河南省许昌市长葛一中高三数学上学期第一次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年河南省许昌市长葛一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集u=0，1，2，3，4，集合a=1，2，3，b=2，4，则（ua）b为( )a1，2，4b2，3，4c0，2，4d0，2，3，42复数（i是虚数单位）的模等于( )ab10cd53下列命题中的假命题是( )axr，lgx=0bxr，tanx=0cxr，2x0dxr，x204已知=（a，2），=（1，1a），且，则a=( )a1b2或1c2d25已知角2的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（），且29下列命题中正确的是( )a函数y=sinx，x是奇函数b函数在区间上是单调递增的c函数的最小值是1d函数y=sinxcosx是最小正周期为2的奇函数10如图，设d是图中边长分别为1和2的矩形区域，e是d内位于函数y=（x0）图象下方的区域（阴影部分），从d内随机取一个点m，则点m取自e内的概率为( )abcd11已知抛物线与双曲线有共同的焦点f，o为坐标原点，p在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为( )abcd12已知函数，则下列关于函数y=f+1的零点个数的判断正确的是( )a当k0时，有3个零点；当k0时，有2个零点b当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点c无论k为何值，均有2个零点d无论k为何值，均有4个零点二、填空题（将答案填在答题卡的相应位置上，满分20分）13求展开式的x2项的系数是_14已知x，y满足条件，则z=x+3y的最大值是_15已知四面体pabc的外接球的球心o在ab上，且po平面abc，2ac=ab，若四面体pabc的体积为，则该球的体积为_16在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且，当tan（ab）取最大值时，角c的值为_三、解答题（写出必要的解答和证明过程）17已知数列an前n项和为sn，满足sn=n2ann2（n1），a1=（1）令bn=sn，证明：bnbn1=n（n2）；（2）在问题（1）的条件下求an的通项公式18口袋里装有7个大小相同的小球，其中三个标有数字1，两个标有数字2，一个标有数字3，一个标有数字4（） 第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为当为何值时，其发生的概率最大？说明理由；（） 第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为求的分布列和数学期望19如图，四棱锥pabcd的底面是正方形，pd底面abcd，点e在棱pb上（）求证：平面aec平面pdb；（）当，且直线ae与平面pbd成角为45时，确定点e的位置，即求出的值20已知椭圆+=1（ab0）右顶点与右焦点的距离为1，短轴长为2（）求椭圆的方程；（）过左焦点f的直线与椭圆分别交于a、b两点，若三角形oab的面积为，求直线ab的方程21已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）利用1）的结论求解不等式2|lnx|x1|并利用不等式结论比较ln2（1+x）与的大小（3）若不等式对任意nn*都成立，求a的最大值请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，abc内接于o，ab是o的直径，pa是过点a的直线，且pac=abc（） 求证：pa是o的切线；（）如果弦cd交ab于点e，ac=8，ce：ed=6：5，ae：eb=2：3，求sinbce选修4-4：坐标系与参数方程23选修44：坐标系与参数方程将圆x2+y2=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作c；将直线3x2y8=0绕原点逆时针旋转90所得直线记作l（i）求直线l与曲线c的方程；（ii）求c上的点到直线l的最大距离选修4-5：不等式选讲24设关于x的不等式|x1|ax（1）若a=2，解上述不等式；（2）若上述的不等式有解，求实数a的取值范围2015-2016学年河南省许昌市长葛一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集u=0，1，2，3，4，集合a=1，2，3，b=2，4，则（ua）b为( )a1，2，4b2，3，4c0，2，4d0，2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】找出全集u中不属于a的元素，求出a的补集，找出既属于a补集又属于b的元素，确定出所求的集合【解答】解：全集u=0，1，2，3，4，集合a=1，2，3，cua=0，4，又b=2，4，则（cua）b=0，2，4故选c【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2复数（i是虚数单位）的模等于( )ab10cd5【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模【解答】解：=1+=3+i，故模为；故选：a【点评】本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法；属于基础题3下列命题中的假命题是( )axr，lgx=0bxr，tanx=0cxr，2x0dxr，x20【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】举例说明是a、b真命题，根据指数函数的定义与性质，判断c是真命题；举例说明d是假命题【解答】解：对于a，x=1时，lg1=0，a是真命题；对于b，x=0时，tan0=0，b是真命题；对于c，xr，2x0，c是真命题；对于d，当x=0时，x2=0，d是假命题故选：d【点评】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目4已知=（a，2），=（1，1a），且，则a=( )a1b2或1c2d2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】平面向量及应用【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可【解答】解：=（a，2），=（1，1a），且，a（1a）（2）1=0，化简得a2a2=0，解得a=2或a=1；a的值是2或1故选：b【点评】本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目5已知角2的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（），且2a2b1cd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1；所以，该三棱柱的体积为v=sh=111=故选：c【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目8程序框图表示求式子2353113233473953的值，则判断框内可以填的条件为( )ai90？bi100？ci200？di300？【考点】循环结构【专题】图表型【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果，从而得出所求【解答】解：根据题意可知该循环体运行情况如下：第1次：s=123，i=12+1=5第2次：s=2353，i=52+1=11第3次：s=2353113，i=112+1=23第4次：s=2353113233，i=232+1=47第5次：s=2353113233473，i=472+1=95第6次：s=2353113233473953，i=952+1=191因为输出结果是2353113233473953的值，结束循环，判断框应该是i100？故选b【点评】本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及周期性的运用，属于基础题新课改地区高考常考题型也可以利用循环的规律求解9下列命题中正确的是( )a函数y=sinx，x是奇函数b函数在区间上是单调递增的c函数的最小值是1d函数y=sinxcosx是最小正周期为2的奇函数【考点】命题的真假判断与应用【专题】三角函数的图像与性质【分析】a：利用奇函数的定义域必须关于原点对称，可得a不正确b：由x得出的取值范围，再利用正弦函数的单调性进行判断c：利用诱导公式化简函数的解析式为 y=2sin（x），再根据正弦函数的值域求出它的最小值d：利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为sin2x，从而得到函数的周期性和奇偶性【解答】解：对于a：由于函数y=sinx，x 的定义域不关于原点对称，故它不奇函数，故a不正确b：由x得出（，），正弦函数f（x）=sinx在（，）上是增函数，函数在区间上是单调递减的，故b错误c：由于函数=，它的最小值是1，正确d：由函数y=sinxcosx=sin2x，它是最小正周期为1的奇函数，故d不正确故选c【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性与求法，正弦函数的奇偶性，属于中档题10如图，设d是图中边长分别为1和2的矩形区域，e是d内位于函数y=（x0）图象下方的区域（阴影部分），从d内随机取一个点m，则点m取自e内的概率为( )abcd【考点】定积分；几何概型【专题】计算题【分析】先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求【解答】解：本题是几何概型问题，区域e的面积为：s=2=1+=1ln=1+ln2“该点在e中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得p=故选c【点评】本题综合考查了反比例函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想属于基础题11已知抛物线与双曲线有共同的焦点f，o为坐标原点，p在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为( )abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】抛物线，可得x2=8y，焦点f为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值【解答】解：抛物线，可得x2=8y，焦点f为（0，2），则双曲线的c=2，则a2=3，即双曲线方程为，设p（m，n）（n），则n23m2=3，m2=n21，则=（m，n）（m，n2）=m2+n22n=n21+n22n=（n）2，因为n，故当n=时取得最小值，最小值为32，故选：a【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题12已知函数，则下列关于函数y=f+1的零点个数的判断正确的是( )a当k0时，有3个零点；当k0时，有2个零点b当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点c无论k为何值，均有2个零点d无论k为何值，均有4个零点【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；压轴题【分析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x）+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x）+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x）+1的零点个数；【解答】解：分四种情况讨论（1）x1时，lnx0，y=f（f（x）+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=1；（2）0x1时，lnx0，y=f（f（x）+1=klnx+1，则k0时，有一个零点，k0时，klnx+10没有零点；（3）若x0，kx+10时，y=f（f（x）+1=k2x+k+1，则k0时，kx1，k2xk，可得k2x+k0，y有一个零点，若k0时，则k2x+k0，y没有零点，（4）若x0，kx+10时，y=f（f（x）+1=ln（kx+1）+1，则k0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k0时kx0，y没有零点，综上可知，当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点；故选b【点评】本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f（x）+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题；二、填空题（将答案填在答题卡的相应位置上，满分20分）13求展开式的x2项的系数是1【考点】二项式系数的性质【专题】计算题【分析】先求出展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，可得展开式的x2项的系数的值【解答】解：由于展开式的通项公式为 tr+1=34r，令 =2，可得 r=4，故展开式的x2项的系数是 =1，故答案为 1【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14已知x，y满足条件，则z=x+3y的最大值是10【考点】简单线性规划【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】由x，y满足条件，作出可行域，利用角点法能求出z=x+3y的最大值【解答】解：由x，y满足条件，作出可行域：z=x+3y，a（，0），za=；解方程组，得b（1，3），zb=1+33=10；c（0，2），zc=0+32=6；o（0，0），zo=0故z=x+3y的最大值是10故答案为：10【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解15已知四面体pabc的外接球的球心o在ab上，且po平面abc，2ac=ab，若四面体pabc的体积为，则该球的体积为4【考点】球的体积和表面积【专题】空间位置关系与距离【分析】设该球的半径为r，则ab=2r，2ac=ab=2r，故ac=r，由于ab是球的直径，所以abc在大圆所在平面内且有acbc，由此能求出球的体积【解答】解：设该球的半径为r，则ab=2r，2ac=ab=2r，ac=r，由于ab是球的直径，所以abc在大圆所在平面内且有acbc，在rtabc中，由勾股定理，得：bc2=ab2ac2=r2，所以rtabc面积s=bcac=r2，又po平面abc，且po=r，四面体pabc的体积为，vpabc=rr2=，即r3=9，r3=3，所以：球的体积v球=r3=3=4故答案为：【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题16在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且，当tan（ab）取最大值时，角c的值为【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理的应用【专题】压轴题；三角函数的求值【分析】利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到tana=3tanb，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（ab），将tana=3tanb代入，利用基本不等式变形，求出tan（ab）取得最大值时tana与tanb的值，进而确定出a与b的度数，即可此时得到c的度数【解答】解：利用正弦定理化简已知的等式得：sinacosbsinbcosa=sinc=sin（a+b）=（sinacosb+cosasinb），整理得：sinacosb=3cosasinb，两边除以cosacosb得：tana=3tanb，则tan（ab）=，a、b是三角形内角，且tana与tanb同号，a、b都是锐角，即tana0，tanb0，3tanb+2，当且仅当3tanb=，即tanb=时取等号，tana=3tanb=，a=，b=，则c=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键三、解答题（写出必要的解答和证明过程）17已知数列an前n项和为sn，满足sn=n2ann2（n1），a1=（1）令bn=sn，证明：bnbn1=n（n2）；（2）在问题（1）的条件下求an的通项公式【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由sn=n2ann2（n1），且a1=，用迭代法能求出（n21）sn=，再由bn=sn，能确定bn与bn1（n2）的关系；（2）由（1）知bnb1=n+（n1）+2=1，故，由此求出sn，从而能求出an的通项公式【解答】（1）证明：sn=n2ann2（n1），且a1=，当n2时，有an=snsn1，n2（n1），即（n21）sn=，bn=sn，则化简得：bnbn1=n；（2）由（1）知bnb1=n+（n1）+2=1，b1=2s1=1，=，an=snsn1=，当n=1时上式成立，故【点评】本题考查数列的递推公式的应用，注意迭代法和等价转化思想的灵活运用，是中档题18口袋里装有7个大小相同的小球，其中三个标有数字1，两个标有数字2，一个标有数字3，一个标有数字4（） 第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为当为何值时，其发生的概率最大？说明理由；（） 第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率【专题】计算题；概率与统计【分析】（）由题设知可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，由题设条件分别求出p（=2），p（=3），p（=4），p（=5），p（=6），p（=7），p（=8），由此求出当为3时，其发生的概率最大（）由题设知可能的取值为2，3，4，5，6，7，分别求出p（=2），p（=3），p（=4），p（=5），p（=6），p（=7），由此能求出的分布列和e（）【解答】解：（）由题设知可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，所以当为3时，其发生的概率最大（）由题设知可能的取值为2，3，4，5，6，7，p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=，p（=5）=，p（=6）=，p（=7）=，的分布列为：e（）=2+3+4+5+6+7=4【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的合理运用19如图，四棱锥pabcd的底面是正方形，pd底面abcd，点e在棱pb上（）求证：平面aec平面pdb；（）当，且直线ae与平面pbd成角为45时，确定点e的位置，即求出的值【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】（）设ac交bd于o，连接oe，由pd平面abcd，知pdac，由bdac，知ac平面pbd，由此能够证明平面ace平面pbd（）法一：由平面ace平面pbd，知aopbd，由直线ae与平面pbd成角为45，知aeo=45，由此能够求出法二：以da为x轴，dc为y轴，dp为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出的值【解答】解：（）设ac交bd于o，连接oe，pd平面abcd，pdac，bdac，ac平面pbd，又ac平面aec，平面ace平面pbd（）（方法一）平面ace平面pbd，平面ace平面pbd=bdaobdao面pbd，直线ae与平面pbd成角为45，aeo=45，设，则oe=1，（方法二）以da为x轴，dc为y轴，dp为z轴建立空间直角坐标系，如图 平面bde法向量为，设，令，则，得或=1（舍），【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查点的位置的确定解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养20已知椭圆+=1（ab0）右顶点与右焦点的距离为1，短轴长为2（）求椭圆的方程；（）过左焦点f的直线与椭圆分别交于a、b两点，若三角形oab的面积为，求直线ab的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】综合题【分析】（）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（）当直线ab与x轴垂直时，此时不符合题意；当直线ab与x轴不垂直时，设直线 ab的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线ab的方程【解答】解：（）由题意，解得即椭圆方程为（）当直线ab与x轴垂直时，此时s=不符合题意，故舍掉；当直线ab与x轴不垂直时，设直线 ab的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k26）=0设a（x1，y1），b（x2，y2），则，所以 原点到直线的ab距离，所以三角形的面积由可得k2=2，所以直线或【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键21已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）利用1）的结论求解不等式2|lnx|x1|并利用不等式结论比较ln2（1+x）与的大小（3）若不等式对任意nn*都成立，求a的最大值【考点】指数函数单调性的应用【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想【分析】先求函数的定义域（1）对函数求导，利用导数在区间（0，+）的符号判断函数的单调性（2）根据题目中式子的结构，结合（1）中单调性的结论可考虑讨论x1，f（x）f（1）=00x1，f（x）f（1）=0两种情况对原不等式进行求解（3）若不等式对任意nn*都成立a恒成立构造函数g（x）=，利用导数判断该函数的单调性，从而求解函数的最小值，即可求解a的值【解答】解：（1），定义域x|x0f（x）在（0，+）上是减函数（2）对当x1时，原不等式变为由（1）结论，x1时，f（x）f（1）=0，即成立当0x1时，原不等式变为，即由（1）结论0x1时，f（x）f（1）=0，综上得，所求不等式的解集是x|x0x0时，即，用（其中x1）代入上式中的x，可得（3）结论：a的最大值为nn*，取，则x（0，1，设，g（x）递减，x=1时a的最大值为【点评】本题主要考查了利用导数判断对数函数的单调性，利用单调性解对数不等式，函数的恒成立问题的求解，综合考查了函数的知识的运用，要求考生具备综合解决问题的能力请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，abc内接于o，ab是o的直径，pa是过点a的直线，且pac=abc（） 求证：pa是o的切线；（）如果弦cd交ab于点e，ac=8，ce：ed=6：5，ae：eb=2：3，求sinbce【考点】与圆有关的比例线段【专题】计算题；直线与圆【分析】（）由ab为直径，知，由此能证明pa为圆的切线（）设ce=6k，ed=5k，ae=2m，eb=3m，由aeeb=ceed，得m=k，由aecdeb，cebaed，能求出ab=10，由此能求出sinbce【解答】（）证明：ab为直径，paab，ab为直径，pa为圆的切线（）解：ce=6k，ed=5k，ae=2m，eb=3m，aeeb=ceed，m=k，aecd