数学分析复旦第二版(陈传璋)ch 13-22.pdf

204 1o C 1 4 1 n 4 Y 1 8 1 y xn yn x0 y0 xn x0 yn y0 n y lim n Mn M0 K 0 N Z n N kr Mn M0 p xn x0 2 yn y0 2 u k xn x0 6 r Mn M0 yn y0 6 r Mn M0 xn x0 2 yn y0 2 0 6 p x n x0 2 yn y0 26 xn x0 yn y0 qxn x0 yn y0 n Kp xn x0 2 yn y0 2 0 n xn yn x0 y0 n 2 y e Mn K k 4 y lim n Mn M0 b qk lim n Mn M0 0 d 0 N Z n N kr Mn M0 2 r Mn M0 0 2 dn kr M0 M0 0 6 r Mn M0 r Mn M00 0 N Z n N kr Mn M0 K knk nK nN N g kr Mnk M0 1 Ed vy x2 2 Ed v1 6 x2 y2 4 4 3 Ed v0 x2 y2 1 4 Ed k x y x y kn 1 vy x2 x y E vy x2 x y E 2 v1 x2 y2 4 4 x y E S vx2 y2 4 4 x y E vx2 y2 4 1 x2 y2 4 4 x y E 3 v0 x2 y2 1 x y E 9 vx2 y2 1 x y E 4 dkn 9 n 5 k x y E 5 y eM0 8E K3E 3 Mn M0 n y M0 8E n 1 n 3O M0 1 3E M16 M0 3O M0 2 3E M2 M26 Mi i 6 0 1 Xd 1e Mn Mn6 Mi i 0 1 n 1 r M0 Mn 0 N Z n m N kr Mn M0 2 r Mm M0 2 205 d l n r Mm Mn 6 r Mn M0 r Mm M0 0 N Z n m N kr Mn Mm Mn O K I xn yn xm xn r Mm Mn ym yn r Mm Mn 0 y 6 1 2 v y 6 x 1 8 3 x y 0 0 x a y b x a 2 y b 26 0 k f x y A y30 x a x 3 y b x A 6 y lim x a x A u lim x a lim y b f x y lim x a x A lim y a x b f x y 4 1 g4 f 2 k g4 3 f 3 4 3 g4 3 f 1 f x y x y x y x y 6 0 0 x y 0 3 0 0 g4 lim x 0 lim y 0 f x y lim x 0 x x 1 lim y 0 lim x 0 f x y lim y 0 y y 1 Klim x 0 lim y 0 f x y 6 lim y 0 lim x 0 f x y 2 f x y xsin 1 x y x y 3 0 0 g4 lim y 0 lim x 0 f x y lim y 0 y y 1 lim x 0 lim y 0 f x y lim x 0 xsin 1 x x lim x 0 sin 1 x 3 3 f x y xsin 1 y y 6 0 0 y 0 3 0 0 g4 4 0 6 f x y xsin 1 y 6 x K lim x 0 y 0 f x y 0 4 3 lim y 0 lim x 0 f x y 0 y 0 xsin 1 y 4 3 lim x 0 lim y 0 f x y 3 5 e 3 0 0 g4 4 1 f x y x2y2 x2y2 x y 2 2 f x y x y sin 1 x sin 1 y 1 lim x 0 lim y 0 f x y 0 lim y 0 lim x 0 f x y 0 eUy kx 0 4 Kk lim y kx x 0 f x y lim x 0 x2k2 x2k2 1 k 2 AO O k 6 19k 1 B 4 091 d lim x 0 y 0 f x y 3 2 0 6 f x y 6 x y 6 x y K lim x 0 y 0 f x y 0 4 3 qlim y 0 x y sin 1 x sin 1 y 3 x 6 1 k k 1 2 lim x 0 x y sin 1 x sin 1 y 3 y 6 1 k k 1 2 lim x 0 lim y 0 f x y 9lim y 0 lim x 0 f x y 3 208 6 e Y 1 u 1 px2 y2 2 u ln 1 x2 y2 3 u 1 sinxsiny 4 u ln 1 x 1 a y b 2 z c 2 1 u 1 px2 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xy x y 4 u arctan y x 5 u x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 6 u e cos 1 zx 2x ln x2 y2 x2 x2 y2 zy 2x2y x2 y2 2 ux yexy uy xexy 3 zx y 1 y zy x y2 1 y2 4 ux y x2 y2 uy x x2 y2 5 ux 2 x y z uy 2 x y z uz 2 x y z 6 u e cos sin u e sin cos 2 f x y x2y2 2y fx x y fy x y fx 2 3 fy 0 0 fy x y x y y x fx x y 2xy2 fy x y 2x2y 2 fx 2 3 36 fy 0 0 2 fy x y x y y x 2xy2 2 3 z ln x y y x z x y z y 1 2 y z ln x y K z x 1 2 x x y z y 1 2 y x y u x z x y z y 1 2 4 e 3 x0 y0 1 u x4 y4 4x2y2 0 0 1 1 2 u x px2 y2 1 0 0 1 3 u xsin x y 0 0 4 4 4 u ln x y2 0 1 1 1 1 du 4x x2 2y2 dx 4y y2 2x2 dy K 3 0 0 du 0 3 1 1 du 4dx 4dy 2 du y2 x2 y2 3 2 dx xy x2 y2 3 2 dy K 3 1 0 du 0 3 0 1 du dx 3 du sin x y xcos x y dx xcos x y dy K 3 0 0 du 0 3 4 4 du dx 211 4 du dx x y2 2y x y2 dy K 3 0 1 du dx 2dy 3 1 1 du dx 2 dy 5 e 1 u sin x2 y2 2 u xm yn 3 u exy 4 u xy 5 u px2 y2 z2 6 u ln x2 y2 z2 1 du 2cos x2 y2 xdx y dy 2 du xm 1yn 1 my dx nxdy 3 du exy y dx xdy 4 du xy 1 y dx xlnxdy 5 du xdx y dy z dz px2 y2 z2 6 du 2 xdx y dy z dz x2 y2 z2 6 y f x y p xy 3 0 0 Y f x 0 0 fy 0 0 3 3 0 0 y d lim x 0 y 0 p xy 0 lim x 0 y 0 f x y 0 f 0 0 Kf x y 3 0 0 Y fx 0 0 lim x 0 f x 0 f 0 0 x 0 fy 0 0 lim y 0 f 0 y f 0 0 y 0 Kfx 0 0 fy 0 0 3 f x y p xy 3 0 0 e Kk f f x 0 0 x fy 0 0 y o f o P x y y x u0 k f p x y p x2 y2 1 26 0 0 g u b Kf x y 3 0 0 7 y f x y xy px2 y2 x2 y26 0 0 x2 y2 0 3 0 0 Y fx x y fy x y k 3 0 0 y du xy px2 y2 3 S7 Y Kf x y 3x2 y26 0 Y q0 xy px2 y2 xy px2 y2 6 px2 y2 2 f 0 0 0 K lim x 0 y 0 f x y f 0 0 u f x y 3 0 0 Y l f x y 3 0 0 S Y fx 0 0 lim x 0 f x 0 f 0 0 x 0 fy 0 0 lim y 0 f 0 y f 0 0 y 0 x2 y26 0 fx x y y3 x2 y2 3 2 fx x y y3 x2 y2 3 2 6 1 Kfx x y k n fy x y k f x y 3 0 0 e Kk f fx 0 0 x fy 0 0 y o f o P x y y x u0 k f x y x2 y2 p x2 y2 1 2 6 0 0 g u b Kf x y 3 0 0 212 8 f x y x2 y2 sin 1 x2 y2 x2 y26 0 0 x2 y2 0 y fx x y fy x y 3 Y 3 0 0 3 0 0 y x2 y26 0 fx x y 2xsin 1 x2 y2 2x x2 y2 cos 1 x2 y2 fx 0 0 lim x 0 f x 0 f 0 0 x 0 Kfx 0 0 3 3 1 2n 0 fx 1 2n 0 2 2n n fx x y 3 0 0 S K 3 0 0 Y u fx x y Y n fy x y 3 Y fy 0 0 0 3 0 0 q f fx 0 0 x fy 0 0 y p x2 y2sin 1 x2 y2 0 0 Kf x y 3 0 0 9 e p 1 u xsin x y y cos x y k 2 u 1 2 ln x2 y2 k 3 u xln xy 3u x2 y 4 u ln ax by cz 4u x4 4u x2 y2 5 u x x0 p y y0 q p qu xp yq 6 u x y zex y z p q ru xp yq zr 1 ux 1 y sin x y xcos x y uy y sin x y x 1 cos x y Kux2 2 y cos x y xsin x y uxy uyx 1 y cos x y x 1 sin x y uy2 y cos x y x 2 sin x y 2 ux x x2 y2 uy y x2 y2 Kux2 y2 x2 x2 y2 2 uxy uyx 2xy x2 y2 2 uy2 x2 y2 x2 y2 2 3 u y x y K 2u x y 1 y u 3u x2 y 0 4 u x a ax by cz u y b ax by cz 2u x2 a2 ax by cz 2 2u y2 b2 ax by cz 2 3u x3 2a3 ax by cz 3 3u x y2 2ab2 ax by cz 3 4u x4 6a4 ax by cz 4 4u x2 y2 6a2b2 ax by cz 4 5 qu yq q x x0 p K p qu xp yq p q p q g 6 p q ru xp yq zr p xp xe x q yq ye y r zr ze z ex y z x p y q z r 10 213 1 u x2 2xy 3y2 2 u xy 2 3 u arccos s x y y 2u x y 2u y x y 1 ux 2x 2y uy 2x 6y K 2u x y 2 2u y x 2 u 2u x y 2u y x 2 ux y2xy 2 1 u y 2yxy 2 lnx K 2u x y 2yxy 2 1 1 y2 lnx 2u y x 2yxy 2 1 1 y2 lnx u 2u x y 2u y x 3 0 x 6 y u arccos s x y arccos x y Kux 1 2px y x uy x 2y y x u 2u x y 1 4 x y x 3 2 2u y x 1 4 x y x 3 2 l 2u x y 2u y x n y y 6 x 0 u x z x y z y z px2 y2 9 y z x y x y x 216 vx2 2z x2 2xy 2z x y y2 2z y2 0 y z x y x y x 0 y x y x2 0 y x z y 0 y x 1 x 0 y x K 2z x2 y2 x3 00 2y x3 0 y2 x4 00 2z x y y x2 00 1 x2 0 y x3 00 2z y2 1 x 00 1 x2 00 u x2 2z x2 2xy 2z x y y2 2z y2 0 10 u x at x at g y 2u t2 a2 2u x2 y u x at x at g K u t a 0 0 u x 0 0 u 2u t2 a2 00 00 2u x2 00 00 l 2u t2 a2 2u x2 217 3 d 1 de z f x y 1 x y z ez 2 xyz x y z 1 ux 1 zx zxez Kzx 1 ez 1 u zx2 ez 1 ez 3 zy 1 ez 1 zy2 ez 1 ez 3 zxy zyx ez 1 ez 3 2 ux yz xyzx 1 zx Kzx yz 1 1 xy ux 2yzx xyzx2 zx2 Kzx2 2yzx 1 xy 2y yz 1 xy 1 2 zy xz 1 1 xy zy2 2x xz 1 xy 1 2 zxy zyx 2z xy 1 2 2 de 1 f x y y z z x 0 z x z y 2 z f xz z y dz 3 F x y y z z x 0 z x z y 4 F x x y x y z 0 z x z y 2z x2 1 ux z z x y f1 f2zx f3 zx 1 0 Kzx f1 f3 f2 f3 zy f1 f2 f2 f3 2 dz xdz z dx f1 dz dy f2 Kdz zf1dx f2dy 1 xf1 f2 3 ux z z x y F1 F2zx F3 zx 1 0 Kzx F1 F3 F2 F3 zy F2 F1 F2 F3 4 ux z z x y F1 F2 F3 1 zx 0 Kzx F1 F2 F3 F3 3 2 ux F11 F12 F13 1 zx F21 F22 F23 1 zx zx2F3 1 zx F13 F23 F33 1 zx 0 Kzx2 1 F3 3 F2 3 F11 2F12 F22 2F3 F1 F2 F13 F23 F33 F1 F2 2 zy F2 F3 F3 3 d z x y z z z x y 1 y 0 z 6 0 y z y z z x y z z x y dz dx z dy y 0 z dz q1 y 0 z 6 0 Kdz dx z dy 1 y 0 z u z y z 1 y 0 z z x 1 1 y 0 z l z y z z x 218 4 y d ax by cz x2 y2 z2 z z x y v cy bz z x az cx z y bx ay u u a b c y z z x y u u K adx bdy cdz 2 xdx y dy z dz 0 u z x 2x 0 a c 2z 0 z y 2y 0 b c 2z 0 l cy bz z x az cx z y bx ay 5 y d cx az cy bz 0 z z x y va z x b z y c y O ux y z z x y c 1 a 1zx b 2zx 0 a 1zy c 2 b 2zy 0 u z x c 1 a 1 b 2 z y c 2 a 1 b 2 l a z x b z y c 6 y d F x zy 1 y zx 1 0 z z x y vx z x y z y z xy y O ux y z z x y F1 1 zx y F2 zx x z x2 0 F1 zy y z y2 F2 1 zy x 0 u z x yzF2 x2yF1 x xF1 yF2 z y xzF1 xy2F2 y xF1 yF2 l x z x y z y z xy 7 e 1 x y z 0 x y z 1 dy dx dz dx d2y dx2 2 x y u v x y sinu sinv du dv 3 xu yv 0 yu xv 1 u x u y v x v y 2u x y 4 x cos cos y cos sin z sin z x z y 5 u f u x v y v g u x u2 y u x v x 1 x 1 dy dx dz dx 0 yz xz dy dx xy dz dx 0 dy dx y z x x y z dz dx z x y x y z 2 x d2y dx2 d2z dx2 0 z dy dx y dz dx z dy dx x dy dx dz dx xz d2y dx2 y dz dx x dy dx dz dx xy d2z dx2 0 d2y dx2 2z dy dx 2y dz dx 2x dy dx dz dx x y z dy dx dz dx d2y dx2 yz x y 2 x z 2 y z 2 x2 z y 3 219 2 U u v x y y sinu xsinv du dv dx dy sinudy y cosudu sinv dx xcosv dv Kdu 1 xcosv y cosu sinv xcosv dx sinu xcosv dy dv 1 xcosv y cosu sinv y cosu dx sinu y cosu dy 3 xdu y dv udx v dy y du xdv v dx udy u du 1 x2 y2 yv xu dx yu xv dy dv 1 x2 y2 yu xv dx yv xu dy K u x yv xu x2 y2 u y yu xv x2 y2 v x yu xv x2 y2 u x yv xu x2 y2 u 2u x y yux v xvx x2 y2 2x yu xv x2 y2 2 u x v x 2u x y 2 x2v y2v 2xyu x2 y2 2 4 dx y x 1 sin cos x cos sin x 0 sin sin x cos cos x K x cos sin x sin cos u z x z x cot cos x z n z y y z 5 x u x f1 u x f2 f3 v x v x g1 u x 1 2vyg2 v x K u x f2 1 2vyg2 g1f3 f1 1 2vyg2 1 g1f3 v x g1 f1 f2 1 f1 1 2vyg2 1 g1f3 8 x u v y u2 v2 z u3 v3 z x y z x z y x2 y 2uv Kz u v u2 uv v2 x 2 3y x2 u z x 3 2 y x2 z y 3 2 x 9 x rcos y rsin C dx dt y kx x2 y2 dy dt x ky x2 y2 4 I d x y t l4 IC r t x rcos y rsin t dx dt cos dr dt rsin d dt dy dt sin dr dt rcos d dt x y dx dt dy dt cos dr dt rsin d dt rsin krcos r2 sin dr dt rcos d dt rcos kr sin r2 u dr dt kr3 d dt 1 10 x eucos y eusin C 2z x2 2z y2 0 x eucos y eusin Ku ln x2 y2 arctan y x 220 K u x x x2 y2 u y y x2 y2 x y x2 y2 y x x2 y2 u u x y u y x q z x z u u x z x z y z u u y z y K 2z x2 2z u2 u x 2 2 2z u u x x 2z 2 x 2 z u 2u x2 z 2 x2 2z y2 2z u2 u y 2 2 2z u u y y 2z 2 y 2 z u 2u y2 z 2 y2 q 2u x2 x y y x y u y 2u y2 2 x2 2 y2 K 2 x2 2 y2 2u x2 2u y2 0 q u x 2 u y 2 x 2 y 2 u x x u y y K 2z x2 2z y2 e 2u 2z u2 2z 2 0 2z u2 2z 2 0 11 x rcos y rsin Kf x y r ur 5L 2f x2 2f y2 f x y r ur f x x r f y y r r f x cos f y sin r f x x f y y f x rsin f y rcos K 2 r2 2f x2 cos2 2f x y sin2 2f y2 sin2 2 2 r2 2f x2 sin2 2f x y sin2 2f y2 cos2 f x rcos f y rsin u 2 r2 1 r2 2 2 2f x2 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