高考数学复习资料 探索性问题.pdf

Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 难点 40 探索性问题 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径 解决非传统完备问题的能力 是命题 者根据学科特点 将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的 要求考生自己观察 分 析 创造性地运用所学知识和方法解决问题 难点磁场 1 已知三个向量 a b c 其中每两个之间的夹角为 120 若 a 3 b 2 c 1 则 a 用 b c 表示为 2 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为 1 p 且各引擎是否有故障是 独立的 如有至少 50 的引擎能正常运行 飞机就可成功飞行 则对于多大的 p 而言 4 引 擎飞机比 2 引擎飞机更为安全 案例探究 例 1 已知函数 1 2 ax cbx xf a c R a 0 b 是自然数 是奇函数 f x 有最大值 2 1 且 f 1 5 2 1 求函数 f x 的解析式 2 是否存在直线 l 与 y f x 的图象交于 P Q 两点 并且使得 P Q 两点关于点 1 0 对称 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 说明理由 命题意图 本题考查待定系数法求函数解析式 最值问题 直线方程及综合分析问题的 能力 属 级题目 知识依托 函数的奇偶性 重要不等式求最值 方程与不等式的解法 对称问题 错解分析 不能把 a 与 b 间的等量关系与不等关系联立求 b 忽视 b 为自然数而导致求 不出 b 的具体值 P Q 两点的坐标关系列不出解 技巧与方法 充分利用题设条件是解题关键 本题是存在型探索题目 注意在假设存在 的条件下推理创新 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定的结论 并加以论证 解 1 f x 是奇函数 f x f x 即 11 22 ax cbx ax cbx bx c bx c c 0 f x 1 2 ax bx 由 a 0 b 是自然数得当 x 0 时 f x 0 当 x 0 时 f x 0 f x 的最大值在 x 0 时取得 x 0 时 2 2 1 1 1 b a bx x b a xf 当且仅当 bx x b a1 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 即 a x 1 时 f x 有最大值 2 1 2 1 2 b a 2 b a 1 a b2 又 f 1 5 2 1 a b 5 2 5b 2a 2 把 代入 得 2b2 5b 2 0 解得 2 1 b 2 又 b N b 1 a 1 f x 1 2 x x 2 设存在直线 l 与 y f x 的图象交于 P Q 两点 且 P Q 关于点 1 0 对称 P x0 y0 则 Q 2 x0 y0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 2 2 1 y x x y x x 消去 y0 得 x02 2x0 1 0 解之 得 x0 1 2 P 点坐标为 4 2 21 或 4 2 21 进而相应 Q 点坐标为 Q 4 2 21 或 Q 4 2 21 过 P Q 的直线 l 的方程 x 4y 1 0 即为所求 例 2 如图 三条直线 a b c 两两平行 直线 a b 间的距离为 p 直线 b c 间的距离为 2 p A B 为直线 a 上两定点 且 AB 2p MN 是在直线 b 上滑动的长度为 2p 的线段 1 建立适当的平面直角坐标系 求 AMN 的外心 C 的轨迹 E 2 接上问 当 AMN 的外心 C 在 E 上什么位置时 d BC 最小 最小值是多少 其中 d 是外心 C 到直线 c 的距离 命题意图 本题考查轨迹方程的求法 抛物线的性质 数形结合思想及分析 探索问题 综合解题的能力 属 级题目 知识依托 求曲线的方程 抛物线及其性质 直线的方程 错解分析 建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键 如何建系是难点 第二问中 确定 C 点位置需要一番分析 技巧与方法 本题主要运用抛物线的性质 寻求点 C 所在位置 然后加以论证和计算 得出正确结论 是条件探索型题目 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 解 1 以直线 b 为 x 轴 以过 A 点且与 b 直线垂直的直线为 y 轴建立直角坐标系 设 AMN 的外心为 C x y 则有 A 0 p M x p 0 N x p 0 由题意 有 CA CM 2222 ypxxpyx 化简 得 x2 2py 它是以原点为顶点 y 轴为对称轴 开口向上的抛物线 2 由 1 得 直线 C 恰为轨迹 E 的准线 由抛物线的定义知 d CF 其中 F 0 2 p 是抛物线的焦点 d BC CF BC 由两点间直线段最短知 线段 BF 与轨迹 E 的交点即为所求的点 直线 BF 的方程为pxy 2 1 4 1 联立方程组 pyx pxy 2 2 1 4 1 2 得 16 179 171 4 1 py px 即 C 点坐标为 pp 16 179 4 171 此时 d BC 的最小值为 BF p 2 17 锦囊妙计 如果把一个数学问题看作是由条件 依据 方法和结论四个要素组成的一个系统 那么 把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题 条件不完备和结论不确定是探 索性问题的基本特征 解决探索性问题 对观察 联想 类比 猜测 抽象 概括诸方面有较高要求 高考题 中一般对这类问题有如下方法 1 直接求解 2 观察 猜测 证明 3 赋值推断 4 数形结合 5 联想类比 6 特殊 一般 特殊 歼灭难点训练 一 选择题 1 已知直线 l 平面 直线 m 平面 有下面四个命题 其中正确命 题是 l m l m l m l m A 与 B 与 C 与 D 与 2 某邮局只有 0 60 元 0 80 元 1 10 元的三种邮票 现有邮资为 7 50 元的 邮件一件 为使粘贴邮票的张数最少 且资费恰为 7 50 元 则最少要购买邮票 A 7 张 B 8 张 C 9 张 D 10 张 二 填空题 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 3 观察 sin220 cos 250 sin20 cos50 4 3 sin215 cos245 sin15 cos45 4 3 写出一个与以上两式规律相同的一个等式 三 解答题 4 在四棱锥P ABCD中 侧棱PA 底面ABCD 底面 ABCD 是矩形 问底面的边 BC 上是否存在点 E 1 使 PED 90 2 使 PED 为锐角 证明你的结论 5 已知非零复数 z1 z2满足 z1 a z2 b z1 z2 c a b c 均大于零 问是否根据上述条件求出 1 2 z z 请说明理由 6 是否存在都大于 2 的一对实数 a b a b 使得 ab a b a b a b 可以 按照某一次序排成一个等比数列 若存在 求出 a b 的值 若不存在 说明理由 7 直线 l 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点且与抛物线有两个交点 对于抛 物线上另外两点 A B 直线 l 能否平分线段 AB 试证明你的结论 8 三个元件 T1 T2 T3正常工作的概率分别为 0 7 0 8 0 9 将它们的 某两个并联再和第三个串联接入电路 如图甲 乙 丙所示 问哪一种接法使电路不发生故 障的概率最大 参 考 答 案 难点磁场 1 解析 如图 a 与 b c 的夹角为 60 且 a a 3 由平行四边形关系可得 a 3c 2 3 b a 3c 2 3 b 答案 a 3c 2 3 b 2 解析 飞机成功飞行的概率分别为 4 引擎飞机为 42224 4 33 4 222 4 1 4 1 6C 1 C 1 CPPPPPPPPPP 2 引擎飞机为 222 2 1 2 1 2C 1 CPPPPPP 要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全 则有 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 6P2 1 P 2 4P2 1 P P4 2P 1 P P2 解得 P 3 2 即当引擎不出故障的概率不小于 3 2 时 4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全 歼灭难点训练 一 1 解析 l 且 l m l m 且 l l 但不能推出 l m l m l m 由 m l m 不能推出 答案 B 2 解析 选 1 1 元 5 张 0 6 元 2 张 0 8 元 1 张 故 8 张 答案 B 二 3 解析 由 50 20 45 15 30 可得 sin2 cos 2 30 sin cos 30 4 3 答案 sin2 cos2 30 sin cos 30 4 3 三 4 解 1 当 AB 2 1 AD 时 边 BC 上存在点 E 使 PED 90 当 AB 2 1 AD 时 使 PED 90 的点 E 不存在 只须以 AD 为直径作圆看该圆是否与 BC 边有无交点 证略 2 边 BC 上总存在一点 使 PED 为锐角 点 B 就是其中一点 连接 BD 作 AF BD 垂足为 F 连 PF PA 面 ABCD PF BD 又 ABD 为 直角三角形 F 点在 BD 上 PBF 是锐角 同理 点 C 也是其中一点 5 解 z1 z2 2 z1 z2 1 z 2 z z1 2 z2 2 z1 2 z 1 zz2 c2 a2 b2 z1 2 z 1 zz2 即 z1 2 z 1 zz2 c2 a2 b2 z1 0 z2 0 z1 2 z 1 z z2 1 211 2 221 z zzz z zzz z2 2 2 1 z z z1 2 1 2 z z 即有 b2 2 1 z z a2 1 2 z z z1z2 z1z2 b2 2 1 z z a2 1 2 z z c2 a2 b2 a2 1 2 z z 2 a2 b2 c2 1 2 z z b2 0 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 这是关于 1 2 z z 的一元二次方程 解此方程即得 1 2 z z 的值 6 解 a b a 2 b 2 ab a b a b a b 均为正数 且有 ab a b a b ab a b a b 假设存在一对实数 a b 使 ab a b a b a b 按某一次序排成一个等比数列 则此数列必是 单调数列 不妨设该数列为单调减数列 则存在的等比数列只能有两种情形 即 ab a b a b a b 或 ab a b a b a b 由 a b 2 ab a b 所以 不可能是等比数列 若 为等比数 列 则有 2 2710 257 2 b a a b abbaba baabba 解得 经 检 验 知 这 是 使 ab a b a b a b 成 等 比 数 列 的 惟 一 的 一 组 值 因 此 当 a 7 25 b 2 2710 时 ab a b a b a b 成等比数列 7 解 如果直线 l 垂直平分线段 AB 连 AF BF F 2 p 0 l FA FB 设 A x1 y1 B x2 y2 显然 x1 0 x2 0 y1 y2 于是有 x1 2 p 2 y 1 2 x 2 2 p 2 y22 整理得 x1 x2 p x1 x2 y22 y12 2p x1 x2 显然 x1 x2 否则 AB x 轴 l 与 x 轴重合 与题设矛盾 得 x1 x2 p 2p 即 x1 x2 p0 矛盾 故直线 l 不能垂直平分线段 AB 8 解 设元件 T1 T2 T3能正常工作的事件为 A1 A2 A3 电路不发生故障的事件为 A 则 P A1 0 7 P A2 0 8 P A3 0 9 1 按图甲的接法求 P A A A1 A2 A3 由 A1 A2与 A3相互独立 则 P A P A1 A2 P A3 又 P A1 A2 1 P 21 AA 1 P 1 A 2 A 由 A1与 A2相互独立知 1 A与 2 A相 互独立 得 P 1 A 2 A P 1 A P 2 A 1 P A1 1 P A2 1 0 7 1 0 8 0 06 P A1 A2 0 1 P 1 A 2 A 1 0 06 0 94 P A 0 94 0 9 0 846 2 按图乙的接法求 P A A A1 A3 A2且 A1 A3与 A2相互独立 则 P A P A1 A3 P A2 用另一种算法求 P A1 A3 A1与 A3彼此不互斥 根据容斥原理 P A1 A3 P A1 P A3 P A1A3 A1与 A3相互独立