股票价格遵循指数过程的最大值期权定价_闫海峰.pdf

第卷 第 期 年月 工程数学学报 从 文章编号 一一 股票价格遵循指数 一 过程的最大值期权定价 闯海峰 刘三阳 李文强 一 河南师范大学数学与信息科学学院 河南新乡 一 西安电子科技大学应用数学系 西安 摘要 关健词 分类号 讨论了股票价格过程遵循指数 一 过程的变异期权定价问题 利用定理获得了指 数 一 过程模型的唯一等价鞍测度 利用期权定价的鞍方法 得到了离散时间最大值期权和虹 式期权的定价公式 期权定价 一 模型变异期权 一 过程虹式期权 中图分类号文献标识示码 引言 未定权益的定价是现代金融数学研究的核心问题之一 近年来 随着金融市场的不断发展 和完善 标准期权己不能满足市场的需求 为适应现实金融市场的需要和丰富可用于风险管理 的金融工具 涌现 出了各种各样的变异期权 变异期权在条件要求或性能方面发生了或多或少 的变化 变异 其非标准性决定 了对该期权定价的复杂性 众所周知 期权价格依赖于股票价 格的波动规律 著名的 一 期权定价模型是最 泛使用的模型 该模型用几何布 朗运动刻画股票价格波动规律 在假定股票的预期收益率和波动率为常数的情况下 获得了著 名的 一 公式 然而 在股票价格过程是对数正态的假设下 常数的预期收益率 意味着随 时间的变化 股票价格将有朝同一方 向变化的趋势 这显然是与实际相背离的 实证研究表 明 股票的预期收益率往往是波动变化的 可能是依赖时间和股票价格的函数 后来众多学者 通过放宽 一 模型的某些假设条件 提出了各种期权定价模型睁 衍生证券定价的 主要途径有两种 一是 和的 偏微分方程 方法 另一种 是 由和以及和提 出的资产定价的靴方法 靴方法 在解决复杂期权定价问题上是非常有效的 本文在股票价格服从指数 一 过程的假设下 用 期权定价的靴方法得到了一些变异期权 离散时间最大值期权 种资产最大值期权的定价公 式 模型假设与期权定价鞍方法 模型假设 收稿日期 一一 作者简介闰海峰年月生 男 博十 教授 研究方向金融数学和随机分形 基金项 目国家自然科学基金河南省科委软科学基金河南省高校骨千教师资助计 吕程数 赞 厂报 第卷 考虑一个连 续时 问 无磨擦 的金融 市场 市场生 几台 一 两种可交易的资产 如银行存款 短期债券 时刻价格 尸 满足万程 种是无风险资户 艺 川 一 具中以是日 问的连续函数 称其 为瞬时无风险利率 另一种是风险资产如股票 在 日寸刻的价格 创动满足如下随机微分力 一 程 二亡拜艺一 亡万 亡二亡 其 中 刀川 全 是定义 在 概 率空问牌 厂 人 上的标 准运动 滤子 流 入 满 足 通 常条件完备 单调增 右连 续 并只约和充 分 光滑 使 得方程有唯 一严 格正解 为 常 数 常 数的作用在于当股 票 价 格 一上 升 到一定 高度后 它使股 票 价 格 有下降的趋 势 称模型为指 数 一 过 程模 型 夕 二 一 五 瓦 为价格过程 的折现过程 与 一 模型相匕较 模找 相 当厂考虑预期收益率依赖于股票价格动的 一 模型 显然 当 时 即 为 卜 模 库 期权定价的鞍方法 年和 侧 提出 了风险中忆定价理沦 在这 一思想的影响 卜 年 二和二 提出用靴刻回市场的无套利性和完备性 并用等价鞍测度对期权进 行定价和套期保值 年 和喻回引进了自筹资复制的概念 证明了如果 等价鞍测度存在唯一 则 市场是完备的无套利市场 这时市场上的任何衍生证券都可市场 几用于交易的基础证券 风险资产股票和无风险资产债券的 自筹资投资组合完个复制 并且 任何衍生证券都有唯一的合理价格 该合理价格为衍生证券 的贴现收益关于等价秋测度的数学 期望 并用秋万法给出了 一 公式的又一证明 最初 一 公式是用 解偏微分方程或离散模型逼近法得到的 对指数 一 过程模型 可以证明 参看该 市场模 烈是完备的无套利市场 引理低 设股票价格过程满足指数 一 过程杖巧 令 一矛 亡 艺 二 艺 若 刀尸 告了 贝 存在 准一达 概 率 度 尸 等价自勺概 度 使 二概率 钡度 一卜 折现过程少是一鞍过程 若令 叼 月 一 一 几 则山二 定理 一 知在概率测度 一 卜是一个运动 并且 万 一万二 关 了 卜 一 尤 离散最大值期权 离散最大佳期权的持有 人在到期日 叮选标的资产的价格在期权有效期内的一个离散时间 序列上的缎大俏来计算其收益 考虑以股票价格句 为标的资产 敲定价为 在给定的离 散日打日序列 三才三三 三六 三 的离散最 大价土权 该期权在到期日的收益为 丫 八 二 小 二 夕 弋了 乙 一 万 第期闺海峰等股票价格遵掀指数 一 过程的最大值期权定价 其中 小 表不最大值看涨期权 中 一 表示最大值看跌期权 定理设股票价格遵循指数 一 模型 给定的离散时间序列为 三三三 二 三 三 有效期为 敲定价为的欧式离散最大值期权的定价公式为 蜡 一 艺 了 凡 一 一 万 一中 定 一 少 一 从 一中叼 厂 一 中 了 之 其 几 一 一 从 一了 一 勺 十 一 勺 泛 马 一 凡 一 泛 兀 泛 艺儿 巡令粽黔 坐 己 亡 凡 全 艺 乞 艺 人卜 汀雨蕊 之 一 于霖 无一 一 厂栗 艺 无 一 一 招漂 乞 丸一 一 于霖 乞了 一 证明以看涨期权 币二 为例 由引理可知模型确定的市场是完备的无套利市场 由靴方法定价理 论和式可得 最大值期权在零时刻价值为 了 一 一 丈 一 亡 二 亡 一兀一 尤 一 一 犷 含了乃 兀 一 协 二 一 倪 一 一 冉 儿 产 九 姚 一 二 由 和运动的独立增最性可得 二 一 二一 丈 了 一 一 艺 一 几 之 一 客 产 飞 二 飞 人 了 一 口 仁 一 找 一 艺 二 程数 俘学报 第卷 二 一 飞 一 气 了 力 一 了 一 邓 十 一 亡 令 二 一 一 护 亡少 之 亡 由 习 得 一 一 从 一 一 亡 十 一 泛 产 丫 一 几一 已 飞 一 尹气 了 口 了 夕 牡 令氛 一 呷 加 一 告 刚 注意到石 为严 格正 且 勺钊 因此 山 筹 一 翻可 以定 义 一 个 和等 价 的概 率测度 度下 尺 一 川 一 君 是一个运动 由定 理 可知 在概率测 将代入 再由和得 厂 丁 卜 二 了 一 飞 一 一 了 戈 了 一 一 石 一 一 一 了百 且 一一 一 一 了一 了少 了少 厂 了 人厂 了 去 了 一 关 尹 以 了 一以 了一 以 兀 夕 综合 川可得看涨期权定价公式 类似可证看跌期权公式 综合起来得定理 注用类似方法可证离散最小值期权定价公式 实际应用中 常见的是看涨离散最大值期 权和看跌离散最小值期权 虹式期权 如式看涨明权持有人在到期日 可从两个或多个标的资产中选择一个价格最高即最为有 利者来计算共应得到的补偿 费而相应的虹式看跌期权持有人可从两个或多个标的资产中选 择一个价格缎低最为有利者来计算其应得的补偿金额 虹式看涨期权到期收益为 信 场 二 了 了 一 其中 嵘匕 表不 以种 资产 是第 乞种资产在到期日的价格 为标的资产 有效期 为 敲定价为的红式看涨和看跌期权在到期日的收益 假设市场上有种价格相关的风险资产股票其价格满足指数 一 过程模型 即 又 才 又 亡拜 亡一亡 艺 又 二 又 又表小第 只股票在 时刻的价格 二 约是第 乞只股票的瞬时波动率 和 的瞬时 相关系数记为 即 亡 马 仕 户 亡 仁 刀仪 是维 第期闺海峰等股票价格遵循指数 一 过程的最大值期权定价 运动 假定随机微分方程中的系数满足引理的条件 文 研究了多种资产的最大值和 最小值期权 文用靴方法给 出了股票价格服从几何运动情况下的最大值期权定价公 式 本节考虑以模型中的种股票为标的资产 敲定价为 到期日为的虹式看涨期 权定价问题 定理假设市场上有种价格相关的股票 每种股票价格遵循指数 一 模型 随 机因子的瞬时相关系数 为 八 则有效期为 执行价格为的虹式看涨期权在时刻的 价格为 喘 一 艺凡从 二 一 邓 众 了 一 二 一 一 从 一 罗 一 另 了 扮 了 民 人 廿尹 火 其中 弓 几 叮 口梦 一 巧 口 三 三 食 告心 罗 一 二 二 几了 三艺 三 几 少 了 一了 尹才卫 邓 乃 二贪万 一 告了 侧了不孤 邪 会 合萝 不萝 万 万蕊 乞 几 三三 勺乞 厂 州的 子又元欠 占 三艺 兰 万弓 一 二 一 二 几 几 乞 尹 已 九 片了 了 了 万弓 兴无 证明由于在模型所确定的金融市场上 用于交易的风险资产的个数与市场上的随机 因子的个数相等 由资产定价的基本定理可知该金融市场是完各的 由引理可知 存 在唯一的等价鞍方法测度使得 那 一 一 石尘鱼等产业 为标准运动 且在等价靴测度下股票折现价格公约 乞二 为靴 所 以市场是完备的无套利市场 该市场上的任意未定权益都可用鞍方法获得其无套利定价 由于 箫 一 艺 卜 了艺 艺一艺 尸艺 二 由教方法定价理论 类似于定理可证该定理 注用完全类似的方法可获得虹式看跌期权的定价公式 女 式期权与离散时间极值最大或最 小期权的区别在 一于 前者持有者计算收益是选择若干标的资产的最大价格 后者是对 同一种 资产在给定的时间序列上选择其价格的极值最大或最小作为计算其收益的依据 程 数学学才仗 第卷 结束语 未定权益定价 问题是现代金融数学的核心问题之一 轶论在刻幽金融 市场的完备性以及解 决小完备 一市场未定权 益定 价 问题是一行之有效的方法 本文用期权定价的靴方法获得 了股票价 格服从指数 一 过程的两类坛大值期权 的定价公式 充分展示了靴方法在解决复杂的变异期 权定价方面的优良性 参考文献 飞派 了 入 在注 二 工 二 飞 一 氏 一 卜 二 止 冬 卜 七 士 韶 专 八 飞 之 一 盛 了 二 乃 小 卜 二 沈 一 入 亏 一 卜