厦门海金教育高三总复习提纲试题.pdf

厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555651 厦门海金教育高三总复习提纲试题厦门海金教育高三总复习提纲试题 一一 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 前言前言 基本概念 公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能 为此务必首先要掌握高中数学中的概念 公式 及基本解题方法 其次要熟悉一些基本题型 明确解题中的易误点 还应了解一些常用结论 最后还要掌握一些的应试技 巧 本资料对高中数学所涉及到的概念 公式 常见题型 常用方法和结论及解题中的易误点 按章节进行了系统的整 理 最后阐述了考试中的一些常用技巧 1 集合元素具有确定性 无序性和互异性 在求有关集合问题时 尤其要注意元素的互异性尤其要注意元素的互异性 典例典例 1 设 P Q 为两个非空实数集合 定义集合 P Q ab aP bQ 若 0 2 5 P 1 2 6 Q 则 P Q 中元素的有8个 2 设 Ux yxR yR 20 Ax yxym Bx yxyn 0 那么点 2 3 u PAC B 的充要条 件是1 5mn 3 非空集合 1 2 3 4 5 S 且满足 若aS 则6aS 这样的S共有7个 2 遇到AB 时 你是否注意到 极端 情况 A 或B 同样当AB 时 你是否忘记A 的情形 要注意 到 是任何集合的子集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集是任何非空集合的真子集 典例典例 集合 10 Ax ax 2 320Bx xx 且ABB 则实数a 12 0 1 3 对于含有n个元素的有限集合M 其子集 真子集 非空子集 非空真子集的个数依次为2n 21 n 21 n 22 n 典例典例 满足 1 2 1 2 3 4 5 M 集合 M 有7个 4 集合的运算性质 1 ABABA 2 ABBBA 3 AB uu AB 4 uu ABAB 5 uA BUAB U CAB UU C AC B UUU CABC AC B 典例典例 设全集 1 2 3 4 5 U 若 2 AB 4 U C AB 1 5 UU C AC B 则 A 2 3 B 2 4 5 研究集合问题 一定要理解集合的意义理解集合的意义 抓住集合的抓住集合的代表元素代表元素 如 lgx yx 表示函数的定义域 lgy yx 表 示函数的值域 lgx yyx 表示函数图象上的点集 典例典例 1 设集合 2 Mx yx 集合 N 2 y yxxM 则MN 4 2 设 1 2 3 4 Ma aR 2 3 4 5 Na aR 则MN 2 2 6 数轴和韦恩图是进行交 并 补运算的有力工具 在具体计算时不要忘了集合本身和空集计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况 补集补集 思想思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 典例典例 已知函数 22 42 2 21f xxpxpp 在区间 1 1 上至少存在一个实数c 使 0f c 求实数p的取值范 围 答 32 3 7 复合命题真假的判断 或命题或命题 的真假特点是 一真即真 要假全假 且命题且命题 的真假特点是 一假即假 要真 全真 非命题非命题 的真假特点是 真假相反 典例典例 在下列说法中 p且q 为真是 p或q 为真的充分不必要条件 p且q 为假是 p或q 为真的充分不必要条件 p或q 为真是 非p 为假的必要不充分条件 非p 为真是 p且q 为假的必要不充分条件 其中正确的是 8 8 四种命题及其相互关系四种命题及其相互关系 若原命题是 若 p 则 q 则逆命题为 若 q 则 p 否命题为 若 p 则 q 逆否命题 为 若 q 则 p 提醒提醒 1 1 互为逆否关系的命题是等价命题 即原命题与逆否命题同真 同假逆命题与否命题同真 同假 但原命题与逆命题 否命题都不等价 2 2 在写出一个含有 或 且 命题的否命题时 要注意 非或即且非或即且 非非 且即或且即或 3 3 要注意区别 否命题 与 命题的否定 否命题要对命题的条件和结论都否定 而命题的否定仅对命题 的结论否定 4 4 对于条件或结论是不等关系或否定式的命题 一般利用等价关系 ABBA 判断其真假 这 也是反证法的理论依据 5 5 哪些命题宜用反证法 典例典例 1 在 ABC 中 若 C 900 则 A B 都是锐角 的否命题为 答 在ABC 中 若90C 则 AB 不都是锐角 2 已知函数 2 1 1 x x f xaa x 证明方程 0f x 没有负数根 9 充要条件充要条件 关键是分清条件和结论 划主谓宾 由条件可推出结论 条件是结论成立的充分条件 由结论可推出条 件 则条件是结论成立的必要条件 从集合角度解释 若AB 则 A 是 B 的充分条件 若BA 则 A 是 B 的必要条件 若 A B 则 A 是 B 的充要条件 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555652 典例典例 1 给出下列命题 实数0a 是直线21axy 与223axy 平行的充要条件 若 0a bR ab 是abab 成立的充要条件 已知 x yR 若0 xy 则0 x 或0y 的逆否命题是 若0 x 或0y 则0 xy 若a和b都是偶数 则ab 是偶数 的否命题是假命题 其中正确命题的序号是 2 设命题p 43 1x 命题q 2 21 1 0 xaxa a 若 p是 q的必要而不充分的条件 则实数a的取值范围是 12 0 10 简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词 1 或 在数学中的含义是 至少有一个 有生活中 和 的意思 但后者只是前者的一层含义 且 在数学中的含义是 同时 相当于 和 的意思 非 在数学中的含义是 全盘否定 常见的逻辑否定形式如下表所示 正面词语 都是至少有 1 个至多有 1 个至少有 n 个全 否定词语 不都是一个也没有至少有 2 个至多有 n 1 个不全 2 复合命题真假判断 p或q记作 pq 有真则真 p且q记作 pq 有假则假 非p记作 p 与p真假互反 典例典例 判断命题真假 3 真命题 2 2 4 sin4 sin x x 真命题 3 全称量词与存在量词 全称量词 所有的 任意一个 一切 每一个 等短语 存在量词 存在一个 至少一个 有些 有一个 等短语 全称命题 pxM p x 则 00 pxp x 特称命题 00 pxM p x 则 pxp x 典例典例 已知命题 1 2 x 使 2 20 xxa 为真命题 则实数a取值范围是 8 2 命题 p方程 2 210 xmx 有两个不等正根 q方程 2 2 2 3100 xmxm 无实根 则使pq 为真命 题 pq 为假命题的实数m取值范围是 2 1 3 m 二二 函函数数 1 函数函数 f AB 的概念 理解注意 1 A B 都是非空数集 2 任意性 集合A中的任意一个元素x 3 唯一性 在集合 B中有唯一确定的数 f x和它对应 3 定不定 集合A一定是函数的定义域 集合B不一定是函数的值域 函数值域一定 是集合B的子集 典例典例 1 函数图像与直线 xm mR 至多有一个公共点 但与直线 yn nR 的公共点可能没有 也可能有任意 个 2 已知 1 Ax yyf x xFBx yx 则集合AB 中元素有 0 或 1个 3 若函数 2 1 24 2 yxx 的定义域 值域都是闭区间 2 2 b 则b 2 2 同一函数 函数三要素是 定义域 值域和对应法则 而值域可由定义域和对应法则唯一确定 因此当两个函数的定当两个函数的定 义域和对应法则相同时义域和对应法则相同时 它们一定为同一函数它们一定为同一函数 典例典例 若一系列函数的解析式相同 值域相同 但其定义域不同 则称这些函数为 孪生函数 那么解析式为 2 yx 值域为 4 1 的 孪生函数 共有9个 3 映射 f AB 的概念 理解注意理解注意 映射是函数概念的推广 表现在集合A B 可以为任意非空集合 不一定是表示数 可 以是其它人或事物本身 典例典例 1 设集合 1 0 1 1 2 3 4 5 MN 映射 f MN 满足条件 对任意的xM xf x 是奇数 这样的映射 f有12个 2 设 2 f xx 是集合A到集合B的映射 若 1 2 B 则AB 一定是 1 或 4 求函数定义域的常用方法 一切函数问题一切函数问题 定义域优先定义域优先 1 使函数的解析式有意义 解析式求定义域解析式求定义域解析式求定义域 n yu xn 为偶数 0u x 1 y u x 0u x 0 yu x 0u x logayx a R 1a 0 x tanyx 2 xkkZ 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555653 典例典例 1 函数 2 4 lg3 xx y x 的定义域是 0 2 2 3 3 4 2 若函数 2 7 43 kx y kxkx 的定义域为 R 则k 34 0 3 函数 f x定义域是 a b 且0ba 则函数 F xf xfx 定义域是 aa 4 设函数 2 lg 21 f xaxx 若 f x的定义域是 R 求实数a的取值范围 若 f x的值域是 R 求实数a的取值范 围 答 1a 01a 2 使实际问题有意义 实际问题有意义实际问题有意义实际问题有意义 三角形中 0A 最大角 3 最小角 3 距离或弧长或 面积或体积等 为正数年月日等为正整数 3 复合函数的定义域 简单函数定义域复合函数定义域求法备注 若已知 f x的定义域为 a b则 f g x的定义域由不等式 ag xb 解出解不等式 复合函数定义域简单函数定义域求法备注 若 f g x的定义域为 a b则 f x的定义域为 g x在 a b上的值域求值域法 典例典例 1 若函数 yf x 的定义域为 12 2 则 2 log fx的定义域为4 2 xx 2 若函数 2 1 f x 的定义域为 2 1 则函数 f x的定义域为 1 5 x 5 求函数值域 最值 的方法 1 配方法配方法 二次函数 二次函数在给出区间上的最值有两类 一是求闭区间 m n上的最值 二是求区间定 动 对称轴动 定 的最值问题 求二次函数的最值问题二次函数的最值问题 勿忘数形结合勿忘数形结合 注意 两看两看 一看开口方向 二看对称轴与所给区 间的相对位置关系 典例典例 1 函数 2 25 1 2 yxxx 的值域是 4 8 2 已知 2 4 1 3 f xaxaxx 在2x 时有最大值 则a 1 2 2 换元法换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 其函数特征是函数解析式含有根式 典例典例 1 2 2sin3cos1yxx 的值域为 178 4 2 211yxx 的值域为 3 令10 xt 注意注意 换元要等价换元要等价 3 sincossincosyxxxx 的值域为 12 1 2 4 sincos2sin txxx 4 2 49yxx 的值域为 1 3 24 令3cos x 3 函数有界性法函数有界性法 利用已学过函数的有界性 如三角函数的有界性 典例典例 函数 2sin1 1 sin y 3 1 3 x x y 2sin1 1cos y 值域分别是 312 2 0 1 4 单调性法单调性法 利用函数的单调性 典例典例 1 求 1 19 yxx x 2 2 9 1 sin sin x yx 5 3 2log1 x yx 的值域 为 8011 92 0 9 R 5 数形结合法数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离 直线斜率等 典例典例 1 若点 22 1 Px yxy 则 2 y x 及2yx 的取值范围 33 33 5 5 2 函数 22 2 8 yxx 的值域 10 3 函数 22 61345yxxxx 的值域 34 注意注意 异侧和最小 同侧差最大 6 判别式法判别式法 分式函数 分子或分母中有一个是二次 其定义域通常为R 典例典例 1 函数 2 2 1 x x y 的值域 1 1 2 若 2 3 2 8 log 1 mxxn y x 的定义域为 R 值域为 0 2 求常数 m n的值 答 5mn 7 不等式法不等式法 利用基本不等式2 abab a bR 求函数的最值或值域 其题型特征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时须要用到拆项 添项和平方等技 巧 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555654 典例典例 1 2 b y kx 型 可直接用不等式性质 如如函数 2 3 2 y x 的值域 32 0 2 2 xm xn y mxn 型 如如函数 2 1 1 xx y x 的值域 3 1 3 2 bx y xmxn 型 如如 函数 2 1 x y x 的值域 11 22 函数 2 3 x y x 的值域 12 0 4 设 12 x a ay成等差数列 12 x b b y成等比数列 则 2 12 1 2 aa bb 的取值范围是 0 4 8 导数法导数法 一般适用于高次多项式函数 典例典例 函数 32 2440f xxxx 3 3 x 的最小值是48 提醒提醒 1 写函数的定义域 值域时 你按要求写成集合形式了吗 2 函数的最值与值域之间有何关系 典例典例 函数3 13 yxx 且 xZ 的值域是 3 0 3 6 9 不要错觉为 3 9 6 分段函数的概念 分段函数是在其定义域的不同子集上 分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数 它是一类 较特殊的函数 在求分段函数的值求分段函数的值 0 f x时时 一定首先要判断一定首先要判断 0 x属于定义域的哪个子集属于定义域的哪个子集 然后再代相应的关系式然后再代相应的关系式 分段分段 函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集 典例典例 1 设函数 2 1 1 41 1 xx f x xx 则不等式 1f x 的解集为 2 0 10 2 已知 1 0 1 0 x f x x 则不等式 2 2 5xxf x 的解集是 32 7 求函数解析式的常用方法 1 待定系数法待定系数法 已知所求函数的类型 二次函数的表达形式有三种 一般式 2 f xaxbxc 顶点 式 2 f xa xmn 零点式 12 f xa xxxx 要会根据已知条件的特点 灵活地选用二次函数的表达形式 典例典例 若 f x为二次函数 且 2 2 f xfx 且 f 0 1 图象在 x 轴上截得的线段长为 22 求 f x的解析式 答 2 1 21 2 f xxx 2 代换代换 配凑配凑 法法 已知形如 f g x的表达式 求 f x的表达式 典例典例 1 已知 2 1 cos sin fxx 求 2 f x的解析式 答 242 2 2 2 f xxxx 这里需值得注意值得注意的是所求解析式的定义域的等价性 即 f x的定义域应是 g x的值域 2 若 2 2 11 f xx xx 则函数 1 f x 2 23xx 3 若 yf x xR 是奇函数 且 3 1 0 f xxxx 那么 0 x 时 f x 3 1 xx 3 方程的思想方程的思想 已知条件是含有 f x及另外一个函数的等式 可抓住等式的特征对等式的进行赋值 从而得到 关于 f x及另外一个函数的方程组 典例典例 1 已知 2 32f xfxx 求 f x的解析式 答 2 3 3 f xx 2 已知 f x是奇函数 g x是偶函数 且 f x g x 1 1x 则 f x 2 1 x x 8 函数的奇偶性函数的奇偶性 1 具有奇偶性的函数的定义域的特征定义域的特征 定义域必须关于原点对称定义域必须关于原点对称 为此确定函数的奇偶性时 务必先判定函数定 义域是否关于原点对称 典例典例 若 f x2sin 3 25 3 xx 为奇函数 其中 0 2 则 值是 0 2 确定函数奇偶性的常用方法 若函数解析式较为复杂 应先化简 再判断其奇偶性 定义法 典例典例 1 判断函数 2 4 4 9 x y x 的奇偶性 奇函数 2 判断函数 44 sincos2cosf xxxx 的奇偶性既是奇函数又是偶函数 利用函数奇偶性定义的等价形式 0f xfx 或 1 fx f x 0f x 典例典例 判断 11 212 x f xx 的奇偶性偶函数 图像法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555655 典例典例 判断 1 0 1 0 xx f x xx 的奇偶性奇函数 3 函数奇偶性的性质 奇 偶偶 函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 反反 若 f x为偶函数 则 fxf xfx 典例典例 若偶函数 f x xR 在 0 上单调递减 且 1 3 f 2 则不等式 1 8 log 2fx 的解集为 12 0 2 若奇函数 f x定义域中含有 0 则必有 0 0f 故 0 0f 是 f x为奇函数的既不充分也不必要条件 典例典例 若 22 21 x x aa f x 为奇函数 则实数a 1 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成 一个奇函数与一个偶函数的和 或差 典例典例 设 f x是定义域为 R 的任一函数 2 f xfx F x 2 f xfx G x 判断 F x与 G x的奇偶性 答案答案 F xG x为偶函数 为奇函数 若将函数 lg 101 x f x 表示成一个奇函数 g x和一个偶函数 h x之和 则 g x 2 x 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶内偶则偶 内奇同外内奇同外 既奇又偶函数有无穷多个 0f x 定义域是关于原点对称的任意一个数集 9 函数的单调性函数的单调性 1 确定函数的单调性或单调区间的常用方法 在解答题中常用 定义法 取值 作差 变形 定号 导数法 在区间 a b内 若总有 0fx 则 f x为增函 数 反之 若 f x在区间 a b内为增函数 则 0fx 请注意两者的区别注意两者的区别所在 典例典例 已知函数 3 f xxax 在区间 1 上是增函数 则a的取值范围是 3 在小题中还可用数形结合法 特殊值法等等 特别要注意双勾函数特别要注意双勾函数 b yaxa bR x 图象和单调性在解题中的运用 增区间为 bb aa 减区间为 0 b a 和 0 ba 典例典例 1 若函数 2 2 1 2f xxax 在 4 上是减函数 则a取值范围是3a 2 已知函数 1 2 ax f x x 在区间 2 上为增函数 则实数a的取值范围 12 3 若函数 log 4 0 1 a x a f xxaa 且的值域为 R 则a的取值范围是041aa 且 复合函数法 复合函数单调性的特点是同增异减同增异减 典例典例 函数 2 0 5 log 2 yxx 的单调递增区间是 1 2 特别提醒特别提醒 求单调区间时 第一 勿忘定义域 典例典例 若 2 log 3 a f xxax 在区间 2 a 上为减函数 则a的取值范围 1 2 3 第二 在多个单调区间之间不一定能添加符号 和 或 第三 单调区间应该用区间表示 不能用集合或不等式表示 第四 你注意到函数单调性与奇偶性的逆用单调性与奇偶性的逆用了吗 比较大小 解不等式 求参数范围 典例典例 已知奇函数 f x是定 义在 2 2 上的减函数 若 1 21 0f mfm 求实数m的取值范围 答 12 23 m 10 常见的图象变换常见的图象变换 yf xa 0 a 的图象是把函数 yf x 图象沿x轴向左平移a个单位得到的 典例典例 设 2 x f xg x 的图像与 f x的图像关于直线yx 对称 h x的图像由 g x的图像向右平移 1 个单位得 到 则 h x为 2 log 1 h xx yf xa 0 a 的图象是把函数 yf x 图象沿x轴向右平移a个单位得到的 典例典例 1 若 2 199 443f xxx 则函数 f x的最小值为2 2 要得到lg 3 yx 的图像 需作lgyx 关于 y 轴对称图像 再向右平移 3 个单位而得到 3 函数 lg 2 1f xxx 的图象与x轴的交点个数有2个 函数 yf x a 0 a 图象是把函数 yf x 的图象沿y轴向上平移a个单位得到的 函数 yf x a 0 a 图象是把函数 yf x 的图象沿y轴向下平移a个单位得到的 典例典例 将函数 b ya xa 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位 所得图象如果与原图象关于直线yx 对称 那么 C 1 0Aab 1 BabR 1 0Cab 0 DabR 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555656 函数 yf ax 0 a 的图象是把函数 yf x 的图象沿x轴伸缩为原来的 1 a 得到的 典例典例 1 将函数 yf x 的图像上所有点的横坐标变为原来的 1 3 纵坐标不变 再将此图像沿x轴方向向左平移 2 个单 位 所得图像对应的函数为 36 yfx 2 如若函数 21 yfx 是偶函数 则函数 2 yfx 的对称轴方程是 12 x 函数 yaf x 0 a 图象是把函数 yf x 图象上各点纵坐标变为原来的a倍得到的 11 函数的对称性函数的对称性 满足条件 f xaf bx 的函数的图象关于直线 2 ab x 对称 典例典例 若 2 0 yaxbx a 满足 5 3 fxf x 且方程 f xx 有等根 则 f x 2 1 2x x 点 x y关于y轴对称点为 x y 函数 yf x 关于y轴的对称曲线方程为 yfx 点 x y关于x轴对称点为 xy 函数 yf x 关于x轴的对称曲线方程为 yf x 点 x y关于原点对称点为 xy 函数 yf x 关于原点对称曲线方程为 yfx 点 x y关于直线yxa 的对称点为 yaxa 曲线 0f x y 关于直线yxa 的对称曲线的方程为 0fyaxa 特别地 点 x y关于直线yx 的对称点为 y x 曲线 0f x y 关于直线yx 的对称曲线的方程为 0f y x 点 x y关于直线yx 的对称点为 yx 曲线 0f x y 关于直线yx 的对称曲线的方程为 0fyx 典例典例 己知函数 33 232 x f xx x 若 1 yf x 的图像是 1 C 它关于直线yx 对称图像是 22 C C关于原点对称 的图像为 33 CC则对应的函数解析式是 2 21 x y x 曲线 0f x y 关于点 a b的对称曲线的方程为 2 2 0faxby 典例典例 若函数 2 yxx 与 yg x 的图象关于点 2 3 对称 则 g x 2 76xx 形如 0 axb ycadbc cxd 的图像是双曲线 其两渐近线分别直线 d x c 由分母为零确定 和直线 a y c 由 分子 分母中x的系数确定 对称中心是点 d a c c 典例典例 已知函数图象 C 与 2 1 1C y xaaxa 关于直线yx 对称 且图象 C 关于点 2 3 对称 则 a 的值为 2 f x的图象先保留 f x原来在x轴上方的图象 作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形 然后擦去x轴下方 的图象得到 fx的图象先保留 f x在y轴右方的图象 擦去y轴左方的图象 然后作出y轴右方的图象关于y轴的 对称图形得到 典例典例 1 作出函数 2 log 1 yx 及 2 log 1 yx 的图象 2 若函数 f x是定义在 R 上的奇函数 则函数 F xf xf x 的图象关于y轴对称 提醒提醒 1 从结论 可看出 求对称曲线方程的问题 实质上是利用代入法转化为求点的对称问题 2 证 明函数图像的对称性 即证明图像上任一点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在图像上 3 证明图像 1 C与 2 C的对称 性 需证两方面需证两方面 证明 1 C上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在 2 C上 证明 2 C上任意点关于对称中心 对 称轴 的对称点仍在 1 C上 典例典例 1 已知函数 1 xa f xaR ax 求证 函数 f x的图像关于点 1 M a 成中心对称图形 2 设曲线 C 的方程是 3 yxx 将 C 沿x轴 y轴正方向分别平行移动 t s单位长度后得曲线 1 C 写出曲线 1 C的方程 答 3 yxtxts 证明曲线 C 与 1 C关于点 2 2 t s A对称 12 函数的周期性函数的周期性 1 类比类比 三角函数图像三角函数图像 得得 若 yf x 图像有两条对称轴 xa xb ab 则 yf x 必是周期函数 且一周期为2 Tab 若 yf x 图像有两个对称中心 0 0 A aB bab 则 yf x 是周期函数 且一周期为2 Tab 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555657 如果函数 yf x 的图像有一个对称中心 0 A a和一条对称轴 xb ab 则函数 yf x 必是周期函数 且一 周期为4 Tab 典例典例 1 已知定义在R上的函数 f x是以 2 为周期的奇函数 则方程 0f x 在 2 2 上至少有5个实数根 2 由周期函数的定义由周期函数的定义 函数 f x满足 f xf ax 0 a 则 f x是周期为a的周期函数 得得 函数 f x满足 f xf ax 则 f x是周期为 2a的周期函数 若 1 0 f xaa f x 恒成立 则2Ta 若 1 0 f xaa f x 恒成立 则2Ta 若 1 0 1 f x f xaa f x 恒成立 则4Ta 类比 1tan tan 41tan x x x 记忆 典例典例 1 设 f x是R上的奇函数 2 f xf x 当01x 时 f xx 则 47 5 f 0 5 2 定义在R上的偶函数 f x满足 2 f xf x 且在 3 2 上是减函数 若 是锐角三角形的两个内角 则 sin cos ff 的大小关系为 sin cos ff 3 已知 f x是偶函数 且 1 g 993 g x 1 f x 是奇函数 求 2012 f的值 答 993 4 设 211 f xf xf xxR 又 222f 则 2012f 12 2 13 指数式指数式 对数式对数式 m mn n aa 1 m n m n a a 0 1 0 aa log 10 a log1 aa lg2lg51 logln ex x log 0 1 0 b a aNNb aaN logaN aN log log log c a c b b a loglog m n a a n bb m 典例典例 1 235 log 25 log 4 log 9 的值为8 2 2 log81 2 的值为 1 64 3 已知函数 1 log 2 n f nnnN 定义使 1 2 fff k 为整数的数 k kN 叫做企盼数 则在区间 1 2012 内 这样的企盼数共有9个 14 指数指数 对数值的大小比较对数值的大小比较 1 化同底后利用函数的单调性 2 作差或作商法 3 利用中间量 0 或 1 4 化同指数 或同真数 后利用图象比较 15 函数的应用函数的应用 1 求解数学应用题的一般步骤 审题 认真读题 确切理解题意 明确问题的实际背景 寻找各量之间的内存联 系 建模 通过抽象概括 将实际问题转化为相应的数学问题 别忘了注上符合实际意义的定义域别忘了注上符合实际意义的定义域 解模 求解所得 的数学问题 回归 将所解得的数学结果 回归到实际问题中去 2 常见的函数模型有 建立一次函数或二次函数 模型 建立分段函数模型 建立指数函数模型 建立双勾函数 b yaxa bR x 型 典例典例 某旅店有客床100张 各床每天收费10元时可全部额满 若每床每天收费每提高2元 则减少10张客床租出 这样 为了减少投入多获利 每床每天收费应提高 B A 2 元B4 元C6 元D8 元 16 16 抽象函数抽象函数 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式 只给出了其它一些条件 如函数的定义域 单调性 奇偶性 解析递推式等 的函数问题 求解抽象函数问题的常用方法是 1 借鉴模特函数进行类比探究借鉴模特函数进行类比探究 几类常见的抽象函数 正比例函数型 0 f xkx k f xyf xf y 幂函数型 2 f xx f xyf x f y xf x f yf y 指数函数型 x f xa f xyf x f y f x f xy f y 对数函数型 logaf xx f xyf xf y x ff xf y y 三角函数型 tanf xx 1 f xf y f xy f x f y 典例典例 若 f x是 R 上的奇函数 且为周期函数 若它的周期为 T 则 2 T f 0 2 利用函数的性质利用函数的性质 如奇偶性如奇偶性 单调性单调性 周期性周期性 对称性等对称性等 进行演绎探究进行演绎探究 典例典例 1 设函数 f x xN 表示x除以 3 的余数 则对任意的 x yN 都有 A 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555658 A 3 f xf x B f xyf xf y C 3 3 fxf x D f xyf x f y 2 设 2 1 f xf xf x xR 若 3 1 lg 2 f 2 lg15f 求 2012 f 答 1 3 设 f x xR 是奇函数 且 2 f xf x 证明 直线1x 是 f x图象的一条对称轴 4 已知定义域为R的函数 f x满足 4 fxf x 且当2x 时 f x单调递增 如果 12 4xx 且 12 2 2 0 xx 则 12 f xf x 的值的符号是负 3 利用一些方法利用一些方法 如赋值法如赋值法 令令x 0 0 或或 1 1 求出求出 0 f或或 1 f 令令yx 或或yx 等等 递推法递推法 反证法等反证法等 进行进行 逻辑探究逻辑探究 典例典例 1 若xR f x满足 f xyf x f y 则 f x的奇偶性是 奇函数 2 若xR f x满足 f xyf x f y 则 f x的奇偶性是 偶函数 3 已知 f x是定义在 3 3 上的奇函数 当03x 时 f x的 图像如右图所示 那么不等式 cos0f xx 的解集是 1 0 1 3 22 4 设 f x的定义域为R 对任意 x yR 都有 x ff xf y y 且1x 时 0f x 又 1 1 2 f 求证 f x为减函数 解不等式2 5 f xfx 答 0 1 4 5 三三 导数导数 1 导数的背景导数的背景 1 切线的斜率 2 瞬时速度 典例典例 一物体的运动方程是 2 1stt 其中s的单位是米 t的单位是秒 那么物体在3t 时的瞬时速度为5 米 秒 2 导函数的概念导函数的概念 如果函数 f x在开区间 a b内可导 对于开区间 a b内的每一个 0 x 都对应着一个导数 0 f x 这样 f x在开区间 a b内构成一个新的函数 这一新的函数叫做 f x在开区间 a b内的导函数 记作 00 limlim xx f xxf xy fxy xx 简称导数 3 求求 yf x 在在 0 x处 的 导 数 的 步 骤处 的 导 数 的 步 骤 1 求 函 数 的 改 变 量 00 yf xxf x 2 求 平 均 变 化 率 00 f xxf xy xx 3 取极限 得导数 0 0 lim x y fx x 4 导数的几何意义导数的几何意义 函数 f x在点 0 x处的导数的几何意义 就是曲线 yf x 在点 0 0 P x f x处的切线的斜率 即 曲线 yf x 在点 0 0 P x f x处的切线的斜率是 0 fx 相应地切线的方程是 000 yyfxxx 特别提醒特别提醒 1 在求曲线的切线方程时 要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线区分所求切线是曲线上某点处的切线 还是过某点的切线还是过某点的切线 曲线上 某点处的切线只有一条 而过某点的切线不一定只有一条 即使此点在曲线上也不一定只有一条 2 在求过某一点的切 线方程时 要首先判断此点是在曲线上 还是不在曲线上 只有当此点在曲线上时 此点处的切线的斜率才是 0 fx 典例典例 1 P在曲线 3 2 3 yxx 上移动 在点P处的切线的倾斜 角为 则 3 0 24 2 直线31yx 是曲线 3 yxa 的一条切线 则实数a的值为 3 或 1 3 若函数 32 1 2 2 f xxxm m为常数 图象上A处的切线与30 xy 的夹角为 4 则A点的横坐标为 16 0或 数形结合 可知切线的倾斜角只能为 0 或 900 舍去 4 曲线 3 1yxx 在点 1 3 处的切线方程是410 xy 5 已知函数 32 2 4 3 f xxaxx 又 yfx 的图象与x轴交于 0 2 0 0kkk 求a的值 求过点 0 0 的曲线 yf x 的切线方程 答 1 4yx 或 35 8 yx 5 导数的公式导数的公式 法则法则 1 常数函数的导数为 0 即0C C为常数 2 1nn xnxnQ 与此有关的常用结论 1 1 2 2 111 2 xxx xxx 3 1 1 ln sin cos cos sin ln ln log xxxx x axa xxxx eeaaaxx y xO 12 3 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555659 4 f xg xfxg x C f xCfx 2 0 f x g x fx g xg x f x g x gx 典例典例 1 已知函数 m n f xmx 的导数为 3 8fxx 则 n m 1 4 2 函数 2 1 1 yxx 的导数为 2 321yxx 3 若对任意xR 3 4 1 1fxxf 则 f x是 4 2f xx 6 6 多项式函数的单调性多项式函数的单调性 1 多项式函数的导数与函数的单调性多项式函数的导数与函数的单调性 若 0fx 则 f x为增函数 若 0fx 则 f x为减函数 若 0fx 恒成立 则 f x为常数函数 若 fx 的 符号不确定 则 f x不是单调函数 若函数 yf x 在区间 a b上单调递增 则 0fx 反之等号不成立反之等号不成立 若函数 yf x 在区间 a b上单调递减 则 0fx 反之等号不成立反之等号不成立 典例典例 1 函数 32 f xxaxbxc a b cR 当 2 30ab 时 f x的单调性是 增函数 2 设0a 函数 3 f xxax 在 1 上单调函数 则实数a的取值范围03a 3 已知函数 3 f xxbx b 为常数 在区间 0 1 上单调递增 且方程 0f x 的根都在区间 2 2 内 则b的取值范围 是 3 4 4 已知 2 1f xx 42 22g xxx 设 xg xf x 试问是否存在实数 使 x 在 1 上是减函数 并且 在 1 0 上是增函数 答 4 2 利用导数求函数单调区间的步骤利用导数求函数单调区间的步骤 1 求 fx 2 求方程 0fx 的根 设根为 12 n x xx 3 12 n x xx 将给 定区间分成 n 1 个子区间 再在每一个子区间内判断 fx 的符号 由此确定每一子区间的单调性 典例典例 设函数 32 f xaxbxcx 在1 1x 处有极值 且 2 2f 求 f x的单调区间 答 递增区间 1 1 递 减区间 1 1 7 7 函数的极值函数的极值 1 定义定义 设函数 f x在点 0 x附近有定义 如果对 0 x附近所有的点 都有 0 f xf x 就说是 0 f x函数 f x的一个 极大值 记作y极大值 0 f x 如果对 0 x附近所有的点 都有 0 f xf x 就说是 0 f x函数 f x的一个极小值 记作y极小值 0 f x 极大值和极小值统称为极值 2 求函数求函数 yf x 在某个区间上的极值的步骤在某个区间上的极值的步骤 i 求导数 fx ii 求方程 0fx 的根 0 x iii 检查 fx 在方程 0fx 的根 0 x的左右的符号 左正右负 f x在 0 x处取极大值 左负右正 f x在 0 x处取极小值 特别提醒特别提醒 1 0 x是极值点的充要条件是 0 x点两侧导数异号 而不仅是 0 fx 0 0 fx 0 是 0 x为极值点的必 要而不充分条件 2 给出函数极大 小 值的条件 一定要既考虑 0 0fx 又要考虑检验 左正右负 左负右正 的转化 否则条件没有用完 这一点一定要切记 典例典例 1 函数 23 1 1yx 的极值点是 C A 极大值点1x B 极大值点0 x C 极小值点0 x D 极小值点1x 2 函数 322 1f xxaxbxax 在处有极小值 10 则 a b 的值为 7 3 已知 32 f xxbxcxd 在区间 1 2 上是减函数 那么 b c 有最 大 值 15 2 特别小结特别小结 三次函数三次函数 32 0 f xaxbxcxd a 的极值情况的极值情况 记其导函数 2 320fxaxbxc 的判别式为 2 412bac 其图象对称轴为 3 b x a 则 1 若 2 4120bac 时 三次函数 f x无极值 当0a 时 0fx f x在定义域上递增 当0a 时 0fx f x在定义域上递减 2 若 2 4120bac 时 记 0fx 的两根为 12 xx 则三次函数 f x有极值 且 当0a 时 12 f xf xf xf x 极大值极小值 简称为左大右小 当0a 时 12 f xf xf xf x 极小值极在值 简称为左小右大 综上 三次函数 32 0 f xaxbxcxd a 有极值的充要条件为有极值的充要条件为 2 4120bac 3 三次函数 32 0 f xaxbxcxd a 都有对称中心都有对称中心 其坐标为其坐标为 33 bb f aa 典例典例 已知函数 32 6 1f xxaxax 有极值 则实数a的取值范围是63aa 或 8 8 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 1 1 定义定义 函数 f x在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的 最大值 函数 f x在一闭 区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的 最小值 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556510 OR 1rad R 2 2 求函数求函数 yf x 在在 a b 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤 1 求函数 yf x 在 a b内的极值 极大值或极小值 2 将 yf x 的各极值与 f a f b比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 典例典例 1 函数 32 23125yxxx 在 0 3 上的最大值 最小值分别是5 15 2 用总长 14 8m 的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0 5m 那么高为多少时 容器的容积最大 并求出它的最大容积 答 高为 1 2 米时 容积最大为 3 9 5 cm 特别注意特别注意 1 利用导数研究函数的单调性与最值 极值 时 要注意列表 2 要善于应用函数的导数 考察函数单调性 最值 极值 研究函数的性态 数形结合解决方程不等式等相关问题 典例典例 1 fx 是 f x的导函数 fx 的图象如下图所示 则 f x的图象只可能是 D 2 图形 M 如图所示 是由底为 1 高为 1 的等腰三角形及 高为 2 和 3 的两个矩形所构成 函数 S S a a 0 是图形 M 介于平行线 y 0 及 y a 之间的那一部分面积 则函数 S a 的图象大致是 C 3 方程 32 69100 xxx 的实根的个数为1 4 已知函数 32 f xxaxx 抛物线 2 C xy 当 1 2 x 时 函数 f x的图象在抛物线 2 C xy 的上方 求a的取值范 围 答 1a 5 求证 1 ln1 0 x xxx x 构造函数法 四四 三角函数三角函数 1 角的概念的推广角的概念的推广 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形 按逆时针方向旋转所形成的 角叫正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角 一条射线没有作任何旋转时 称它形成一个零角 射线的起始位置称为 始边 终止位置称为终边 2 象限角的概念象限角的概念 在直角坐标系中 使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限的角 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何象限 3 弧度制弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 1 rad 0 180 57 3 0 10 01745 180 rad 弧长公式 lR 扇形面积公式 2 11 22 SlRR 典例典例 已知扇形AOB的周长是 6cm 该扇形的中心角是 1 弧度 求该扇形的面积 答 2 2 cm 4 终边相同的角的表示终边相同的角的表示 1 终边与 终边相同 的终边在 终边所在射线上 2 kk Z 注意注意 相等的角的终边一定相同 终 边相同的角不一定相等 典例典例 与角1825 的终边相同 且绝对值最小的角的度数是25 合 5 36 弧度 2 终边在坐标轴上的角可表示为 2 k kZ 典例典例 的终边与 6 的终边关于直线yx 对称 则 2 3 kkZ 3 各种角的集合表示 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556511 x y T AM P O 名称角度表示形式 kZ 弧度表示形式 kZ 第一象限角 360 36090kk 2 2 2 kk 第二象限角 36090 360180kk 2 2 2 kk 第三象限角 360180 360270kk 3 2 2 2 kk 第四象限角 360270 360360kk 3 2 22 2 kk 终边落在 x 轴上 180 kkZ kkZ 终边落在 y 轴上 18090 kkZ 2 kkZ 终边落在 y x 轴上 18045 kkZ 4 kkZ 终边落在 y x 轴上 180135 kkZ 3 4 kkZ 判断一个角的终边在哪个象限 是第几象限角 是解决后面一系列问题的基础 那么我们是如何判定 通常是把 一个绝对值很大的角 化成2 kk Z 0 2 或者是化成 360 0 360kkZ 这样只要判定 是第几象限角就可以了 典例典例 1 29 10 33 因为 3 是第一象限角 所以 29 3 的终边也在第一象限 2 7902 36070 因为70 是第一象限角 所以790 的终边也在第一象限 5 与与 2 的终边关系的终边关系 由 两等分各象限 一二三四 确定 如图 若角 终边在第一 二 三 四 象限 则角 2 的终边位于 右图中标有数字 1 2 3 4 区域 这个方法叫做等分象限法 典例典例 若 是第二象限角 则 2 是第一 三象限角 6 任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义 设 是任