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2002年第 10期数学通报 数学问题解答 2002年 9月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 1391已知实数 a,b,c满足不等式 | b-c| 3 | a| ,| c-a| 3 | b| ,| a-b| 3 |c |,求证 :a+b+c = 0. (南昌大学附中宋庆 330029)证明因为 a,b,c R,| b-c| 3 | a|,所以 (b-c) 2 3 a 2 ,所以 3 a 2 -b2 -c 2 + 2 bc 0 ,同理得 3 b2 -c 2 -a 2 + 2 ca 0 , b23 c 2 -a 2 -+ 2 ab 0 ,以上三式相加 ,便得 22 a +b2 +c+ 2 bc + 2 ca + 2 ab 0 ,求该数列前 n项和 Sn. 徐世震214400)解因为 an= n 3 (n 2 -i2) 2 所以 Sn i= 1 = (n+ 99) 2 (n + 98) 2 3(n + 1) 2 n (n-1) 2 (n -98) 2 (n -99) 2 = 1 (n + 100) 2 -(n400100) 2 (n + 99) 2 (n + 298) 2 (n+ 1) 2 n (n -1) 2 (n -98) 2 (n 99) 2 .Sn-1 = 1 (n + 100) 2 (n + 99) 2 (n400 2+ 98) 2 (n + 1) 2 n (n -1) 2 (n 98) 2 (n -99) 2 -1 (n +400 99) 2 (n + 98) 2 (n + 21) 2 n (n-1) 2 (n -98) 2 (n -99) 2 (n 100) 2 .即得 Sn -1 (n + 100) 2 (n + 99) 2 (n + 98) 2 400 2 (n(n + 1) 2 n -1) 2 (n 98) 2 (n -99) 2 = Sn-1 -1 (n+ 99) 2 (n+ 98) 2 (n400 + 1) 2 n 2 (n -1) 2 (n -98) 2 (n 99) 2 (n -100) 2 ,1所以新数列 Sn -400 (n + 100) 2 (n + 99) 2 (n + 98) 2 (n + 1) 2 n 2 (n -1) 2 (n -98) 2 1(n -99) 2 是常数数列 ,其首项为 S1 -400 0 = 0 -0 = 0.2 即 Sn= n (n+ 100) 2 (n 2 400 i= 1 1393求函数 y=x 4 -12 x 3 + 68 x 2 832 (x R)的最小值 . (湖南长沙市明德中学陈世明 410008)解y=x 4 -12 x 3 + 68 x 2 -192 x+ 832 2 =(x + 42)(x -6) 2 + 42 构造点 A(x,4) ,B (0 ,0) ,C (6 ,0),则 y =| AB| 2 | AC| 2 = 于是求 y的最小值转化为 :在ABC中 ,已知 | BC| = 6 ,BC边上的高为 4 ,求 | AB| AC|的最小值 (如图 1所示 )又在 ABC中 ,S ABC 1 = | AB| AC| sinA, 2 1S ABC = 6 4 = 122 1 98) 2 (n i2) 2 . -192 x+ (| AB | AC| ) 2 (1)所以 2 | AB | AC| sinA= 12所以 | AB| AC| = sin24 A所以求 | AB| AC|的最小值 ,又只须求 sinA的最大值 . 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2002年第 10期数学通报 48 (1)当 x 6时 , kAB = 4 x ,kAC = x 4 -6E, F,G,H,P在A1 A2 ,A2 A3 ,A3 A4 ,A4 A1上的射影分别为 E,F,G,H,作 O的直径 PM ,连结 kAC -kAB x 4 -6 -4 x PG, GM ,如图 .设 GPM = , O的半径为 r,则 所以 tgA= 1 + kAC kAB = 16 =d3 = 2 rcos 2,d4 = 2 rcos 2 - ,1 + 4 x(x -6) 2 + ,d1 = 2 rcos - ,24 = 24 24 ,当且仅当 d2 = 2 rcos 2 4 2 x(x -6)+ 16 (x -3) 2 + 77 x= 3时 ,等号成立 .则 d21 +d22 +d23 +d42 24 4+ + 4 r 2cos 又 OA = 4 r cos 2 - + 4 r 2cos 4 4 所以 OA arctan 24 7 + 4 r 2cos 4 -4 2(2)当 x -2) 2 + 1 + cos + 2所示 ,则 2 26 tgA= = + 1 + cos -24 2 所以 A= cos( -2)+ cos + 2 + cos22 24 arctan 2)7 .2 -224 2arctan 7 3时等号成立 .1 + cos(2 -4) +1 + cos( + 4) 当 x= 3时 ,等号成立 .d3 +d3 +d3 +d3 123424 所以 sinA的最大值为 25.= 8 r 3 6 6 6cos - + cos + + cos 2 4 于是由 得 | AB | AC| min =24 = 256 24 -+ cos 425 3故由 知 ,y的最小值为 ymin = 252 = 625 ,此1 + cos + 22时 x= 3. =r 1 + cos( -2)3 + 31394正方形 A1 A2 A3 A4的中心为 O, O在正方+1 + cos23 + 1 + cos -22 形 A1 A2 A3 A4内部 ,P为 O上任一点 ,P至A1 A2 , 515 3 + cos ( -2)+ cos(2 -4)A2 A3 ,A3 A4 ,A4 A1的距离分别为 d1 ,d2 ,d3 ,d4 ,则 =r 24 2 d31 +d32 +d33 +d34对于给定的 O而言为定值 .+ 1 cos(3 -6)+ 5 15 + cos + 224 2(江苏如皋市教师进修学校徐道4 226500)+ 3 cos( + 4)+ 1 cos 3 + 62证明1先证 O恰为正方形 A1 A2 A3 A42515 34 1的内切圆时 d1 +d2 +d3 + + cos2 + cos4 + cos6 d4、d21 +d22 +d23 +d42 、d31 + 24 2 4 5 15 3 + + cos -2 + cos ( -4)d32 +d33 +d43 均为定值 .24 2 2 显然 ,d1 +d2 +d3 +d4+ 1 cos -63 4 2 我们设 O分别切 = 10 r 3为定值 . A1 A2 ,A2 A3 ,A3 A4 ,A4 A1于 2再证 O不是正方形 A1 A2 A3 A4的内切 为定值 . 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 圆时结论也成立.作O的外切正方形 A 1 A 2 A 3 A 4 ,使 A 1 A2 A1 A2 ,A 2 A 3 A2 A3 ,A 3 A 4 A3 A4 ,A 4 A 1 A4 A1 ,设 P至 A 1 A 2 ,A 2 A 3 ,A 3 A 4 ,A 4 A 1的距离分别为 d 1 ,d 2 ,d 3 ,d 4 ,则 d1 -d 1 =d2 -d 2 =d3 -d 3 =d4 -d 4 = a(为常数)故 d1 =d 1 + a,d2 =d 2 + a,d3 =d 3 + a, d4 =d + a,于是 d13 d32 +d33 +d43 = (d 1 + a) 3 + (d 2 + a) 3 + (d 3 + a) 3 + (d 4 + a) 3 3333 222 = (d1 +d2 +d3 +d4)+ 3 a( d1 +d2 +d3 + 23d4)+ 3 a 2 (d 1 +d 2 +d 3 +d 4)+ 4 a 由 1,d 2 +d 4 ,d2 22 +d2 1 +d 3 +d 1 +d3 + d24 ,d3 +d32 +d33 +d34均为定值 ,所以 d31 +d32 +d33 d43 也为定值. 1395设 n为任意正整数 ,求 10 n+ 5 n除以 6的余n= 2 ,(10 n n= 3 ,(10 n n= 4 ,(10 n+ 5 n)除以 6的余数为 5 ;猜想 : (1)n为奇数时 ,(10n+ 5n)除以 6的余数为 3 , (2)n为偶数时 ,(10n+ 5n)除以 6的余数为 5.猜想的证明 : (1)当 n为奇数 ,设 n= 2 k-1 (k Z+) . ( )k = 1时 ,101 + 51 = 15 ,15除以 6的余数为 3. ( )设 k=k(k Z+)时 ,(102 k-1 + 52 k-1)除以 6的余数为 3 ,即 (102 k-1 + 52 k-1 -3)能被 6整除.当 k=k+ 1时 , +1) 52 (k+1)-1 -1)+2102 (k+-3 = 10(2 k+ 5(2 k-1)+2 -1 + 52 k-1 -3 = 52 (102 k-3)+ 75 102 k-1 + 72 -1 -1 -1+ 52 k= 52 (102 k-3)+ 72 (102 k+ 1)+ 3 102 k-1 ( 3 )因为 3式的 3个多项式都能被 6整除 ,故 +1)+1)102 (k-1 + 52 (k-1 -3 能被 6整除 ,即 102 (k+1)-1 + 52 (k+1)-1 除以 6的余数为 3.综合 ( )、( )知 ,当 n为奇数时 ,(10 n+ 5 n)除以 6的余数为 3. 数 ,并证明自己的结论.1396O是ABC的内切圆 ,D、E、F是 BC、 (福建厦门九中陈四川361004)AB上的切点 , DD, EE, FF是O的直径 ,解n= 1 ,(10 n 求证 :直线 AD,BE, CF共点. (2)当 n为偶数时 ,设 n= 2 k(k Z +) ( )k = 1时 ,102 + 52 = 125 ,125除以 6的余数为 5.设当 k=k(k Z +)时 ,(102 k + 52 k )除以 6的余数为 5 ,即 (102 k + 52 k -5)能被 6整除.当 k += 1) -k1 + 512 ( 时 k+, 1)+2 + 52 k+2102 (k-5 = 102 k-5 + 52 k = 52 (102 k -5)+ 75 102 k + 120 ( 33 )因为 ( 33 )式的 3个多项式都能被 6整除 ,故 (102 (k+1)+ 52 (k+1)-5 能被 6整除 ,即 (102 (k+1)+ 52 (k+1)除以 6的余数为 5.综合 ( )、( )知 ,当 n为偶数时 ,(10 n+ 5 n)除以 6的余数为 5.由 (1)、(2)知 :10 n+ 5 n( n Z+) 除以 6的余数为 3 (n为奇数时)或 5 (n为偶数时). 2002年 10月号问题编者 (安徽怀宁江镇中学黄全福246142) 1397已知 a,b,c分别是 AB C的三个内角 A、 B、C的对边边长 ,a b,求证 : 2 a-cb = 1 + ab 成立的充要条件是B= 3A或 B= 3A-2. (江西南昌大学附中宋庆龚浩生330029) 1398设 a,b,c,d, n N,S R,o S 2 n + 3 ,且 n 2 +S ab c d (n + 1) 2 +S,求证 : ad bc. (湖南吉首大学数学与计算机科学系彭明海416000) 1399设 ai R+(i = 1 ,2 , ,n) ,约定