练(2014山东高考)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_【解】设圆心为(2t，t)，半径为r|2t|, 圆C截x轴所得弦的长为2 , t234t2， t1，圆C与y轴的正半轴相切，t1不符合题意，舍去， 故t1,2t2, (x2)2(y1)24. 答案为：(x2)2(y1)24考向二 129与圆有关的最值问题已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值【尝试解答】(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)设yxb，yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.对点训练已知圆Q：(x2)2y21，P(x，y)为圆上任一点(1)求的最大、最小值；(2)求x2y的最大、最小值【解】(1)设k，则kxyk20.由于P(x，y)是圆上任一点，当直线与圆有交点时，如图所示：两条切线的斜率分别是最大、最小值由d1，得k.的最大值为，最小值为.(2)令x2ym，同理，两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值由d1，得m2.x2y的最大值为2，最小值为2.考向三 130与圆有关的轨迹问题设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹【尝试解答】四边形MONP为平行四边形，设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则(x，y)(3,4)(x3，y4)又点N在圆x2y24上运动，(x3)2(y4)24.又当OM与ON共线时，O、M、N、P构不成平行四边形故动点P的轨迹是圆且除去点和.规律方法31.本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在点M、O、N三点共线时，点P是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点2求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可用Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程对点训练(2014课标全国卷)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积【解】(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.规范解答之十二破解圆的方程综合问题1个示范例1个规范练(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A，B两点，且OAOB，求a的值【规范解答】(1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0) ，(32，0)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3.所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.6分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a20.从而x1x24a，x1x2.8分由于OAOB，可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.10分由，得a1，满足0，故a1.12分1个规范练【名师寄语】(1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式.(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解.在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy40相切(1)求圆的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围【解】(1)设圆的方程为x2y2r2，则r2.圆的方程为x2y24.(2)由(1)知A(2,0)，B(2,0)，设P(x0，y0)，则|PA|，|PO|，|PB|.又|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，|PO|2|PA|PB|，即xy，整理得yx2.(2x0，y0)(2x0，y0)(x4)y2x6.又点P在圆内，xy4.2x3，20.课时限时检测(四十四)圆的方程(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1圆x2y22x6y5a0关于直线yx2b成轴对称图形，则ab的取值范围是()A(，4)B(，0)C(4，) D(4，)【答案】A2若当方程x2y2kx2yk20所表示的圆取得最大面积时，则直线y(k1)x2的倾斜角()A.B. C.D.【答案】A3已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是()A3B3C3D.【答案】A4点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21【答案】A5点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线l：xy10对称，则该圆的半径为()A2 B.C3 D1【答案】C6若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A(，2) B(，1)C(1，) D(2，)【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7直线x2y2k0与2x3yk0的交点在圆x2y29的外部，则k的范围是_【答案】8已知A、B是圆O：x2y216上的两点，且|AB|6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，1)，则圆心M的轨迹方程是_【答案】(x1)2(y1)299已知圆C过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线yx上，则圆C的标准方程为_【答案】(x2)2(y2)25三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)已知圆的方程为(xm)2(ym4)22.(1)求圆心C的轨迹方程；(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)【解】(1)设C(x，y)，则消去m，得y4x.圆心C的轨迹方程为xy40.(2)当|OC|最小时，OC与直线xy40垂直，直线OC的方程为xy0.由得xy2.即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，m2.圆C的方程为(x2)2(y2)22.其一般方程为x2y24x4y60.11(12分)已知点P(x，y)是圆(x2)2y21上任意一点(1)求P点到直线3x4y120的距离的最大值和最小值；(2)求x2y的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值【解】(1)圆心C(2,0)到直线3x4y120的距离为d.P点到直线3x4y120的距离的最大值为dr1，最小值为dr1.(2)设tx2y，则直线x2yt0与圆(x2)2y21有公共点1.2t2.tmax2，tmin2.即x2y的最大值为2.最小值为2.(3)设k，则直线kxyk20与圆(x2)2y21有公共点，1.k.kmax，kmin.即的最大值为，最小值为.12(13分)已知圆C经过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程【解】(1)直线PQ的方程为：xy20，设圆心O(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是yx，即yx1，所以ba1.又由在y轴上截得的线段长为4，知(a1)2(b3)212a2.由得：a1.b0或a5，b4.当a1，b0时，r213满足题意当a5，b4时，r237不满足题意，故圆C的方程为(x1)2y213.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，mx1)，B(x2，mx2)，由题意可知OAOB，即kOAkOB1，1.整理得m2m(x1x2)2x1x20将yxm代入(x1)2y213可得2x22(m1)xm2120.x1x21m，x1x2，即m2m(1m)m2120.m4或m3，yx4或yx3.第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考情展望1.考查根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.考查通过数形结合思想，充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题.3.从考查形式上看，以选择题、填空题为主，属中档题一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法1几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相交；dr相切