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2 微积分学基本定理微积分学基本定理 1 积分上限函数及其导数 积分上限函数及其导数 定义定义 1 设在上可积 则对 xf ba bx a 在上也可积 于是 由 定义了一个以积分上限 xf xa x x x a dttf ba x为自变量的函 数 称为变上限函数变上限函数 b x f x dtt bx a 称为变下限的函数变下限的函数 和统称为变限函数 变限函数 x ba x a dttfx ba xf ba tf ba x 定理定理 1 若函数在上可积 则变上限函数在上 连续 xf 定理定理 2 原函数存在定理 原函数存在定理 若函数在上连续 则变上限函数 在上可微 且 x a x dt x x a xf dx d ba ba dttf x baxx 证 证 任取 x 0 则 x 且 x a tdtftdtf xf xx a xxx 由积分中值定理知 存在 介于 x 与 x x 之间 使得 由 于 x x 0 再由导数定义及的连续性知 xf limxff x limlim 00 f x x xx 推论 推论 x a f t dtf xx x x f t dtfx xfxx 例例 1 设 2 sin xf 2 1 x t dt 求 6 f 例例 2 0 x d dt sintdt 例例 3 2 3 sin x t 0 0 lim x x 2 Newton Leibniz 公式公式 定理定理 3 Newton Leibniz 公式 公式 如果函数是连续函数在区 间上的一个原函数 则 x xf b FbF a td xfCx F a a dx xf b a 证证 因为是的一个原函数 则 x x tf xF a 令x a 有 又 因此 Ca aF 0 aFC 所以 aFxFdttf x xF b ba a 注注 在实际应用中 定理的条件可以减弱为 在上连续 在 内可导 a F x f x xa b 而在上可积 xf ba 2 例例 4 1 0 x dx 例例 5 3 1 2 1 dx x 在应用 Newton Leibniz 公式时 要求被积函数在积分区域上连续 否则会出问题 例如2 2 1dx x 就不能用 Newton Leibniz 公式 例例 6 设在 0 内连续 且 0 求证函
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