吸引子是动力学方程的解在相图中描绘出的轨迹终态集.pdf

2 吸引子吸引子 吸引子是动力学方程的解在相图中描绘出的轨迹终态集 它是动力学系统在相 空间中最后的稳定态 了解吸引子的描述及特征对认识混沌现象的全局特征从重要 意义 2 1 简单吸引子简单吸引子 阻尼振动是一个简单吸引子 这里 我们将详细分阻尼振动 了解其振动状态 和成为吸引子的全部过程 一 振动的运动分析一 振动的运动分析 如图 2 1 装置 物体在油中缓慢运动为典型的阻尼振子 可以通过改变图片 A 的大小来调整阻力 我们认为 振动速度较小时 阻力与速率成正比 xf 阻 按牛顿第二定律 xkxxm 2 1 并令 mm k 2 2 0 0 即振动系统的固有圆频率 称为阻尼因数 和振动系统 的性质以及媒质的性质有关 于是方程可写为 图 2 1 阻尼振动 2 2 02 2 0 xx 按照微分方程理论 对于一定的振动系统 可根据阻尼因数 大小之不同 由此动 力学方程解出三种可能的运动状态 1 弱阻尼状态 当阻力很小 以致 0 根据微分方程的理论可知 2 2 方程的解为 tt ececx 2 1 2 0 22 0 2 2 4 1 c和是由初始条件决定的常数 2 c 上式表明 随着时间的推移 质点的坐标单调地趋于零 质点的运动不仅不是 周期的 甚至不是往复的 将图 2 1 中的圆盘放在粘性较大的机油中便会发生这种 运动 将质点移开平衡位置而后释放 质点便慢慢地回到平衡位置停下来 这种运 动状态称为过阻尼状态 其位移时间曲线如图 2 2 b 所示 3 临界阻尼状态 如阻力的影响界于前两者之间 且 0 则方程 2 2 的解如下 t etCCx 21 2 5 1 C和亦为初始条件决定的常数 此式仍然不表示往复的运动 由于阻力较前者 为小 将质点移开平衡位置释放后 质点很快地回到平衡位置并停下来 这种运动 状态叫做临界阻尼状态 其位移时间曲线如图 2 2 b 所示 临界阻尼状态应用于实 际的例子是电流表的指针 在读完读数回到零点时 指针受到电磁阻尼 为了使指 针尽快地回到零点又避免往复摆动 应使指针的运动接近于临界阻尼状态 恰好处 于临界阻尼状态是比较困难的 为了避免指针运动处于过阻尼状态而妨碍它回到零 点 宁可使指针运动稍偏于弱阻尼状态 2 C 二 阻尼振动相图 简单吸引子二 阻尼振动相图 简单吸引子 式 2 2 可以写成另一种形式 令yx 则 2 2 式变为 xyy yx 2 0 2 2 6 为方便 使用极坐标转变 sin cos ry rx 那么 2 6 式变为 cossin2cossin sinsincos 2 0r rrr rrr 2 7 2 7 式中两式相除并整理 得到 d ctg ctg r dr sin 2 cos cos 2 sin 2 0 2 0 2 8 令 d ctg ctg f sin 2 cos cos 2 sin 2 0 2 0 则 2 8 式可表达为如下形式 df Cer 2 9 2 9 所表达的是速度和位置的极坐标示法 即相图 的极坐标表示法 显然 2 9 代表一种对由可螺线 如 图 2 3 无论从哪里出发 最后都趋向于中心 即中 心O点是个吸引子 它把相空间中的点都吸引上O点 上 点是一个不动点 故又称为不动点吸引子 对 照图 3 6 其物理含义是 振动都趋向于静止 阻尼振 动是一个线性系统 因此其运动情况下不复杂 注 积分是肯定能求解的 有兴趣的同学 O df 图 2 3 简单吸引子相图 可以先将些积分求出来 而后画出准确的吸收图 2 2 极限环极限环 极限环是另一个简单吸引子 Vander P01 方程 2 10 式 是在 1920 年作为简 单真空管振荡环提出的 0 22 xxxx 2 10 该模型与阻尼运动方程派相似 2 10 式中与 2 2 式中 2 x 2相当 其相图如图 2 4 当时 相当于阻尼振动中的阻尼为正情形 这时平衡矢稳 轨 线向外发散 渐近进逼进极限环 虚线图 即如图 2 4 中轨道 1 但这种情况只能 维持到不超过 0 2 x 3 2 3 奇异吸引子奇异吸引子 不动点吸引子和极限环 是平 庸吸引子 不动点吸引子表示系统 在时间 t时趋向于一个与时 间无关的定常态 即相空间中的一 个点 极限环则表示在时 系统作周期运动 只有稳定的极限 环才是吸引子 因此吸引子是一个 系统终态落在相空间上的一个子 t 图 2 4 极限环相图 集 在非线性系统中 存在另一光吸引子 它的性质有别于平庸吸引子 常称为怪 异吸引子 由于其常与混沌现象联系在一起 也叫混沌吸引子 洛伦茨收引子即为 其中一种 1963 年 洛伦茨在研究大气流时得到如下方程组 xyzz xzyxy yxx 3 8 28 1010 2 11 由方程组 2 11 可求得三个奇点 即当0 0 0 zyx 时 0 3 8 028 01010 xyz xzyx yx 有解 27 26 26 27 26 26 0 0 0 但这三个奇点都不稳定 对该 方程数值计算后发现 动力系统经一段时间的发展 暂态过程消失 运动轨道集中在一个有界的空 间区域中 此区域由两片构成 每片包含一个奇点 运动轨道在一片由外向内绕到中心附近 将会跳到另一片外缘继续向内绕 但什么时间从一边向另一边过渡 则是随机的 在同一区域 两个初始相差很小的轨道 也会随时间以指数形式很快分离 这个整体上的稳定性与局域上的不稳定性同时存在 导致混沌现象的出现 且 由于轨道不断折叠 返回 最后导致轨道的集合变成一种奇怪的几何体 故称之为 怪异吸引子 图 2 5 表示从洛伦茨方程获得的相空间轨道在xz平面上的投影 图的 右边 2 圈线 左边有 5 圈线 洛伦茨为绘制这 7 条曲线圈 需要在计算机上连续进 行 500 次的计算 和表示奇点 但是和点对于洛伦茨所选择的参数值是 不称稳定的 C CC C 图 2 5 洛伦茨吸引子相图 完整的洛伦茨吸引子如图 2 5 所示 总体由两个环套组成 看上去像一对腰子 其实每一环套都靠得很近的无穷多层 每层上都细密地排列着无穷多个