中科大史济怀数学分析课件 71-72.pdf

118 第 7 章 函数的积分 第 7 章 函数的积分 7 1 积分的概念 7 1 积分的概念 几何背景 几何背景 设0f 是有限闭区间 a b上的连续函数 由 0 x a x b y 和 yf x 所围成的曲边梯形的面积S存在 如何计算S 解 解 1 将 a b分割成n个小闭区间 1 1 2 kkk Ixxkn 其中 012n axxxxb 记 1 1 max kk k n xx 2 对每个小闭区间 1 kk xx 任取 1 kkk xx 建立和式 1 1 n kkk k fxx 则 111 111 min max nnn kkkkkkkkk kkk f IxxSfxxf Ixx 3 0 0 成立 max min kk f If I b a 1 2 kn 于是 1 1 n kkk k fxxS 1 1 max min n kkkk k f If Ixx 这说明 1 0 1 lim n kkk k fxxS 物理背景 1 物理背景 1 设质点在直线上以速度 v t运动 如何计算在时刻a到时 刻b这段时间内该质点的位移L 解 解 1 将时间段 a b分割成n个小时间段 1 1 2 kkk Ittkn 其中 012n attttb 记 1 1 max kk k n tt 2 对每个小时间段 1 kk tt 任取 1 kkk tt 建立和式 1 1 n kkk k vtt 则 111 111 min max nnn kkkkkkkkk kkk v IttLvttv Itt 119 3 因为 v t是 a b上的连续函数 故0 0 成立 max min kk v Iv I b a 1 2 kn 于是 1 1 n kkk k vttL 1 1 max min n kkkk k v Iv Itt 这说明 1 0 1 lim n kkk k vttL 物理背景 2 物理背景 2 设质点在力 F x的作用下从直线上的a处移动到b处 则也可用类似的方法计算力 F x对该质点所做的功 物理背景 3 物理背景 3 对于一根以 x 为电荷密度的细直棒 也可用类似的方 法计算该细直棒所带的总电量 定义 7 1 定义 7 1 设f是有限闭区间 a b上的函数 1 将 a b分割成n个小闭区间 1 1 2 kk xxkn 其中 012n axxxxb 称 1 1 max kk k n xx 为 a b的分割 的模 2 对 每 个 小 闭 区 间 1 kk xx 任 取 1 kkk xx 建 立 和 式 1 1 n kkk k fxx 3 如果不论 如何分法 1 kkk xx 如何取法 总存在有限极限 1 0 1 lim n kkk k fxxI 则称f在 a b上 Riemann 可积 并称有限极限I为f在 a b上的 定 积分 记作 b a f x dx 称a为积分下限 b为积分上限 f x为被积函 数 f x dx为被积表达式 命题 定积分的基本性质 命题 定积分的基本性质 若函数 f g在有限闭区间 a b上可 积 c 是常数 则 120 1 b a cdxc ba 2 fg 在 a b上成立 bb aa f x dxg x dx 3 fg 也在 a b上可积 并且 bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx 线性性质 4 bb aa f x dxf t dt 定积分与积分变量无关 定理7 1 Newton Leibniz公式 定理7 1 Newton Leibniz公式 若 a b上的连续函数f有原函数F 则f在 a b上可积 并且 b b a a f x dxF xF bF a 直观证明 直观证明 如图所示 以 G x表示阴影部分的面积 则 0 lim h G xhG x f x h 这说明G是f在 a b上的一个原函数 故 F xG xcxa b 于是 b a f x dxG bG bG aF bF a 严格证明 严格证明 设 1 1 2 kk xxkn 是 a b的分割 其中 0 ax 1 x 2n xxb 由 Lagrange 中值定理 可取 1 kkk txx 使得 11 kkkkk F xF xf txx 1 2 kn 故 11 11 nn kkkkk kk f txxF xF x F bF a 0 0 1 kkk xx 都成立 kk ff t b a 1 2 kn 于是 1 1 n kkk k fxxF bF a 11 11 nn kkkkkk kk fxxf txx 11 11 nn kkkkkk kk ff txxxx ba 121 即 1 0 1 lim n b kkk a k f x dxfxxF bF a 注记 7 注记 7 1 以后会看到 a b上的连续函数一定是可积函数 任意区间 上的连续函数一定有原函数 定理 7 1 的推广 Newton Leibniz 公式 定理 7 1 的推广 Newton Leibniz 公式 若 a b上的可积函数f有原函 数 F则 b b a a f x dxF xF bF a 证 证 设 1 1 2 kk xxkn 是 a b的分割 其中 01 axx 2n xxb 由 Lagrange 中值定理 可取 1 kkk txx 使得 11 kkkkk F xF xf txx 1 2 kn 故 11 11 nn kkkkk kk f txxF xF x F bF a 于是 1 0 1 lim n b kkk a k f x dxf txxF bF a 练习题 7 1 练习题 7 1 258 P 1 1 3 4 2 5 6 1 2 7 2 5 8 问题 7 1 问题 7 1 260 P 1 122 7 2 可积函数的性质 7 2 可积函数的性质 定理 7 2 可积的必要条件 定理 7 2 可积的必要条件 若函数f在有限闭区间 a b上可积 则 它必在 a b上有界 证 证 反证法 假定f在 a b上可积 但f在 a b上无界 不妨设f 在 a b上无上界 对于 a b的任意分割 1 1 2 kk xxkn f 必在某个小闭区间 00 1 kk xx 上无上界 故只要让 k 10 kk xxkk 固定 让 000 1 kkk xx 变化使得 0 k f 足够大 便能得到 1 1 1 n kkk k fxx 这说明不可能存在有限极限 1 0 1 lim n kkk k fxx 从而与f在 a b 上可积相矛盾 定理 7 3 积分区间的可加性 定理 7 3 积分区间的可加性 设f是有限闭区间 a b上的函数 c a b 若f分别在 a c和 c b上可积 则f必在 a b上可积 反之 若f在 a b上可积 则f必在 a c和 c b上可积 此时有 bcb aac f x dxf x dxf x dx 证 证 有关可积性的结论易由 7 6的Lebesgue定理得到 对于 a b的 分割 其分点为 0101mn a xxxc yyyb 任取 1 kkk xx 1 2 km 1 kkk yy 1 2 kn 相应于分割 的和式便为 11 11 mn kkkkkk kk fxxfyy 故 11 0 11 lim mn b kkkkkk a kk f x dxfxxfyy cb ac f x dxf x dx 123 约定 约定 对于 a b上的可积函数f 约定 1 ab ba f x dxf x dx 2 0 a a f x dx 于是 a b 总成立 f x dxf x dxf x dx 定理 7 4定理 7 4 设f是有限闭区间 a b上的非负连续函数 那么 1 0f 0 b a f x dx 2 0f 0 b a f x dx 证 证 因为 1 和 2 是同一个结论 故只需证 1 假定 0 xa b 使得 0 0f x 则存在 0 a bx 使得 x 成立 000 11 22 f xf xf xf xf x 故 bb aa f x dxf x dxf x dxf x dx 00 11 0 0 0 22 f x dxf x 显然 定理 7 5 第一积分中值定理 定理 7 5 第一积分中值定理 设函数 f g在有限闭区间 a b上连续 若g在 a b上不改变符号 则必存在 a b 使得 bb aa f x g x dxfg x dx 作为推论 必存在 a b 使得 b a f x dxfba 证 证 不妨设0 0gg 故 0 b a g x dx 记min max mf a bMf a b 则当 xa b 时有 mf xM 1 bbb aaa mM g xf x g xg x g x dxg x dxg x dx 124 1 b b a a mf x g x dxM g x dx 当 1 b b a a mf x g x dxM g x dx 时 由连续函数的介值定理知 a b使得 1 b b a a ff x g x dx g x dx 当 1 b a b a g x dx f x g x dx m 或M 时 1 b a b a g x dx f xm g x dx 0 故 f gmg 或f gMg 定理 7 4 取 a b使得 0g 故 fm 或 fM 注记 7 注记 7 5 当g在 a b上不取零值时 第一积分中值定理可看作是 Cauchy 中值定理 其推论可看作是 Lagrange 中值定理 证 证 令H是f g在 a b上的原函数 G是g在 a b上的原函数 由 Cauchy