河南省郑州市高三数学第二次质量预测试题 理（含解析）新人教A版.doc

2013年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求1（5分）（2013郑州二模）复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题；高考数学专题分析：根据复数除法法则，算出z=的值，结合共轭复数的定义找到的值，再根据复数的几何意义，不难找到在复平面内的对应点所在的象限解答：解：z1=3+i，z2=1i复数z=（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=12i，对应复平面内的点p（1，2），为第四象限内的点故选d点评：本题给出两个复数，求它们的商的复数对应点所在的象限，着重考查了复数的除法运算、共轭复数和复数的几何意义等知识，属于基础题2（5分）（2013郑州二模）若，则角的终边一定落在直线（）上a7x+24y=0b7x24y=0c24x+7y=0d24x7y=0考点：终边相同的角；半角的三角函数专题：计算题分析：由题意确定的范围，然后求出角的终边的值，求出直线的斜率，即可得到选项解答：解：，所以在第四象限，是第三象限角，tan=，所以tan=；所以角的终边一定落在直线24x7y=0上故选d点评：本题是基础题，考查终边相同的角，直线的斜率，三角函数的化简求值，考查计算能力，常考题型3（5分）（2013郑州二模）在数列an中，an+1=can（c为非零常数），前n项和为sn=3n+k，则实数k为（）a0b1c1d2考点：等比数列的前n项和专题：计算题分析：由an+1=can，知an是等比数列，由sn=3n+k，分别求出a1，a2，a3，再由a1，a2，a3成等比数列，求出k的值解答：解：an+1=can，an是等比数列，a1=s1=3+k，a2=s2s1=（9+k）（3+k）=6，a3=s3s2=（27+k）（9+k）=18，a1，a2，a3成等比数列，62=18（3+k），k=1故选c点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的合理运用4（5分）（2013郑州二模）设、为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：直线与平面垂直的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直根据题意由判断定理得l若，直线l则直线l，或直线l，或直线l与平面相交，或直线l在平面内由，直线l得不到l，所以所以“l”是“”成立的充分不必要条件解答：解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直因为直线l，且l所以由判断定理得所以直线l，且l若，直线l则直线l，或直线l，或直线l与平面相交，或直线l在平面内所以“l”是“”成立的充分不必要条件故答案为充分不必要点评：解决此类问题的关键是判断充要条件可以先判断命题的真假，最好用来表示，再转换为是什么样的命题，最后转化是什么样的条件5（5分）（2013郑州二模）若x（e1，1），a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（）acbabbcacabcdbac考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较专题：计算题分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a0，b1，c1，从而可得答案解答：解：x（e1，1），a=lnxa（1，0），即a0；又y=为减函数，b=1，即b1；又c=elnx=x（e1，1），bca故选b点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题6（5分）（2013郑州二模）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（e）+lnx，则f（e）=（）a1b1ce1de考点：导数的运算专题：计算题分析：利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=e代入导函数中得到关于f（e）的方程，求出方程的解即可得到f（e）的值解答：解：求导得：f（x）=2f（e）+，把x=e代入得：f（e）=e1+2f（e），解得：f（e）=e1故选c点评：本题要求学生掌握求导法则学生在求f（x）的导函数时注意f（e）是一个常数，这是本题的易错点7（5分）（2013怀化三模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）abcd考点：简单空间图形的三视图专题：作图题分析：由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项解答：解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项a中的视图满足三视图的作法规则；b中的视图满足三视图的作法规则；c中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；d中的视图满足三视图的作法规则；故选c点评：本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项8（5分）（2013郑州二模）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（）abcd考点：二项式定理；等差数列的性质；等可能事件的概率专题：计算题分析：求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率解答：解：展开式的通项为展开式的前三项系数分别为前三项的系数成等差数列解得n=8所以展开式共有9项，所以展开式的通项为=当x的指数为整数时，为有理项所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项所以有理项不相邻的概率p=故选d点评：解决排列、组合问题中的不相邻问题时，先将没有限制条件的元素排起来；再将不相邻的元素进行插空9（5分）（2013郑州二模）如图所示，f1，f2是双曲线（a0，b0）的两个焦点，以坐标原点o为圆心，|of1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为a，b，且f2ab是等边三角形，则双曲线的离心率为（）a+1b+1cd考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：连接af1，可得af2f1=30，f1af2=90，f2f1=2c，af1=c，af2=，由双曲线的定义可知：af2af1=c=2a，变形可得离心率的值解答：解：连接af1，可得af2f1=30，f1af2=90，由焦距的意义可知f2f1=2c，af1=c，由勾股定理可知af2=，由双曲线的定义可知：af2af1=2a，即c=2a，变形可得双曲线的离心率=故选b点评：本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题10（5分）（2011安徽）函数f（x）=axn（1x）2在区间（0.1）上的图象如图所示，则n可能是（）a1b2c3d4考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；压轴题；数形结合分析：先从图象上得出原函数的最值（极值）点小于0.5，再把答案分别代入验证法看哪个选项符合要求来找答案即可解答：解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的最值（极值）点小于0.5当n=1时，f（x）=ax（1x）2=a（x32x2+x），所以f（x）=a（3x1）（x1），令f（x）=0x=，x=1，即函数在x=处有最值，故a对；当n=2时，f（x）=ax2（1x）2=a（x42x3+x2），有f（x）=a（4x36x2+2x）=2ax（2x1）（x1），令f（x）=0x=0，x=，x=1，即函数在x=处有最值，故b错；当n=3时，f（x）=ax3（1x）2，有f（x）=ax2（x1）（5x3），令f（x）=0，x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故c错当n=4时，f（x）=ax4（1x）2，有f（x）=2x3（3x2）（x1），令f（x）=0，x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故d错故选 a点评：本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值本本题考查利用极值求对应变量的值可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点11（5分）（2013郑州二模）设f（x）是定义在r上的增函数，且对于任意的x都有f（1x）+f（1+x）=0恒成立如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围是（）a（3，7）b（9，25）c（13，49）d（9，49）考点：简单线性规划的应用专题：综合题分析：根据对于任意的x都有f（1x）+f（1+x）=0恒成立，不等式可化为f（m26m+23）f（2n2+8n），利用f（x）是定义在r上的增函数，可得（m3）2+（n4）24，确定（m3）2+（n4）2=4（m3）内的点到原点距离的取值范围，即可求得m2+n2 的取值范围解答：解：对于任意的x都有f（1x）+f（1+x）=0恒成立f（1x）=f（1+x）f（m26m+23）+f（n28n）0，f（m26m+23）f（1+（n28n1），f（m26m+23）f（1（n28n1）=f（2n2+8n）f（x）是定义在r上的增函数，m26m+232n2+8n（m3）2+（n4）24（m3）2+（n4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2（m3）2+（n4）2=4（m3）内的点到原点距离的取值范围为（，5+2），即（，7）m2+n2 表示（m3）2+（n4）2=4内的点到原点距离的平方m2+n2 的取值范围是（13，49）故选c点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围12（5分）（2013郑州二模）已知函数f（x）=xcosx，则方程f（x）=所有根的和为（）a0bcd考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：问题转化为y=cosx，与y=的图象交点的横坐标，作出图象可得结论解答：解：由题意可得方程f（x）=的根等价于cosx=的根，即为函数y=cosx，与y=的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中作出它们的图象如图：可知图象有唯一的交点x=，故方程f（x）=有唯一的根x=，故选c点评：本题考查根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题二、填空题：本大题共4小题每小题5分13（5分）（2013郑州二模）等差数列an的前7项和等于前2项和，若a1=1，ak+a4=0，则k=6考点：等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：设出等差数列的公差，由前7项和等于前2项和列式求出公差，然后利用ak+a4=0列式求得k的值解答：解：设等差数列的公差为d，设其前n项和为sn由s7=s2，得，即71+21d=2+d，解得d=再由解得：k=6故答案为6点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的运算题14（5分）（2013郑州二模）已知o为坐标原点，点m（3，2），若n（x，y）满足不等式组，则 的最大值为12考点：简单线性规划专题：计算题分析：先根据约束条件画出可行域，由于 =（3，2）（x，y）=3x+2y，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过可行域内的点a时，z最大即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，则 =（3，2）（x，y）=3x+2y，设z=3x+2y，将最大值转化为y轴上的截距最大，当直线z=3x+2y经过交点a（4，0）时，z最大，最大为：12故答案为：12点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化15（5分）（2013郑州二模）已知不等式xyax2+2y2对于x1，2，y2，3恒成立，则实数a的取值范围是 1，+）考点：不等式的综合专题：常规题型分析：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题在解答时，首先可以游离参数将问题转化为：对于x1，2，y2，3恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答解答：解：由题意可知：不等式xyax2+2y2对于x1，2，y2，3恒成立，即：，对于x1，2，y2，3恒成立，令，则1t3，at2t2在1，3上恒成立，ymax=1，a1 故答案为：1，+）点评：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题在解答的过程当中充分体现了游离参数的办法、恒成立的思想以及整体代换的技巧值得同学们体会与反思16（5分）（2013郑州二模）过点m（2，2p）作抛物线x2=2py（p0）的两条切线，切点分别为a，b，若线段ab的中点纵坐标为6，则p的值是1或2考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设过点m的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立，利用方程的判别式等于0，再利用韦达定理，结合线段ab中点的纵坐标为6，可求p的值解答：解：设过点m的抛物线的切线方程为：y+2p=k（x2）与抛物线的方程x2=2py联立消y得：x22pkx+4pk+4p2=0 根据题意可得，此方程的判别式等于0，pk24k4p2=0设切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=，此时，方程有唯一解为 x=pk，y=2（k+p）设a（x1，y1），b（x2，y2），则12=y1+y2=2（k1+k2）+4p=+4p，p23p+2=0，解得 p=1或p=2，故答案为 1或2点评：本题考查抛物线的切线，考查韦达定理的运用，考查中点坐标公式，属于中档题三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤17（12分）（2013郑州二模）如图所示，一辆汽车从o点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点o点的距离为5公里，距离公路线的垂直距离为3公里的m点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？考点：二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：作mi垂直公路所在直线于点i，则mi=3，om=5，可得oi=4，且，设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，由余弦定理可得 ，求得，再利用二次函数的性质求得v的最小值，以及此时他行驶的距离vt的值解答：解：作mi垂直公路所在直线于点i，则mi=3，om=5，（2分）设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理：（6分），求得 ，（8分）当时，v的最小值为30，其行驶距离为公里（11分）故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了公里（12分）点评：本题主要考查二次函数的性质，余弦定理的应用，属于中档题18（12分）（2013郑州二模）每年的三月十二日，是中国的植树节，林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测现从甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”，测得高度如下（单位：厘米）甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146（）根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；（）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算，（如图）问输出的s大小为多少？并说明s的统计学意义；（）若小王在甲批树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”株数x的分布列考点：离散型随机变量及其分布列；茎叶图；程序框图专题：概率与统计分析：（i）将数据填入茎叶图，然后计算两组数据的平均数进行比较，计算中位数从而可得甲、乙两种树苗高度的统计结论；（ii）根据流程图的含义可知s表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，根据方差公式解之可得s（iii）x取取值0，1，2，3，4，5对于分布列的列出，可先由给定数据算出相应的概率，再列表得出分布列即可解答：解：（）茎叶图略（2分）统计结论：甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；甲种树苗的中位数为127，乙种树苗的中位数为128.5；甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散（4分）（每写出一个统计结论得1分）（）（6分）s表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量s值越小，表示长得越整齐，s值越大，表示长得越参差不齐（8分）（）由题意，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为，则（10分）所以随机变量x的分布列为x012345p（12分）点评：根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容“茎叶”图是新高考的重要考点，数学期望的计算也是高考的热点对于“茎叶图”学习的关键是学会画图、看图和用图，对于概率要多练习使用列举法表示满足条件的基本事件个数对于数学期望的计算则要熟练掌握运算方法和步骤19（12分）（2013郑州二模）如图，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，=（r）（）当=时，求证ab1平面a1bd；（）当二面角aa1db的大小为时，求实数的值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题：空间角分析：（）由三棱柱abca1b1c1为正三棱柱，取bc边的中点o，连结ao，可证ao垂直于底面，以o为坐标原点建立空间直角坐标系，由已知求出各点的坐标，得到向量的坐标，由向量的数量积等于0可证ab1平面a1bd；（）把d点的坐标用含有的代数式表示，求出二面角aa1db的两个面的法向量，利用法向量所成的角为即可得到的值解答：（）证明：取bc的中点为o，连结ao在正三棱柱abca1b1c1中，面abc面cb1，abc为正三角形，所以aobc，故ao平面cb1以o为坐标原点建立如图空间直角坐标系oxyz则，b1（1，2，0），d（1，1，0），b（1，0，0）所以，因为，所以ab1da1，ab1db，又da1db=d，所以ab1平面a1bd；（）解：由（1）得d（1，2，0），所以，设平面a1bd的法向量，平面aa1d的法向量，由，得，取y=1，得x=，所以平面a1bd的一个法向量为，由，得，取u=1，得x=，y=0所以平面aa1d的一个法向量，由，得=解得，为所求点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角训练了利用平面法向量求二面角的大小，是中档题20（12分）（2013郑州二模）已知椭圆c：的右焦点为f，左顶点为a，点p为曲线d上的动点，以pf为直径的圆恒与y轴相切（）求曲线d的方程；（）设o为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的apm？点m在椭圆c上；点o为apm的重心若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由（若三角形abc的三点坐标为a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），则其重心g的坐标为（，）考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（i）设p（x，y），由椭圆c的方程可得f（1，0），由题意可得以pf为直径的圆的圆心，利用两点间的距离公式得到，化简即可；（ii）不存在可用反证法证明若这样的三角形存在，由题可设，由条件知点m在椭圆上可得，由三角形的重心定理可得，及点a（2，0），代入化简即可得到x2，判断即可解答：解：（）设p（x，y），由题知f（1，0），所以以pf为直径的圆的圆心，则，整理得y2=4x，为所求（）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，由条件知，由条件得，又因为点a（2，0），所以即，故，解之得x2=2或（舍），当x2=2时，解得p（0，0）不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在点评：本题考查了椭圆及抛物线的定义、标准方程及其性质、反证法、重心定理、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力21（12分）（2013郑州二模）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，br）的图象交于p，q两点，曲线y=f（x）在p，q两点处的切线交于点a（）当k=e，b=3时，求f（x）g（x）的最大值；（e为自然常数）（）若a（，），求实数k，b的值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（）构建新函数，求导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可求函数的最大值；（）先求出切线方程，代入a的坐标，进而求出p，q的坐标，即可求实数k，b的值解答：解：（）设h（x）=f（x）g（x）=lnxex+3（x0），则，（1分）当时，h（x）0，此时函数h（x）为增函数；当时，h（x）0，此时函数h（x）为减函数所以函数h（x）的增区间为，减区间为时，f（x）g（x）的最大值为；（4分）（）设过点a的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x0，lnx0），则其斜率，故切线，将点代入直线l方程得：，即，（7分）设，则，当时，v（x）0，函数v（x）为增函数；当时，v（x）0，函数v（x）为减函数故方程v（x）=0至多有两个实根，（10分）又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的两个实根为1和e，故p（1，0），q（e，1），所以为所求（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，解题的关键是构建函数，正确运用导数知识22（4分）（2013郑州二模）如图，已知o和m相交于a、b两点，ad为m的直径，直线bd交o于点c，点g为bd中点，连接ag分别交o、bd于点e、f连接ce（1）求证：agef=cegd；（2）求证：考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段专题：证明题；压轴题分析：（1）要证明agef=cegd我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题（2）由（1）的推理过程，我们易得dag=gdf，又由公共角g，故dfgagd，易得dg2=aggf，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论解答：证明：（1）连接ab，ac，ad为m的直径，abd=90，ac为o的直径，cef=agd，dfg=cfe，ecf=gdf，g为弧bd中点，dag=gdf，ecb=bag，dag=ecf，cefagd，agef=cegd（2）由（1）知dag=gdf，g=g，dfgagd，dg2=aggf，由（1）知，点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个