坐标系的认识.ppt

坐标系 什么是坐标系 坐标系是什么样的 坐标系有什么用 在参照系中 为确定空间一点的位置 按规定方法选取的有次序的一组数据 这就叫做 坐标 在某一问题中规定坐标的方法 就是该问题所用的坐标系 常见坐标系大致又分为下面几种 数线 笛卡儿坐标系 极坐标系 数线 数线是最简单的坐标系 用一个实数标示一个点在线上的位置 数线中会有一个原点O 以及单位长度及其方向 点P的坐标为从O到P的有号距离 坐标是正值或负值则依P点在原点的哪一侧来决定 数线上每一个点都有唯一的坐标 每一个实数也都可以在数线上找到唯一的对应点 笛卡儿坐标系 笛卡儿坐标系也称为直角坐标系 是最常用到的一种坐标系 在平面上 选定二条互相垂直的线为坐标轴 任一点距坐标轴的有号距离为另一轴的坐标 这就是二维的笛卡儿坐标系 一般会选一条指向右方水平线称为x轴 再选一条指向上方的垂直线称为y轴 由二维引向三维乃至n维 在三维系统中 选定三条互相垂直的平面 任一点距平面的有号距离为坐标 二平面的交线为坐标轴 即可产生三维的笛卡儿坐标系 一般会选择x轴及y轴是水平的 z轴垂直往上 且三轴维持右手定则 若先将右手的手掌与手指伸直 然后 将中指指向往手掌的掌面半空间 与食指呈直角关系 再将大拇指往上指去 与中指 食指都呈直角关系 则大拇指 食指 与中指分别表示了右手坐标系的x 轴 y 轴 与z 轴 此概念可以延伸 在n维的欧几里得空间中建立n维的笛卡儿坐标系 极坐标系 极坐标中会定一点为极点 再将一条通过极点的射线定为极轴 若给定一角度 则可绘出通过极点 和极轴夹角为 的唯一射线 角度是以从极轴 依逆时针方向旋转到射线 若再给定一实数r 可找出上述射线上 距极点距离为有号整数r的一点 7 在极坐标系中 一坐标 r 只会其对应唯一的一点 但每一点均可对应许多个坐标 例如坐标 r r 2 及 r 都是对应同一点的不同坐标 而极点的坐标为 0 可为任意值 坐标系的用途 于数学计算而言 坐标系可以将抽象的图形 几何数字化 可以给学生以更直观的理解与计算 而在数学之外呢 坐标系几何影响着我们生活的方方面面 小到机械配件的生产 地图的制作 大到经济的宏观调控 在我们周围几乎处处都可以见到它 坐标系 甚至可以引申到相对论 可以引申到主观和客观 当汽车呼啸着从我们身边驶过 在我们的眼中 显然它的运动就是在以我们为极点的坐标系中展开的 齐次坐标系 所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n 1维向量来表示 例如 二维点 x y 的齐次坐标表示为 hx hy h 由此可以看出 一个向量的齐次表示是不唯一的 齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点 比如齐次坐标 8 4 2 4 2 1 表示的都是二维点 4 2 许多图形应用涉及到几何变换 主要包括平移 旋转 缩放 以矩阵表达式来计算这些变换时 平移是矩阵相加 旋转和缩放则是矩阵相乘 综合起来可以表示为p p m1 m2 m1旋转缩放矩阵 m2为平移矩阵 p为原向量 p 为变换后的向量 引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法 表示为p p M的形式 即它提供了用矩阵运算把二维 三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法 其次 它可以表示无穷远的点 n 1维的齐次坐标中如果h 0 实际上就表示了n维空间的一个无穷远点 对于齐次坐标 a