中科大史济怀数学分析课件 141-1412.pdf

250 第 14 章 多变量函数的微分学 第 14 章 多变量函数的微分学 14 1 方向导数和偏导数 14 1 方向导数和偏导数 方向和方向余弦方向和方向余弦 称 n 中的单位向量u 为一个方向 若 12 n 分 别是u 与坐标向量 12 n e ee 的夹角 则 12 cos cos cos n u 故 方向又称为方向余弦 定义 14 1定义 14 1 设f是非空开集 n D 上的函数 aD u 是 n 中的一 个方向 若 0 lim t f atuf a t 存在且有限 则将该极限记成 f a u 或 f au 称为f在a处沿方向u 的方向导数 显然 方向导数 f a u 与方 向u 有关 特别的 ff aa uu 定义 14 定义 14 1 通常将 k f a e 记成 k f a x 或 k f ax 或 k D f a 1 2 kn 称为f在a处关于 k x的 1 阶 偏导数 若非空开集 n D 上的函数f 在任意xD 处都存在 k f x x 则 k f x 也是D上的函数 称为f关于 k x 的 1 阶 偏导函数 命题 命题 k f a x 恰好是以 k x为自变量的函数 111 kkkkn f aaxaag x 在 k a处的导数 k g a 证 证 00 limlim kk kkk tt ff aa xe f atef ag atg a tt k g a 方 向 导 数 的 物 理 意 义 方 向 导 数 的 物 理 意 义 若 t x y z是 区 域 3 D 上 的 温 度 函 数 aD u 是 3 中的一个方向 则 t a u 恰是温度沿方向u 的 变化 率 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 设 3 中的曲面 zf x y 与平面 0 yy 相交成曲 线 1 与平面 0 xx 相交成曲线 2 那么 00 1 0 f x xy 便是 1 在 251 0000 xyf xy处 的 一 个 切 向 量 00 0 1 f y xy 便 是 2 在 0000 xyf xy处的一个切向量 练习题 14 1 练习题 14 1 110 P 2 3 4 5 3 6 1 5 8 12 252 14 2 多变量函数的微分 14 2 多变量函数的微分 定义 14 2 重要的概念 定义 14 2 重要的概念 设f是开集 n D 上的函数 aD 若存 在常向量 12 n n 使得 1 0 n kk k f ahf aho hh 则称f在a处可微分 并称以 n 为定义域 以 12 n dxdx dxdx 为 自变量的线性函数 1 n kk k dx 为f在a处的微分 记作 1 n kk k df adx 若f在D中的每个点处都可微分 则称f是D上的可微函数 此时 1 n kk k df xx dx 是D n 上以 x dx为自变量的2n元函数 定理 14 1定理 14 1 若多变量函数f在a处可微 则它必在a处连续 证 证 1 0 n kkk k f xf axao xaxa 命题1命题1 若n元函数f在a处可微 则所有的1阶偏导数 1 k f akn x 都存在 此时 1 k n k k f a x df adx 反之 结论可能不正确 见例 1 证 证 1 0 n kk k f ahf aho hh 00 limlim kk k k tt k to teff atef a a ett 故 k k f a x 例 1例 1 设 22 0 0 0 0 0 xy x y xyf x y x y 则 0 0 0 0 0 ff xy 显然f在 0 0 处不可微 因为f在 0 0 处不连续 证 证 略 微分的几何意义 微分的几何意义 设 zf x y 是 3 中的曲面 记 0000 Ox yf x y 将直角坐标系Oxyz平移得到新坐标系 O dx dy dz 那么 在新坐标 253 系 O dx dy dz 下 曲面 zf x y 的图像在 0000 Oxyf xy 处的切平面方程恰为 0000 ff dzxy dxxy dy xy 证 证 切平面的法向量之一是 00 1 0 f x xy 123 0000 00 0 1 det1 0 0 1 ff yx f y eee xyxy xy 0000 1 ff xy xyxy 故切平面的方程为 0000 0 ff xy dxxy dydz xy 多变量函数的Jacobi矩阵和梯度多变量函数的Jacobi矩阵和梯度 若n元函数f在a处的1阶偏导数 1 k f akn x 都存在 则记 12 n fff xxx aaaJ f a 称为f在a 处的 Jacobi 矩阵 记 12 12 n fff nxxx a ea ea egrad f af a 称为f在a处的梯度 其中 被称为 Hamilton 算子 于是 若f在a处 可微 则 df aJ f a dxgrad f adx 命题2命题2 若n元函数f在a处可微 则f在a处沿 n 中任意方向u 的方 向导数都存在 并且 f agrad f au u 反之 结论可能不成立 见例 2 证 证 当0t 时 有 f atuf agrad f atuo tu 故 0 lim t ff atuf a agrad f au ut 例 2例 2 设 2 42 0 0 0 0 0 x y x y f x yxy x y 则 2 1 2 2 0 0 0 fu u uu 2 0 0 0 0 f u u 显然f在 0 0 处不可微 因为f在 0 0 处不连 续 证 证 略 254 定理 14 2定理 14 2 n元函数f在a处可微 存在函数 k h 1 2 kn 0 lim k h h 0 使得 1 n kk k f ahf aJ f a hh h 证 证 令 2 0 0 0 f a hf aJf a h k h k hh h h 则 1 n kk k h h f ahf aJ f a h 并且 0 0 kk o hhh f a hf aJf a h khhhh hh 11 0 nn kkk kk h hhho hh 这说明f在a处 可微 定理 14 3 可微的充分条件 定理 14 3 可微的充分条件 设f是开集 n D 上的函数 aD 若 J f x在a的某个邻域上存在 并且在a处连续 则f必在a处可微 证 证 仅证2n 的情形 1122121122122 f ah ahf a af ah ahf a ah 12212 f a ahf a a 11 122112222 12 ff ah ah ha ah h xx 其中 1122 0 1 0 1hh 令 1 h 11 12212 11 ff ah aha a xx 2 h 12212 22 ff a aha a xx 则有 0 lim k h h 0 1 2 k 于是 111222 12 ff f ahf aa hh ha hh h xx 根据定理 14 2 f在a处可微 1 C函数 函数 设f是开集 n D 上的函数 若 J f x在D上处处存在 并 且处处连续 则称f是D上的 1 C函数 D上 1 C函数的全体用 1 C D表 255 示 于是 1 C函数 可微函数 连续函数 可微函数 各方向导数存在的函数 连续函数 与 各方向导数存在的函数 互不包含 微分用于近似计算微分用于近似计算 当xa 很小时 f xf aJ f axa 练习题 14 2 练习题 14 2 115 P 2 3 4 1 3 5 2 4 256 14 3 映射的微分 14 3 映射的微分 定义 14 4 定义 14 4 设f是从开集 n D 到 m 的映射 aD 若存在常数矩 阵 m n A 使得 0 f ahf aAho hh 则称f在a处可微分 并称以 n 为定义域 以 12 n dxdx dxdx 为 自变量的线性映射Adx为f在a处的微分 记作 df aAdx 若f在 D中的每个点处都可微分 则称f是从D到 m 的可微映射 此时 df xA x dx 是从D n 到 m 的以 x dx为自变量的2n元映射 命题命题 n元映射 12 m ffff 在a处可微分当且仅当每个分量函数 1 2 j fjm 在a处可微分 证 证 111111 1 0 n mmmmnn aaf ahf ah o hh fahfaaah 1 0 n jjjkk k fahfaa ho hh 1 2 jm 多变量映射的 Jacobi 矩阵多变量映射的 Jacobi 矩阵 若n元映射 12 m ffff 在a处的所 有 1 阶偏导数 1 1 k j f ajmkn x 都存在 则记 111 12 222 12 12 n n mmm n fff xxx fff xxx fff xxx aaa aaa aaa J f a 称为f在a处的 Jacobi 矩阵 于是 若f在a处可微分 则 df aJ f a dx 定理 14 4 可微的充分条件 定理 14 4 可微的充分条件 设f是从开集 n D 到 m 的映 射 aD 若 J f x在a的某个邻域上存在 并且在a处连续 则f必 在a处可微 257 证 证 因为 j J fx在a的某个邻域上存在 并且在a处连续 故 j f在a 处可微 1 2 jm 从而f在a处可微 练习题 14 3 练习题 14 3 118 P 2 3 4 6 7 8 258 14 4 复合求导 14 4 复合求导 引理 引理 对于 m nn Ah 一定有AhA h 证 证 记 1 jjjn aaa 则 11111 1 n mmnnm aaha h aahah 故 2 2222 2 11 mm jj jj Aha hahAh 定理 14 5 复合映射求导的链式法则 定理 14 5 复合映射求导的链式法则 设 nm DG 是开集 l fDG g G 是 映 射 若f在xD 处 可 微 分 g在 yf xG 处可微分 则复合映射 l g fD 在x处可微分 并且 J g fxJg f x J f x 证 证 记 kf xhf xJf x hu h 其中 0 u ho hh 则 g f xhg f xg ykg y Jg y kv k 其中 0 v ko kk 于是 g f xhg f xJg yJf x hu hv k Jg y Jf x hJg y u hv k Jg y u hv kJg yu hv k 0 0 v k Jg yu hJf xhu hk k Jg yu hk 由 00 limlim 0 hh kf xhf x 便知 0 lim0 h Jg y u hv k h 故 0 g f xhg f xJg y J f x ho hh 推论 14 推论 14 5 微分的形式不变性 微分的形式不变性 dg f xJg f x d f x 推论 14 推论 14 5 复合函数求导的链式法则 复合函数求导的链式法则 对于复合函数 1 n xx 111 nmn g f xxfxx 有 259 1 1 2 m j j kjk f g xf xxkn xyx 例 1 例 1 124 P 第 10 题 第 10 题 设 f x y z是 3 元函数 123 n n n 是 3 中三个互 相正交的方向 求证 2222 22 123 ffffff nnnxyz 证 证 112233 ff nnf nnf nn 123 123 fff nnn nnn 两边同时求长度的平方 就得到结论 例 2 例 2 124 P 第 8 题 第 8 题 设 f x y zF u v w 其中 22 xvw ywu 2 zuv 求证 fffFFF xyzuvw xyzuvw 证 证 令 tf tx ty tz 显然 tF tu tv tw 于是有 1 fff x y z xx y z yx y z z xyz 又有 1 FFF u v w uu v w vu v w w uvw 练习题 14 4 练习题 14 4 123 P 2 3 5 6 7 9 260 14 5 拟微分中值定理 14 5 拟微分中值定理 定理 10 7 多变量函数的微分中值定理 定理 10 7 多变量函数的微分中值定理 若f是凸区域 n D 上的 可微函数 则 a bD ab 必存在 a bD 使得 f bf aJfba 证 证 1 tft atb 是 0 1 上的单变量可微函数 故 0 1 使 得 1 0 f bf a 令 1 aba b 则有 Jfba 定理 10 8 单变量映射的拟微分中值定理 定理 10 8 单变量映射的拟微分中值定理 若单变量连续映射 m fa b 在 a b上可微 则必存在 a b 使得 f bf aJ fba 证 证 单变量函数 tf tf bf a 在 a b上连续 在 a b 上可微 故存在 a b 使得 baba 即 2 f bf aJ ff bf aba J ff bf aba 注记 10 注记 10 8 单变量映射不成立形如 f bf aJ fba 微 分中值定理 证 证 cos sin f ttt 在 0 2 上连续 在 0 2 上可微 但是 2 0 0 0 ff 20 sin cos 2 0 0 J f 定理 10 9 多变量映射的拟微分中值定理 定理 10 9 多变量映射的拟微分中值定理 若f是从凸区域 n D 到 m 的可微映射 则 a bD ab 必存在 a bD 使得 f bf aJ fba 证 证 单变量映射 1 tft atb 在 0 1 上可微 故 0 1 使 得 1 0 J 定理 10 8 令 1 aba b 则有 261 JJ fba 故 1 0 f bf a J fba 定理 10 10定理 10 10 设f是从区域 连通开集 n D 到 m 的可微映射 若 0J f 在D上成立 则f在D上是常向量 证 证 反证法 假定 a bD 使得 f af b 令 Ax Df xf a Bx Df xf a 则DAB 是非空无交并分解 对f应用拟 微分中值定理易知A是开集 由f的连续性易知B也是开集 这与D 的连通性相矛盾 定理 13 15 262 14 6 隐函数定理 14 6 隐函数定理 隐函数问题 隐函数问题 一 函数方程 1 0 n F xxy 在什么条件下能确保存 在一个n元函数 1 n yf xx 是函数方程 1 0 n F xxy 的解 即 11 0 nn F xxf xx 二 如何求出J f 即利用 F xy JFJ F 来表示J f 定理 14 12 隐函数定理 定理 14 12 隐函数定理 若 F x y是 1 n Ba b 上的 k C函数 即F的所有k阶偏导函数都连续 0F a b F y a b 0 则存在 n B a 上唯一一个 k C函数 yf x 使得 1 0F x f x 2 bf a 3 利用 0F x f x 所确定的矩阵方程 0 F xy J F x f xx f x J f x 能解出 1 F xy J f xx f xJ F x f x 证 证 隐函数定理的证明主要利用 导数判别函数的增减性 和 连续 函数的介值定理 很初等但也很罗嗦 这里省略 例 1例 1 设 zz x y 是由方程 x y z xyze 所确定的函数 求出 zz xy 解 解 在 x y z x y xyz x ye 中分别对 x y求偏导数 便得到 1 1 x y z x y zz x yex y xx 1 1 x y z x y zz x yex y yy 故 10 10 zz x yx y xy 从而 xyz x y 是常数 即 zz x y 就是平面xyzc 其中常数c满足1 c ce 263 例 2 例 2 研究由方程sinyyx 所确定的隐函数 yy x 其中 0 1 是常数 解 解 sinf yyy 是 上严格递增的C 函数 值域为 故其反 函数 1 fx 也是 上严格递增的C 函数 1 11 11 1cos fx ffxfx 这与隐函数定理的结论 cos 1y xy x y x 相一致 例 3 例 3 135 P 第 3 题 解 第 3 题 解 x y 意为由 0F x y z 所确定的隐函数 xx y z 关于y的偏导数 其它类似 由 0F x y zy z 可得0 FxF xyy 由 0F x y z x z 可得0 FyF yzz 由 0F x y z x y 可得0 FFz xzx 乘起来便有 FFFx yzFFF xyzyzxxyz 例 4例 4 方程 3 sinlog0 xyxy 能在 0 1 的附近确定唯一的隐函数y y x 满足 0 1y 并且 0 0 y 解 解 记 3 sinlogF x yxyxy 则 0 1 0F 0 1 1 F y 符合隐函 数定理的条件 故在 0 1 的附近确定唯一的隐函数 yy x 满足 0 1y 并且 1 0 0 1 0 1 0 FF y yx 练习题 14 6 练习题 14 6 134 P 1 2 2 1 3 4 5 6 264 14 7 隐映射定理 14 7 隐映射定理 隐映射问题 隐映射问题 一 函数方程组 111 11 0 0 0 nm mnm F xxyy F x y Fxxyy 在什么条件下能确保存在一个n元映射 111 1 n mmn f xxy yf x yfxx 是函数方程组 0F x y 的解 即 0F x f x 二 如何求出J f 即利用 xy JFJ F J F 来表示J f 定理 14 13 隐映射定理 定理 14 13 隐映射定理 若 F x y是从 n m Ba b 到 m 的 k C 映射 即每个 j F的所有k阶偏导函数都连续 1 jm 0F a b det y J F a b0 则存在从 n B a 到 m 的唯一一个 k C映 射 yf x 使得 1 0F x f x 2 bf a 3 利用 0F x f x 所确定的矩阵方程 0 xy J F x f xJ F x f x J f x 能解出 1 yx J f xJ F x f xJ F x f x 证 证 不妨设2m 因为 11 12 22 12 det det0 FF yy y FF yy a ba b J F a b a ba b 故 1 2 2 2 0 0 F y F y a b a b 可设 2 2 0 F y a b 由隐函数定理 存在 1 1 1 n Ba b 265 1 上唯一一个 k C函数 21 yg x y 使得 2112 0 F x y g x yb 1 g a b 22 21 1 1 1 FF yy g a ba ba b y 再考虑方程 111 F x y g x y 0 令 1111 G x yF x y g x y 则 1 G x y是 1 1 1 n Ba b 上的 k C 函数 11 1121 1111 0 FFg G yyyy G a bF a ba ba ba ba b 1 1 F y a b 11 12 1222 2212 22 12 11 det0 FF yy FFFF yyyy FF yy a ba b a ba ba ba b a ba b 再 由隐函数定理 存在 n B a 1 上唯一一个 k C函数 11 yf x 使得 111111 0 G x f xF x f xg x f xbf a 令 22 yfx 1 g x f x 则 11 22 yf x yfx 是 B a 上的 k C映射 满足 112 212 0 0 F x f xfx F x f xfx 11 22 bf a bfa 例 例 143 P 第 5 题 解 第 5 题 解 将 uu x y vv x y ww x y 代入方程组 并对方程组两 边关于 x y求 Jacobi 矩阵 便得 2 0 02 1 00 0 0 2 2 0 0 0 1 1 10 00 0 uu xy vv xy ww xy 2 0 02 1 0 2 2 0 0 1 1 10 0 uu xy vv xy ww xy 12 6 4 0 0 0 uu xy vv xy ww xy 练习题 14 7 练习题 14 7 142 P 2 3 4 6 266 14 8 逆映射定理 14 8 逆映射定理 同胚映射 同胚映射 设 n E 是非空点集 m fE 是单射 若f在E上连 续 1 f 在 f E上连续 则称f是从E到 f E上的同胚映射 并称E与 f E同胚 注记注记 若mn 则 n 中的区域与 m 中的区域一定不同胚 邻域 邻域 设 n a 若开集 n U 含有a 则称U是a的一个邻域 定理 14 14 局部逆映射定理 定理 14 14 局部逆映射定理 设f是从开集 n D 到 n 的 k C映 射 aD 若det 0J f a 则存在a的邻域UD 和 bf a 的邻域 Vf D 使得 1 Uf是从U到V上的 k C同胚映射 即 Uf和 1 U f 都是 k C映 射 2 11 UU J fyJ fx yf xV 证 证 对方程组 11 0 0 nn f xy fxy 应用隐映射定理即得到结论 细节省 略 推论 14 1推论 14 1 4 设f是从开集 n D 到 n 的 k C映射 若xD 都有 det 0J f x 则 Gf D 是 n 中的开集 定理 14 15 整体逆映射定理 定理 14 15 整体逆映射定理 设f是从开集 n D 到 n 的 k C单 射 并且xD 都有det 0J f x 则 1 f是从D到 f D上的 k C同胚映射 2 11 J fyJ f x yf xf D 证 证 由局部逆映射定理及其推论 练习题 14 8 练习题 14 8 147 P 1 2 267 14 9 高阶偏导数 14 9 高阶偏导数 高阶偏导数 高阶偏导数 对n元函数f可定义n个 1 阶偏导函数 1 i f in x 2 n个 2 阶偏导函数 2 1 ijij ff i jn ij x xxx 和 2 2 iii ff xxx 1 in 类似地 可定义 k n个k阶偏导函数 定理 14 16 定理 14 16 设f是开集 n D 上的函数 aD 若 2 ij f x x 和 2 ji f xx 都在a的某个邻域上存在 并且在a处连续 则 22 ijji ff aa x xxx 证 证 不妨设2n 对充分小的常数 12 0h h 令 211212 xf ah xf a x 112212 xf x ahf x a 则 2221122122 ahaf ah ahf a ah 11212111 f ah af a aaha 一方面 2222222 ahaah h 1122212222 22 ff ah aha ahh xx 2 11 12221 212 12 0 1 f ah ah hh x x 另一方面 11111 11 ahaah h 11 12211 121 11 ff ah ahah ah xx 2 11 12221 212 21 0 1 f ah ah hh xx 于是 22 11 122211 1222 1221 ff ah ahah ah x xxx 令 12 0 0 h h 就得到 22 1212 1221 ff a aa a x xxx 268 定理 14 1定理 14 1 6 若n元函数f的两个k阶偏导函数都在a处连续 仅仅 是求导次序不同 则这两个k阶偏导函数在a处相等 注记 14 1注记 14 1 6 若n元函数f的所有k阶偏导函数都在a处连续 则f 在a处的k阶偏导数的全体便是 12 12 n iii n k xxx f a 1 0 i 2 n iik 1 i 2 n iik 一共有 1 1 n k n C 个 证 证 f在a处的所有k阶偏导数的个数 1 k n xx 所含单项式的 个数 下面对自变量的个数n应用数学归纳法 1个自变量时 1 k x所含 单项式的个数为 1 结论成立 假定1n 个自变量时 11 k n xx 所 含单项式的个数为 2 2 n k n C 于是 1 k n xx 所含单项式的个数 11 0 k ik ii knn i C xxx 所含单项式的个数 2 2 0 k n i n i C 因为 1 1 1 1 0 1 1 1 nknn k n k Cxxxx 22 22 0000 k nijnk i ni n ijki CxxCx 故 21 21 0 k nn i nk n i CC 这说明n个自变量时 结论也成立 例 1 例 1 154 P 第 6 题 解 第 6 题 解 1 2 2 0 uu f y z xx 0 uf y z xuf y z xg y z x 故 u x y zf y z xg y z 2 2 1 0 uu fy z x yy 269 11 0 ufy z dyufy z dyg z x y 故 u x y zf y zg z x 3 3 11 0 uu fy zg z x x y zz 11 0ufy z dzg z x dz z 11 ufy z dzg z x dzh x y 故 u x y zf y zg z xh x y 例 2 例 2 设 zf x yxu vyu vz u vfu vu v 求 222 22 zzz u vu vu v uu vv 解 解 仅求出 2 2 z u v u zff uxuyu 2222 222 zfff uxux yuuxu 222 22 fff x yuyuuyu 22 22222 2222 2 fffff xux yuuyuxuyu 练习题 14 9 练习题 14 9 153 P 1 3 10 2 4 5 270 14 10 Taylor 公式 14 10 Taylor 公式 本节内容可用于函数估计 极值判断 近似计算等 具有较高的 理论价值 引理 14 1 推广的二项式定理 引理 14 1 推广的二项式定理 对于 1 n n k 和x 1 n n xx 有如下的多项式展开 1 1 11 1 n n k nn kk n kk xxxxx 证 证 对n应用数学归纳法 定理 14 17 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式 定理 14 17 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式 设 n D 是凸区域 若f是D上的 1m C 函数 则 a xD xa 必 a xD 使得 1 011 11 1 km mnn jjjj kjj jj f xxaf axaf kxmx 1 01 11 kmm kkm ff axaxa xx 证 证 1 tft atx 是 0 1 上的 1m C 函数 故存在 0 1 使得 1 0 11 1 0 1 m km k km 由 1 1 n jj j j df tt atx xa dtx 1 1 n jj j j xaft atx x 可得 1 1 k kn jj k j j d txaft atx dtx 故 1 0 k n k jj j j xaf a x 0 1 km 1 1 1 m n m jj j j xaf x 1 ax 带入前式即得到结论 271 注记 14 1注记 14 17 1 n f xx 在 1 n aaa 处的 Taylor 展开式的前三 项为 1111 11 1 2 nn nnnn xaxa J f axaxaHf a xaxa f xf a 其中 2 ij H f a f a x x 是n阶对称方阵 称为f在a处的Hessian方 阵 定理14 18 带Peano余项的Taylor公式 定理14 18 带Peano余项的Taylor公式 若 1 n f xx 是a的邻域 上的 m C函数 则 01 1 k mn m jj kj j f xxaf ao xa kx 0 1 km m kk f axao xaxa x 证 证 xa tf at xa 在0t 处m阶可导 故 0 1 0 0 0 m kkm k tttt k 由 1 n jj j j xa dfxa tat dtxxaxa 1 1 n jj j j xa xaf at xaxxa 可得 1 1 k kn jjk k j j dxa txaf at dtxxa xa 故 1 1 0 k n k jjk j j xaf a x xa 0 1 km 将txa 带入前式即得到结论 Taylor 公式用于近似计算Taylor 公式用于近似计算 当xa 很小时 01 1 k mn jj kj j f xxaf a kx 272 14 11 极值 14 11 极值 定义 14 7 定义 14 7 设n元函数f在a的邻域上有定义 若0 使得 n xBa 成立 f xf a 则称 f a是f的一个极大值 a是 f的一个极大值点 类似地 可以定义f的极小值和极小值点 f的 极大值和极小值统称为f的极值 f的极大值点和极小值点统称为f 的极值点 定理 14 19 极值点的必要条件 定理 14 19 极值点的必要条件 若a是n元函数f的极值点 并且 J f a存在 则a是f的一个驻点 即 0J f a 证 证 单变量函数 111 kkn tf aat aa 在 k a处取得极值 故 0 k k f aa x 注记 14 1注记 14 1 9 驻点可能不是极值点 例如 f x yxy 以 0 0 为驻点 但 0 0 并非是f的极值点 例1 例1 135 P 第6题 解 第6题 解 8 的交点是方程组的一组解 否则与隐函数 定理中解的唯一性相矛盾 函数F在 8 的每个 圆盘 中都至少 有一个极值点 这两个极值点便是方程组的两组解 故方程组至少有 三组解 定理 14 23 极值点的充分条件 定理 14 23 极值点的充分条件 若f是a的邻域上的 2 C函数 0J f a 则 1 若 0Hf a 即 Hf a正定 则 f a是f的严格极小值 2 若 0Hf a 即 Hf a 正定 则 f a是f的严格极大值 3 其它情形时 各种可能性都有 证 证 1 单位球面 1 0 B 是紧集 1 0 min 0 B H f aM 由 21 2 0 J f aHf af ahf ahhho hh 273 可得 2 22 1 2 0 o hf ahf a Mh hh 故0 使得 0 0 hB 成立 2 1 3 0 f ahf a M h 这说 明 f a是f的严格极小值 2 证明与 1 类似 3 0Hf a 和 0Hf a 以外的情形 易举例说明各种可能都有 例 2 最小二乘法 例 2 最小二乘法 设平面上n个彼此不同的点 2 1 ii x yin 不同时位于一条平行于y轴的直线上 求一条直线 00 ya xb 使得误 差 2 00 1 n ii i a xby 最小 在实际问题中 就是求线性函数与测量数 据误差最小 解 解 问题为求 2 元函数 2 1 n ii i F a baxby 的最小值 令 1 2 0 n iii i F a baxby x a 1 2 0 n ii i F a baxby b 可得二元一次方程组 2 111 11 nnn iiii iii nn ii ii xaxbx y xanby 因为n个点 2 1 ii x yin 不同时位于一条平行于y轴的直线 上 故向量 12 n xx xx 与1 1 1 1 不平行 从而 2 2 2 22 11 1 1 0 nn ii ii xxnxx 这说明上述二元一次方程组有唯一的解 00 a b它就是函数F的驻点 此外 向量 00 1 ab 与 11 nn ii ii xy n 和 2 111 nnn iiii iii xx yx 都正交 274 易算出 2 11 00 1 2 2 0 2 2 nn ii ii n i i xx HF a b xn 故 00 F a b是函数F的最小值 下面求出直线 00 ya xb 易看出 点 x y位于直线 00 ya xb 上 1 x y与 00 1 ab 正交 1 x y 11 nn ii ii xy n 2 111 nnn iiii iii xx yx 共面 2 111 11 1 det 0 nnn iiii iii nn ii ii xx yx xy xyn 这就是所求直线的方程 练习题 14 11 练习题 14 11 167 P 2 4 275 14 12 条件极值 14 12 条件极值 本节内容可用于解决实际问题和得到一些有用的不等式 条件极值问题 条件极值问