河南省豫南九校高考数学质检试卷 理（含解析）.doc

河南省豫南九校2015届高考数 学质检试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合p=x|x2x20，q=x|log2（x1）1，则（rp）q等于( )a2，3b（，13，+）c（2，3d（，1（3，+）2设复数z1=1i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )abcd3已知数列an的前n项和为sn，且sn=2an2，则a2等于( )a2b2c1d44“m0”是“函数f（x）=m+log2x（x1）不存在零点”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件5在（+）12的展开式中，x项的系数为( )acbcccdc6已知双曲线kx2y2=1（k0）的一条渐近线与直线x2y3=0平行，则双曲线的离心率是( )abc4d7一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )abc2d8已知函数f（x）=sin（x+），其中x，a，若f（x）的值域是 ，1，则实数a的取值范围是( )a（0，b，c，d，9如图所示的程序框图中输出的结果为( )a2b2cd10o是平面上一点，a、b、c是平面上不共线三点，动点p满足：=+（+），1，2，已知=1时，|=2，则+的最大值为( )a2b24c48d9611抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，已知点a，b为抛物线上的两个动点，且满足afb=120过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最小值为( )abc1d12已知f（x）是定义在r上的奇函数，当0x1时，f（x）=x2，当x0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )a（22，24）b（+2，+）c（2+2，2+4）d（4，8）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上13设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是_14在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数a的值为_15表面积为6的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为_16有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，n，n3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，ann成等差数列若dm=p1d1+p2d2（3mn，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角c的大小，（2）若c=2，求使abc面积最大时a，b的值18已知四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，且pd底面abcd，dab=60，e为ab的中点（1）证明：dc平面pde；（2）若pd=ad，求面dep与面bcp所成二面角的余弦值19从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量x是以这三点为顶点的三角形的面积（1）求概率p（x=）；（2）求x的分布列，并求其数学期望e（x）20已知椭圆m的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）（1）求椭圆m的方程；（2）设直线l与椭圆m相交于a、b两点，以线段oa、ob为邻边作平行四边形oapb，其中点p在椭圆m上，o为坐标原点，求点o到直线l的距离的最小值21已知函数f（x）=ln（x+），且f（x）在x=处的切线方程为y=g（x）（1）求y=g（x）的解析式；（2）证明：当x0时，恒有f（x）g（x）；（3）证明：若ai0，且ai=1，则（a1+）（a2+）（an+）（）n（1in，i，nn*）四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，过圆e外一点a作一条直线与圆e交于b，c两点，且，作直线af与圆e相切于点f，连结ef交bc于点d，已知圆e的半径为2，ebc=30（1）求af的长；（2）求证：ad=3ed【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为 （为参数），以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为sin（+）=4（1）求曲线c1的普通方程与曲线c2的直角坐标方程；（2）设p为曲线c1上的动点，求点p到c2上点的距离的最小值，并求此时点p坐标【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|2x1|（1）若对任意a、b、cr（ac），都有f（x）恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）3x河南省豫南九校2015届高考数学质检试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合p=x|x2x20，q=x|log2（x1）1，则（rp）q等于( )a2，3b（，13，+）c（2，3d（，1（3，+）考点：交、并、补集的混合运算 专题：函数的性质及应用；集合分析：由一元二次不等式的解法求出集合p，由对数函数的性质求出集合q，再由补集、交集的运算分别求出rp和（rp）q解答：解：由x2x20得，1x2，则集合p=x|1x2，由log2（x1）1=得0x12，解得1x3，则q=x|1x3所以rp=x|x1或x2，且（rp）q=x|2x3=（2，3，故选：c点评：本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题2设复数z1=1i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )abcd考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案解答：解：z1=1i，z2=+i，=的虚部为故选：d点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3已知数列an的前n项和为sn，且sn=2an2，则a2等于( )a2b2c1d4考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：利用sn=2an2，n分别取1，2，则可求a2的值解答：解：n=1时，s1=2a12，a1=2，n=2时，s2=2a22，a2=a1+2=4故选d点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题4“m0”是“函数f（x）=m+log2x（x1）不存在零点”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案解答：解：若“m0”，则函数f（x）=m+log2x0，（x1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x1）不存在零点，则m0，是必要条件，故选：c点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题5在（+）12的展开式中，x项的系数为( )acbcccdc考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x项的系数解答：解：（+）12的展开式的通项公式为 tr+1=，令6=1，求得 r=6，故x项的系数为，故选：a点评：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题6已知双曲线kx2y2=1（k0）的一条渐近线与直线x2y3=0平行，则双曲线的离心率是( )abc4d考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可解答：解：双曲线kx2y2=1（k0）的一条渐近线与直线x2y3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，双曲线的离心率为：故选：a点评：本题考查双曲线的 简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力7一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )abc2d考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：此几何体是底面积是s=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出解答：解：此几何体是底面积是s=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，v=点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题8已知函数f（x）=sin（x+），其中x，a，若f（x）的值域是，1，则实数a的取值范围是( )a（0，b，c，d，考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：先求得x+的取值范围，由x+，时f（x）的值域是，1，可知a+，可解得实数a的取值范围解答：解：x，a，x+，a+，x+，时f（x）的值域是，1，由函数的图象和性质可知a+，可解得a，故选：d点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式a+是解题的关键，属于基本知识的考查9如图所示的程序框图中输出的结果为( )a2b2cd考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当i=2014时，退出循环，输出a的值为2解答：解：执行程序，有i=1，a=2i=2，a=1i=3，a=i=4，a=2i=5，a=1a的取值周期为3，2013=3671i=2013时，a的值与i=3时一样，即a=i=2014时，a=2故选：a点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查10o是平面上一点，a、b、c是平面上不共线三点，动点p满足：=+（+），1，2，已知=1时，|=2，则+的最大值为( )a2b24c48d96考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据向量的数量积，以及数量的加减运算，以及二次函数的性质即可求出最大值解答：解：由满足：=+（+），得=（+），当=1时，由|=2，得+=，|+|=2，又+=（+）=（+）=（+）（+2（+），=（21）（+）2=4（22）=8（）22，1，2，当=2时，有最大值，最大值为24，故选：b点评：本题考查向量的加减运算，两个向量的数量积，体现了等价转化的数学思想，属于中档题11抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，已知点a，b为抛物线上的两个动点，且满足afb=120过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最小值为( )abc1d考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先画出图象、做出辅助线，设|af|=a、|bf|=b，由抛物线定义得2|mn|=a+b，由题意和余弦定理可得|ab|2=（a+b）2ab，再根据基本不等式，求得|ab|2的取值范围，代入化简即可得到答案解答：解：如右图：过a、b分别作准线的垂线aq、bp，垂足分别是q、p，设|af|=a，|bf|=b，连接af、bf，由抛物线定义，得|af|=|aq|，|bf|=|bp|在梯形abpq中，2|mn|=|aq|+|bp|=a+b由余弦定理得，|ab|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab，配方得|ab|2=（a+b）2ab，因为ab，则（a+b）2ab（a+b）2=（a+b）2，即|ab|2（a+b）2，所以=3，则，即所求的最小值是，故选：d点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题12已知f（x）是定义在r上的奇函数，当0x1时，f（x）=x2，当x0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )a（22，24）b（+2，+）c（2+2，2+4）d（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值范围解答：解：当0x1时，f（x）=x2，f（1）=1当x0时，f（x+1）=f（x）+f（1），f（x+1）=f（x）+1，当xn，n+1，nn*时，f（x+1）=f（x1）+2=f（x2）+3=f（xn）+n+1=（xn）2+n+1，函数f（x）是定义在r上的奇函数，函数图象经过原点，且关于原点对称直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，当x0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，由x0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x1，2时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x2，3时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间当x1，2时，由得：x2（k+2）x+2=0，令=0，得：k=由得：x2（k+4）x+6=0，令=0，得：k=2k的取值范围为（）点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上13设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是6考点：极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：通过平均数求出x，然后利用方差公式求解即可解答：解：由=34，解得x=32所以方差为：=6故答案为：6点评：本题考查均值与方差的计算，基本知识的考查14在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数a的值为2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，由三角形的面积等于16列式求得a的值解答：解：由约束条件作出可行域如图，图中阴影部分为等腰直角三角形，解得：a=2故答案为：2点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15表面积为6的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为2考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 专题：导数的概念及应用；空间位置关系与距离分析：设出圆柱的高为h，底面半径为r，由表面积公式，求出r与h的关系，写出圆柱的体积v的解析式，求出v取最大时的h与r的比值解答：解：设该圆柱的高为h，底面半径为r，表面积为2r2+2rh=6，即r2+rh=3，h=；圆柱的体积为v=r2h=r2=r（3r2）=3rr3，v=33r2，令v=0，解得r=1，此时v最大；此时h=2，=2故答案为：2点评：本题考查了圆柱体的表面积与体积公式的应用问题，解题时应利用公式建立函数解析式，利用导数求函数解析式的最值，是综合题16有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，n，n3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，ann成等差数列若dm=p1d1+p2d2（3mn，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，ann中的第项减第2项，第3项减第4项，第n项减第n1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到dn是首项d1，公差为d2d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出dm的通项，令p1=2m，p2=m1，得证，求出p1+p2即可解答：解：由题意知amn=1+（n1）dm则a2na1n=1+（n1）d21+（n1）d1=（n1）（d2d1），同理，a3na2n=（n1）（d3d2），a4na3n=（n1）（d4d3），anna（n1）n=（n1）（dndn1）又因为a1n，a2n，a3n，ann成等差数列，所以a2na1n=a3na2n=anna（n1）n故d2d1=d3d2=dndn1，即dn是公差为d2d1的等差数列所以，dm=d1+（m1）（d2d1）=（2m）d1+（m1）d2令p1=2m，p2=m1，则dm=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1故答案为：1点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角c的大小，（2）若c=2，求使abc面积最大时a，b的值考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sina不为0求出cosc的值，即可确定出c的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosc的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形abc面积的最大值，以及此时a与b的值即可解答：解：（1）a+c=b，即cos（a+c）=cosb，由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinacosc+sinbcosc=sinccosb，即2sinacosc=sinbcosc+cosbsinc=sin（b+c）=sina，sina0，cosc=，c为三角形内角，c=；（）c=2，cosc=，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosc，即4=a2+b2+ab2ab+ab=3ab，ab，（当且仅当a=b时成立），s=absinc=ab，当a=b时，abc面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，abc的面积最大为点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18已知四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，且pd底面abcd，dab=60，e为ab的中点（1）证明：dc平面pde；（2）若pd=ad，求面dep与面bcp所成二面角的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：空间角分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得dab为正三角形，从而得到abde，结合pdab利用线面垂直判定定理，即可证出dc平面pde；（2）分别以de，dc，dp所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面dep与面bcp的法向量，代入向量夹角公式，可得答案解答：证明：（1）pd底面abcd，ab底面abcd，pdab连接db，在菱形abcd中，dab=60dab为等边三角形又e为ab的中点abde又pdde=dab底面pdeabcdcd底面pde解：（2）如图，分别以de，dc，dp所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键19从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量x是以这三点为顶点的三角形的面积（1）求概率p（x=）；（2）求x的分布列，并求其数学期望e（x）考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 专题：计算题；概率与统计分析：（1）符合古典概型，利用概率公式求解；（2）由题意三角形的三边不可能都是正方体的棱，从而分别求概率及面积，从而列分布列及数学期望解答：解：（1）从正方体的8个顶点中任取3个点，共有=56种情况，正方体的棱长为1，故若三点为顶点的角形的面积为，则该三角形的两边为正方体的相邻的棱，故共有8=24个，故p（x=）=；（2）显然，三角形的三边不可能都是正方体的棱，若恰有一边为棱，则对于每一条棱，只有2种选择，故212=24种，面积为；p（x=）=；故都不是棱，则为正三角形，面积为；p（x=）=1=；则分布列是 x p（x）e（x）=+=点评：本题考查了古典概型的判断与概率公式的应用及数学期望的求法，属于基础题20已知椭圆m的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）（1）求椭圆m的方程；（2）设直线l与椭圆m相交于a、b两点，以线段oa、ob为邻边作平行四边形oapb，其中点p在椭圆m上，o为坐标原点，求点o到直线l的距离的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，由0，化为2+4k2m20，设a（x1，y1），b（x2，y2），p（x0，y0）可得x0=x1+x2，y0=y1+y2代入椭圆方程利用点到直线的距离公式可得：点o到直线l的距离d=即可得出当直线l无斜率时时，由对称性可知：点o到直线l的距离为1即可得出解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，解得a=2，b2=2，椭圆m的方程为（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，=16k2m24（1+2k2）（2m24）0，化为2+4k2m20，设a（x1，y1），b（x2，y2），p（x0，y0）x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=点p在椭圆m上，+=1，化为2m2=1+2k2，满足0又点o到直线l的距离d=当且仅当k=0时取等号当直线l无斜率时时，由对称性可知：点p一定在x轴上，从而点p的坐标为（2，0），直线l的方程为x=1，点o到直线l的距离为1点o到直线l的距离的最小值为点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21已知函数f（x）=ln（x+），且f（x）在x=处的切线方程为y=g（x）（1）求y=g（x）的解析式；（2）证明：当x0时，恒有f（x）g（x）；（3）证明：若ai0，且ai=1，则（a1+）（a2+）（an+）（）n（1in，i，nn*）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用分析：（1）求出原函数的导函数，得到切线的斜率k=，再求出f（）的值，代入直线方程的点斜式得答案；（2）令t（x）=f（x）g（x），求导后得到导函数的零点，进一步得到函数的极小值点，求得说明；（3）由（1）知，求出f（x）在处的切线方程，然后证明，得到，进一步得到=，则结论得证解答：（1）解：由f（x）=ln（x+），得，切线的斜率k=又f（）=ln，f（x）在x=处的切线方程为y，即y=g（x）=；（2）证明：令t（x）=f（x）g（x）=，当0x时，t（x）0，故t（x）0，即；（3）证明：由（1）知，故f（x）在处的切线方程为，即先证，令h（x）=（x0），=0x时h（x）0，ai0，=（a1+）（a2+）（an+）（）n 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（3）的证明，关键在于对的证明，体现了数学转化思想方法，本题对于学生的计算能力要求过高，是难度较大的题目四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，过圆e外一点a作一条直线与圆e交于b，c两点，且，作直线af与圆e相切于点f，连结ef交bc于点d，已知圆e的半径为2，ebc=30（1）求af的长；（2）求证：ad=3ed考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：（1）延长be交圆e于点m，连结cm，则bcm=90，由已知条件求出ab，ac，再由切割线定理能求出af（2）过e作ehbc于h，得到edhadf，由此入手能