我国机构学位置分析数学方法的应用现状.pdf

我国机构学位置分析数学方法的应用现状 陈延强 林海波 李玉如 四川理工学院 机械工程学院 四川 自贡摇 643000 摘摇 要 机构位置分析是机构学的基本研究内容 其核心问题是求解一组非线性方程组 自机构学成为一门独立的 学科以来 数学一直在机构学研究中发挥着重要作用 以我国在机构位置分析问题求解中采用的数学方法为对象 论述了各种方法在机构学位置分析中的具体应用 分析了它们的思路及优缺点 以期起到抛砖引玉和对机构位置分 析问题应用者引导的作用 关键词 机构学 机构位置分析 消元法 同伦法 中图分类号 TH112摇 摇 摇 摇 摇 摇 文献标志码 A摇 摇 摇 摇 摇 摇 文章编号 1007 4414 2014 05 0190 05 Application Status of Mathematical Methodology on the Position Analysis of Mechanism in China CHEN Yan qiang LIN Hai bo LI Yu ru College of Mechanical Engineering Sichuan University of Science position analysis of mechanism elimination method homotopy method 0摇 引摇 言 机构是由两个或两个以上构件通过活动联接形 成的构件系统 机构是现实中任何复杂机器的基本组 成单元 机构学的基本问题是机构分析和机构综合 机构分析又是机构综合的基础 必须系统 深入的分 析已有的各种机构 掌握它们实现运动变换的规律和 范围 才能较好的设计出新的机构和机器 1 其中 机构位置分析是求解机构的输入和输出构件间的位 置关系 又是机构运动和动力学分析的基础 其核心 问题是求解一组非线性方程组 自机构学成为一门 独立的学科以来 数学一直在机构学研究中发挥着重 要作用 特别是当机构学发展到现代机构学阶段 对 装备的自主创新设计要求越来越高 数学的作用也变 得越来越突出 2 在总结前人研究著作的基础上 将机构位置分析 的方法大致分为图解法和解析法 解析法应用最广 泛 下面来逐一介绍 1摇 图解法 图解法以研究对象的几何关系为基础作图求解 问题 直观简便 对于平面机构来说 一般也较简单 通过直尺 圆规就可以进行复杂的机构分析 3 用 图解法取得的结果可用于检查 核对用程序计算出来 的数值 这在程序调试时十分重要 有时图解法取得 的数值还可作为机构优化设计程序的初始值 1 不 足之处 精度不高 由于测量等原因 结果必然会有误 差 有时误差还比较大 而且就机构的一系列位置进 行分析时 需要反复作图 也相当繁琐 此外 图解法 对三维空间机构问题的求解往往是无能失力的 随 着计算机技术的普及和对现代工业高精度的要求 图 解法使用场合显著减少 2摇 解析法 与图解法不同 解析法是把机构中已知的尺寸参 数和位置变量与未知的位置变量之间的关系用数学 式表达出来 然后求解方程组 3 由于解析法的可 编程性 所以其可以非常方便的利用计算机求解并通 过接口与数控机床直接相连 实现了真正的设计与制 造的一体化 解析法成为解决机构位置分析问题的主 流 运用解析法过程中 主要有两方面的问题 方程 组的建立和求解 根据建立方程组的思想或工具的 不同 有坐标变换矩阵法 矢量法 复向量法 四元数 法等 建立方程组之后 根据解方程组选取方法的不 同可以分为 消元法 数值迭代法等 关于机构位置分析问题时建立数学方程组的理 论已经非常成熟 各种方法有繁有简 进行机构位置 091 综摇 摇 述摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇2014 年第 5 期 第 27 卷 总第 133 期 机械研究与应用 收稿日期 2014 08 11 作者简介 陈延强 1990 男 河南新乡人 在读研究生 研究方向 机械设计及理论 分析建模时采用哪种方法最适宜 这个问题很有意 义 2 1摇 坐标变换矩阵法 坐标变换矩阵法利用坐标变换的思想和强大的 矩阵工具进行机构位置分析 不仅适用于平面机构的 分析 也适合空间机构 是机构学中最常用的数学工 具 但在利用矩阵解决复杂机构计算问题 坐标变换 次数太多 且多个矩阵连乘 运算过程相对繁琐 参考文献 4 利用球面环路方程和方向余弦矩 阵法 提出了对含四杆闭链的球面机构位置分析的一 般方法 获得机构位置分析的符号解或数字 符号 解 并用 Stephenson III 型球面机构验证其正确性 2 2摇 矢量法 矢量法基本原理是把连杆机构视为一个封闭的 矢量多边形 由此建立位移方程式 并通过它在各直 角坐标轴上的投影式求解运动参量 矢量法将平面 机构及空间机构的位置分析问题归结为一系列平面 矢量三角形和空间矢量四面体问题 之后可将各种三 角形或四面体编成子程序 就可适用各种机构的求 解 但由于三角函数的大量使用 容易造成多解问题 张威等 5 运用空间矢量法对 3 RTT 并联机器人 结构进行分析 建立位置输入输出方程 获得该机器 人的位置正解和位置反解 求出了机构 2 组正解和 8 组反解的表达式 文献 6 7 则是利用矢量回归 法建立回归公式进行机构位置分析 该方法不需要坐 标变换 不必采用矩阵环路方程式 从而减少了计算 量 并且没有复杂的技巧 只要具有矢量基本代数运 算知识即可 易于掌握 比坐标变换法应用广泛 2 3摇 复向量法 建立位置方程式的方法与矢量法相同 但每一矢 量均以复数形式表示 并可以通过复数运算来求解运 动参量 复向量的旋转具有坐标变换的功能 描述其 旋转的幅角的变化就相当于二阶矩阵 这种方法运 算方便 物理概念清楚 便于编制程序 是国外应用最 广泛的解析法 但复向量法对于空间机构问题 只能 解决极特殊的情况 为此 赵国文提出了类复矢量 法 类复向量方法可以完全消除坐标变换 可以使计 算过程成几倍乃至十几倍地简化 8 文献 9 详细论述了类复向量法的定义 运算法 则 并以 RRPRR 操作器机构为例 运用类复向量法 列出该机构位置的类复向量方程 求解 侯季理 等 10 分别用矩阵坐标变换法 向量回转法 类复向量 法对空间 RSSR 机构进行位移分析 证明类复向量算 法最为简便 2 4摇 四元数法 对于确定一个刚体在空间的位置和姿态的工具 方法很多 基本的数学工具是矢径 位置描述 和方 位矩阵 姿态描述 常用的定位参数有方向余弦 欧 拉角 四元数等 四元数不仅可以确定姿态 而且可 以确定位置 方向余弦和欧拉角则只能确定姿态 四元数不论刚体处于任何状态都不会退化 所得到的 方程组线性化程度高 而欧拉角则会出现三角函数项 且存在奇点 运用四元数方法求解空间机构 建立的 方程有无奇性 线性程度高 计算时间省 计算误差 小 乘法可交换等许多优点 11 王庆贵 12 应用实数四元数法 以由六个转动副 组成的 MBTY 机械手及由一个转动副和三个圆柱副 组成的四连杆机构为例 对空间开链及闭链机构进行 位置分析 并比较了矩阵法和四元数法在进行空间机 构位置分析时计算过程和计算量大小 张帅等 13 使 用四元数对球面七杆机构进行数学建模 使用 Syl鄄 vester 结式消元法分两次求出一元 32 次方程 借助 Mathematica 软件求其位置参数 求出各个转动副在 球面上的位置 对于一般 4R 机器人的各关节及末 端位置分析问题 杨爱民等根据该机构的结构参数和 运动参数 运用四元数法求得该机构末端位置的正 解 并且推导出了适用于解决该机构位置正解的一般 性通用四元数公式 14 充分说明四元数法在空间机 构分析中的应用价值 3摇 消元法 上面的解析法大都是机构位置分析的建模工具 可知在建立机构位置分析问题模型方面已不存在问 题 难点则是如何准确简便的求解所建立的复杂非线 性方程组 消元法求解机构位置分析问题的基本思 想为 对在机构位置分析解题中遇到的非线性方程 组 经过三角变换后 大多数非线性方程组都可以化 成一个多元多项式方程组 15 然后通过各种消元法 将这个求多元多项式方程组的解转化为求一元多项 式方程组的解 而一元多项式方程的解法已成熟 即 可以求得非线性方程组的解 根据上述过程中采用的消元方法和构造零点集 结构式求方程组零点集方法的不同 消元法又分为结 式消元法 基组结式消元法 吴消元法等 3 1摇 结式消元法 结式消元法是利用结式的消元功能 将多项式同 解变形为阶梯型方程组 之后就是解一元多项式方程 组 结式消元法有两方面不足 一是当方程个数较多 时 要消去变元需要较多技巧和经验 计算过程中需 要人工干预 效率低 二是求得的多项式解可以保证 不失根 但不能保证不增根 16 文献 17 应用结式消元法对 6 5 平台型空间并 联机构位置正解方程组消元求解 首先使用方向余弦 191 机械研究与应用 2014 年第 5 期 第 27 卷 总第 133 期 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 综摇 摇 述 矩阵建立数学模型 给出了约束方程 并经过一系列 的代数推导 然后应用结式消元导出了一元 20 次方 程 求得全部 40 组解 文献 从 Delta 型并联机器 人机构位置约束方程出发 采用狄克逊结式对机构位 置正解方程进行数学机械化消元 得到了机构位置正 反解封闭方程 由于上述消元过程的机械化 所以该 方法具有很强的通用性和简便性 3 2摇 吴消元法 吴文俊基于中国古代数学求解多项方程组的消 元思想 并借鉴国外学者关于微分代数的工作 提出 了具有自己特色的解多项式方程组的消元方法 19 吴消元法的基本思想是 根据多项式秩的大小选取基 组 用伪除法消元 通过若干次整序 将原多项式组化 成一特征组或半特征组 并根据零点集结构式确定原 多项式组的零点集 从它的整个计算过程中可以看出 吴消元法不需 要巧妙的构思和复杂的理论推导 只需要根据运算步 骤 按部就班地计算就可以得到结果 这使得问题变 得非常简单 吴消元法是一种数学机械化方法 具有 系统化 规则化的特点 可以很容易地编制程序 并可 进行符号计算 该方法避免了其他方法解多项式方程 组的局限性 得到的解不增不漏 还可判断方程组是 否有解 19 缺点是 中间膨胀项数大 计算时间长 对一些问题因维数过大而无法求解 刘惠林等 20 以符号运算为工具 运用吴消元法 得到非线性方程组的特征列 从而导出了 3 RPR 平 面并联机构正运动学封闭形式解为一元六次方程 至 多可解出 6 个实根 对于一种 7 杆巴氏桁架的分析 文献 结合矢量法和复数法建立 3 个几何约束方程 式 然后使用吴方法经过 6 次循环得到特征列 其中 第一个多项式的最高次数为 18 次 得到 18 组无增无 漏的解 吴消元法解此类问题与结式消元法 22 相比 主要优点就是自动进行求解 不需要人工干预 3 3摇 基组结式消元法 基组结式消元法由张纪元等在总结各种消元法 尤其是吴消元法基础上提出 基组结式消元法与吴 消元法相比 主要有两点区别 一是基组结式消元法 采用贝左结式消元 二是由改进型零点集结构式确 定原多项式组的零点集 23 基组结式消元法具有消 元过程简单和消元结果次数较低等优点 计算量比吴 消元法大大减少 可是目前该方法在机构位置分析 问题方面应用较少 普及率有待提高 张纪元等 24 将基组结式消元法应用到对机构极 限位置求解问题的研究上 从机构极限位置的定义出 发 用基组结式消元法求得机构极限位置的多项式 解 彻底解决了机构极限位置的确定问题 提出了确 定机构极限位置的理论 3 4摇 Groebner 基法 Groebner 基法也是通过对变量的排序 多项式分 组 约化 构成基列 求余等运算 将一组非线性多项 式方程化简为同价的三角化方程组 可以得到不增根 不少根的解析解 对具有一定对称性的非线性方程组 显示出有效性 但对于复杂的多项式方程组 该方法 效率较低 容易在消元过程中因多项式迅速膨胀导致 运算中途夭折 杜鲁滨等 25 运用 Groebner 基法对八面体变几何 桁架机器人机构进行了位置正解分析 得到其位置正 解为 16 解的结论 并给出数值算例 雷经发等 26 基 于 Groebner 基法和计算机符号处理技术 对各种结 构型式的两自由度平面五杆机构的位置分析的符号 求解问题进行总结 并设计出相关软件对导出的三角 化的 Groebner 基不仅可以用于研究输入参数对输出 构件位置的影响 也可以研究调节构件几何参数对输 出构件位置的影响规律 此文的思想对研究可变输入 的混合机构和可调机构提供了有意义的指导 4摇 数值迭代法 数值迭代解法也是解非线性方程组的基本解法 传统的数值迭代法如 Newton raphson 法 其优点是 其数学模型简单 省去了烦琐的数学推导 但这种方 法的计算速度比较慢 所给的初值必须位于迭代序列 的收敛域内 且最终的结果依赖于初值的选取 因而 数值法难以求得机构的全部解 18 同伦连续法可以 克服上述缺点 在求解时不需要给出初始值 并能获 得全部解 尤其可以解决并联机构位置分析的多解性 问题 是机构多装配构型研究的一种有效方法 但其 难点在于构造初始方程的要求较高 虽然可以求出大 部分解或全部解 但发散解较多 计算效率不高 有待 改进 4 1摇 改进牛顿法 文献 27 28 为了解决牛顿迭代法初始值的 选取问题 将混沌理论和牛顿迭代法结合 利用混沌 映射产生敏感的初始点 再用牛顿迭代法求解 提出 一种求解非线性方程组全部解的改进牛顿迭代法 并 给出了数值实例 通过与其他方法比较 证明这种方 法的有效性与正确性 为机构学问题求解提供了一种 新的数值迭代方法 4 2摇 同伦法 同伦法又称嵌入法或连续法 产生于 20 世纪 60 年代 同伦法是一种大范围收敛的方法 其理论基础 是隐函数定理 其基本思想是 对多项式方程组 A 和 B A 的解已知 将 A 的参数作微小变化 A 的解也发 生微小变化 跟踪 A 的解 当 A 的参数变化到与 B 的 291 综摇 摇 述摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇2014 年第 5 期 第 27 卷 总第 133 期 机械研究与应用 参数相同时 便得到 B 的解 29 由于同伦算法是通过同伦映射从初始方程组的 解出发跟踪曲线从而得到所求的目标方程组的解 因而根据初始方程组的不同构造方法同伦算法被分 为一般同伦法 齐次同伦法 系数同伦法和同伦迭代 法 30 一般同伦法由于构造初始方程组简单且容易实 现而多被采用 但不能排除发散路径 计算效率不高 齐次同伦法是通过研究待解方程组的齐次结构特性 再构造出与待解方程组具有相同齐次结构特征的初 始方程组 全部或部分排除发散路径 减少计算 量 29 31 32 系数同伦法是以初始方程组与目标方程 组的系数参数构造同伦的方法 对于求解结构特征相 同 系数不同的多项式方程组 系数同伦法非常有效 系数同伦法可以排除全部发散路径 使计算量减到最 小 但在求解时需要先用一般同伦法求得一组具体 解 董滨等 30 采用参系数同伦法求解并联机器人正 问题 由于并联机器人正问题是关于三角函数的高次 非线性方程组 采用这一方法可直接化非线性方程组 为多项式方程组 而无需经过万能公式代换 进一步 大大减少了计算量 并运用这一方法对中科院沈阳自 动化研究所的并联机器人新模型运动学正问题求解 只需跟踪 20 条同伦路径 而采用一般同伦法 则至少 需要跟踪 256 条同伦路径 运算量差异巨大 王玉新 等 33 以结构参数和杆长变量作为修正系数 构造了 一种新的系数同伦方程 建立了机构位置分析的数学 模型 对具有对称结构的并联机器人机构 6 6SPS Stewart 进行了位置分析 对使用同伦法求解时出现 的路径交叉问题进行了研究 分析了复常数对同伦路 径跟踪的影响 提出了求解同伦方程时复常数选取的 一般原则 陈永等 34 提出了一种基于同伦函数的新迭代 法 它不需选取初值并可求出全部解 比传统的同伦 法简化了求解过程 对于求解高亏欠度多项式方程组 是一种行之有效的方法 提高了计算效率和可靠性 使用该方法求解一般 6 SPS 机械手的正位置问题 得到满意的结果 求出了问题的全部 40 组解 4 3摇 区间分析法 区间分析 又称为区间数学 最初是从计算数学 的误差理论研究中发展起来 是用区间变量代替点变 量的数学分支 区间分析法是一个大范围收敛的算 法 区间分析是针对区间函数进行的 因此 首先将 待求多项式方程组扩展为区间方程组 通过区间运算 获得解的初始域 通过区间对分和区间算子检测获得 所有的收敛子区间 最后通过点迭代获得所有近似 解 这种方法克服了一般点迭代方法进行全局搜索 时难以确定初始点的缺点 并且够得到机构结构位置 正解的所有近似解 但剖分工作量特别大 也需预估 解所在的区间 还要用到雅可比区间矩阵 黄康等 35 运用基于区间分析的数值求解方法对 6 SPS 并联机器人运动学位置正解问题进行研究 但 从其计算过程来看 与同伦法等相比 在求解机构位 置分析问题上并不占优势 所以应用不广泛 5摇 总摇 结 上面讲述了机构学位置分析中的数学方法 各种 方法都有自己的优缺点 像复杂问题用图解法则根本 无法求解 简单问题使用同伦法则是 大材小用冶 所 以本文旨在总结机构位置分析的各种方法 使应用者 找到最合适的方法 并希望推动研究出更有效方便的 算法 为机构学研究的发展增一份力 本文的撰写限 于作者的水平 肯定会有不少疏漏 观点也不一定正 确 但希望起抛砖引玉的作用 参考文献 1 摇 沈世德 实用机构学 M 北京 中国纺织出版社 1997 2 摇 王国彪 刘辛军 初论现代数学在机构学研究中的作用与影响 J 机械工程学报 2013 49 3 1 9 3 摇 常宗瑜 王树杰 梅摇 宁 等 关于 机械原理 课程中解析法和 图解法教学的思考 C 第十届全国机械设计教学研讨会论文 集 2009 214 215 4 摇 杨随先 刘艳芳 孙摇艳 含四杆闭链球面机构位置分析方法 J 农业机械学报 2013 44 8 262 267 5 摇 张摇 威 赵新华 3 RTT 并联机器人位置分析 J 天津理工学 院学报 2003 19 3 32 35 6 摇 刘德庸 肖铁英 孙树海 空间机构位置分析的矢量回归法 J 机械设计 1998 6 17 18 7 摇 包摇 耳 连杆机构位置分析的矢量递推法 J 辽宁工程技术大 学学报 自然科学版 2008 27 6 906 908 8 摇 赵国文 工程中的类复向量法 J 光学精密工程 1993 1 1 99 105 9 摇赵国文 吴丽娟 机器人运动学的类复向量算法 J 机器人 1992 14 3 17 22 10 摇 侯季理 田摇 耘 王景利 用类复向量作空间连杆机构位移分析 J 吉林农业大学学报 1997 19 4 89 92 11 摇 肖尚彬 四元数方法及其应用 J 力学进展 1993 23 2 249 260 12 摇 王庆贵 四元数变换及其在空间机构位移分析中的应用 J 力学学报 1983 1 1 54 61 13 摇 张摇 帅 王摇 品 许东来 等 基于四元数法求解球面七杆机构 的位置 J 上海第二工业大学学报 2011 28 2 144 153 14 摇 杨爱民 张摇 帅 张焕成 四元数法在 4R 机器人位置分析中的 应用 J 微计算机信息 2012 28 9 462 463 15 摇 张纪元 机构学中非线性问题的解法述评 J 上海海运学院 学报 2000 4 8 18 16 摇 张纪元 机械学的数学方法 M 上海 上海交通大学出版社 2003 391 机械研究与应用 2014 年第 5 期 第 27 卷 总第 133 期 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 综摇 摇 述 17 摇 王摇 品 李洪斌 李摇 刚 6 5 平台型并联机构的位置正解分析 J 机械科学与技术 2013 32 9 1385 1388 18 摇 赵迎祥 牛禄峰 基于结式消去法的并联机构位置解析 J 宝 鸡文理学院学报 自然科学版 2006 26 3 227 229 19 摇 吴宏章 钱瑞明 消元法在开链机器人运动学逆解中的应用 J 中国制造业信息化 2006 35 3 67 69 20 摇 刘惠林 张同庄 丁洪生 3 RPR 平面并联机构正解的吴方法 J 北京理工大学学报 2000 20 5 565 569 21 摇 王摇 品 廖启征 魏世民 基于吴方法的一种 7 杆巴氏桁架位移 分析研究 J 机械科学与技术 2006 25 6 748 752 22 摇魏世民 周晓光 廖启征 一种 9 杆巴氏衍架的装配形态研究 J 机械科学与技术 2004 23 8 962 965 23 摇 易摇 忠 高等代数与解析几何 下 M 北京 清华大学出版 社 2007 24 摇 张纪元 牛志纲 吴摇钢 机构极限位置的多项式解 J 南京 理工大学学报 2001 25 6 561 565 25 摇 杭鲁滨 王摇彦 邓辉宇 等 基于 Groebner 基的八面体变几 何桁架机构位置正解分析 J 机械科学与技术 2004 23 6 745 747 26 摇 雷经发 徐礼钜 林光春 基于 Groebner 基的平面五杆机构位 置分析符号解 J 四川大学学报 工程科学版 2004 36 2 81 85 27 摇 罗佑新 李晓峰 罗烈雷 等 混沌映射牛顿迭代法与平面并联 机构正解研究 J 机械设计与研究 2007 23 2 37 39 28 摇何哲明 一种 9 杆巴氏桁架位置正解的超混沌改进牛顿法 J 机械设计 2012 29 2 20 24 29 摇 刘安心 求多项式方程组全部解的连续法 J 工程兵工程学 院学报 1999 14 1 80 85 30 摇 董滨 张祥德 同伦算法在并联机器人运动学中的应用 J 应 用数学和力学 2001 22 12 1278 1283 31 摇 刘安心 杨廷力 连续法在机构运动综合中的应用 J 机