河南省郑州市智林学校高一数学上学期12月月考试卷（含解析）.doc

河南省郑州市智林学校2014-2015学 年高一上学期12月月考数学试卷一、单项选择题（12x5=60）1（5分）设函数f（x）是定义在r上的奇函数，若当x（0，+）时，f（x）=lgx，则满足f（x）0的x的取值范围是（）a（1，0）b（1，+）c（1，0）（1，+）d（1，+）2（5分）函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）a0b1c2d33（5分）若集合a=x|x|1，xr，b=y|y=x2，xr，则ab=（）ax|1x1bx|x0cx|0x1d4（5分）集合1，2，3的真子集的个数为（）a5b6c7d85（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）2的x的取值范围是（）abc时nf（x）m恒成立，则mn的最小值是（）abc1d9（5分）已知集合a=x|x22x+a0，且1a，则实数a的取值范围是（）a（，1）b（，1c二、填空题（4x5=20）13（4分）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=14（4分）狄利克莱函数d（x）= 则d（d（x）=15（4分）设x（0，1），幂函数y=x的图象在直线y=x的上方，则的取值范围是16（4分）若函数f（x）=x2+（a1）x+a为偶函数，则a=17（4分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（ax0b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点例如y=|x|是上的平均值函数，0就是它的均值点若函数f（x）=x2mx1是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是三、解答题18设函数f（x）=（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）是（，+）上的减函数，求实数a的取值范围19已知函数f（x）=2sinxcosx，xr（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由20已知幂函数为偶函数，且在区间（0，+）上是单调递减函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论的奇偶性21已知函数f（x）=ax3，g（x）=bx1+cx2（a，br）且g（）g（1）=f（0）（1）试求b，c所满足的关系式；（2）若b=0，方程f（x）=g（x）在（0，+）有唯一解，求a的取值范围22已知函数f（x）=loga（3ax）（1）当时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间上为增函数，并且f（x）的最大值为1如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由23已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点a、b，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点c、d记线段ac和bd在x轴上的投影长度分别为a、b当m变化时，求的最小值河南省郑州市智林学校2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（12x5=60）1（5分）设函数f（x）是定义在r上的奇函数，若当x（0，+）时，f（x）=lgx，则满足f（x）0的x的取值范围是（）a（1，0）b（1，+）c（1，0）（1，+）d（1，+）考点：对数函数的单调性与特殊点 专题：综合题；数形结合；数形结合法分析：由题设函数f（x）是定义在r上的奇函数，若当x（0，+）时，f（x）=lgx，可得在（0，1）上函数值小于0，在（1，+）函数值大于0，再由奇函数的性质判断出（，0）上的函数值为正的部分即可解答：解：由题意及对数函数的性质得函数在（0，1）上函数值小于0，在（1，+）函数值大于0，又函数f（x）是定义在r上的奇函数，函数f（x）在（1，0）函数值大于0满足f（x）0的x的取值范围是（1，0）（1，+）故选c点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，以及函数的奇函数的性质，求解本题的关键是熟练对数函数的图象以及奇函数的对称性2（5分）函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）a0b1c2d3考点：函数的零点；对数函数的单调性与特殊点 专题：函数的性质及应用分析：先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x2|，y2=lnx（x0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数解答：解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+）内的零点即是方程|x2|lnx=0的根令y1=|x2|，y2=lnx（x0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点故选c点评：本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数3（5分）若集合a=x|x|1，xr，b=y|y=x2，xr，则ab=（）ax|1x1bx|x0cx|0x1d考点：交集及其运算 分析：考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算常见的解法为计算出集合a、b的最简单形式再运算解答：解：由题得：a=x|1x1，b=y|y0，ab=x|0x1故选c点评：在应试中可采用特值检验完成4（5分）集合1，2，3的真子集的个数为（）a5b6c7d8考点：子集与真子集 专题：计算题分析：集合1，2，3的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集解答：解：集合的真子集为1，2，3，1，2，1，3，2，3，共有7个故选c点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合m的子集问题一般来说，若m中有n个元素，则集合m的子集共有2n个5（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）2的x的取值范围是（）abc考点：命题的真假判断与应用；集合的确定性、互异性、无序性 专题：阅读型分析：根据n表示自然数集，包括0和正整数，判断的正确性；根据集合中元素的互异性判定是否正确解答：解：集合n中含0，；n表示自然数集，0.5n，0.5n，；0n，1n，；根据列举法表示集合中元素的互异性，；故选a点评：本题借助考查命题的真假判断，考查了自然数集的表示及集合中元素的性质，集合中元素性质：无序性、确定性、互异性7（5分）设集合a=x|1x4，集合b=x|x22x30，则a（rb）=（）a（1，4）b（3，4）c（1，3）d（1，2）（3，4）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合b，再求出b的补集，再由交的运算规则解出a（rb）即可得出正确选项解答：解：由题意b=x|x22x30=x|1x3，故rb=x|x1或x3，又集合a=x|1x4，a（rb）=（3，4）故选b点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键8（5分）已知y=f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=x+，且x时nf（x）m恒成立，则mn的最小值是（）abc1d考点：函数恒成立问题 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据函数是偶函数，转化为对称区间，研究函数的值域问题，从而可解解答：解：由题意，y=f（x）是偶函数，x，所以考虑对称区间，f（x）=x+，f（x）=4，当且仅当x=2时，取得最小值4，而f（1）=5，f（3）=所以f（x）在上的值域为，由于x时nf（x）m恒成立，则n4，且m5，所以最小值为mn=54=1，故选c点评：本题以偶函数为依托，考查函数的对称性，考查利用基本不等式求函数的最值，有一定的综合性9（5分）已知集合a=x|x22x+a0，且1a，则实数a的取值范围是（）a（，1）b（，1c分析：利用导数考查函数f（x）=x2+（ar）的单调性，可对a、b选项进行判断；考查函数f（x）=x2+（ar）的奇偶性，可对c、d选项的对错进行判断解答：解析：f（x）=2x，故只有当a0时，f（x）在（0，+）上才是增函数，因此a、b不对，当a=0时，f（x）=x2是偶函数，因此c对，d不对答案：c点评：本题主要考查了利用导数进行函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于基础题12（5分）函数f（x）=ln（x+1）的零点所在的大致区间是（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题分析：函数f（x）=ln（x+1）的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反解答：解：f（1）=ln（1+1）2=ln220，而f（2）=ln31lne1=0，函数f（x）=ln（x+1）的零点所在区间是 （1，2），故选b点评：本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号二、填空题（4x5=20）13（4分）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=1考点：集合的相等 专题：集合分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论解答：解：根据集合相等的条件可知，若a，b=a2，b2，则 或 ，由得，ab0，a0且b0，即a=1，b=1，此时集合1，1不满足条件若b=a2，a=b2，则两式相减得a2b2=ba，互异的复数a，b，ba0，即a+b=1，故答案为：1点评：本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论14（4分）狄利克莱函数d（x）= 则d（d（x）=1考点：函数解析式的求解及常用方法 专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数在不同区间上的解析式不同即可得出解答：解：因为函数d（x）=，所以：当x为有理数时，d（x）=1，故d（d（x）=d（1）=1； 当x为无理数时，d（x）=0，故d（d（x）=d（0）=1；综上，d（d（x）=1；故答案为：1点评：本题主要考查对函数概念的理解，正确理解分段函数的意义是解题的关键15（4分）设x（0，1），幂函数y=x的图象在直线y=x的上方，则的取值范围是（，1）考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 专题：探究型分析：可对幂函数的指数的情况进行讨论，分为指数为负数，指数大于1，指数小于1大于0进行讨论，找出符合条件的的取值范围解答：解：由幂函数的性质知：当0时，幂函数y=x的图象是下降的，故在x（0，1），幂函数y=x的图象在直线y=x的上方符合题意当=0时，幂函数y=x的图象在x（0，1）上是一个与y轴平行的线段，是直线y=1的一部分，故其图象在y=x的上方，符合题意当（0，1）时，由底数x（0，1），幂函数y=x的图象在y=x的上方，符合题意当1时，由底数x（0，1），幂函数y=x的图象在y=x的下方，不符合题意符合题意综上，符合条件的的取值范围是（，1）故答案为（，1）点评：本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是对幂函数的图象变化趋势即幂函数的单调性与幂指数的取值范围的关系比较熟悉，本题考查了分类讨论的思想，解题时遇到了不确定的情况往往要分类别进行讨论，变不确定为确定16（4分）若函数f（x）=x2+（a1）x+a为偶函数，则a=1考点：函数奇偶性的性质 分析：依据f（x）=f（x）求出a的值解答：解：f（x）=x2+（a1）x+a为偶函数f（x）=f（x），即x2+（a1）x+a=x2（a1）x+a得a=1故答案为：1点评：本题主要考查函数的奇偶性的运用属基础题17（4分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（ax0b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点例如y=|x|是上的平均值函数，0就是它的均值点若函数f（x）=x2mx1是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）考点：函数的概念及其构成要素 专题：函数的性质及应用分析：函数f（x）=x2mx1是区间上的平均值函数，故有x2mx1=在（1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（1，1）内，即可求出实数m的取值范围解答：解：函数f（x）=x2mx1是区间上的平均值函数，关于x的方程x2mx1=在（1，1）内有实数根即x2mx1=m在（1，1）内有实数根即x2mx+m1=0，解得x=m1，x=1又1（1，1）x=m1必为均值点，即1m110m2所求实数m的取值范围是（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题三、解答题18设函数f（x）=（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）是（，+）上的减函数，求实数a的取值范围考点：二次函数的性质；函数单调性的性质；函数的值 专题：计算题分析：（1）a=时，f（x）=，当x1时，f（x）=x23x是减函数，可求此时函数f（x）的值域；同理可求得当x1时，减函数f（x）=的值域；（2）函数f（x）是（，+）上的减函数，三个条件需同时成立，1，0a1，12（4a+1）18a+40，从而可解得实数a的取值范围解答：解：（1）a=时，f（x）=，当x1时，f（x）=x23x是减函数，所以f（x）f（1）=2，即x1时，f（x）的值域是（2，+）（3分）当x1时，f（x）=是减函数，所以f（x）f（1）=0，即x1时，f（x）的值域是（，0（5分）于是函数f（x）的值域是（，0（2，+）=r（6分）（） 若函数f（x）是（，+）上的减函数，则下列三个条件同时成立：当x1，f（x）=x2（4a+1）x8a+4是减函数，于是1，则a（8分）x1时，f（x）=是减函数，则0a1（10分）12（4a+1）18a+40，则a于是实数a的取值范围是（12分）点评：本题考查二次函数的性质，考查函数单调性的性质，着重考查分类讨论思想在求函数值域与确定参数a的取值范围中的应用，属于中档题19已知函数f（x）=2sinxcosx，xr（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用二倍角的正弦公式化简f（x）=six2x，再用周期公式计算即可；（2）利用函数奇偶性的定义和诱导公式，判断出f（x）与f（x）的关系解答：解：（1）因f（x）=2sinxcosx=sin2x，所以最小正周期为=，（2）因f（x）=sin（2x）=sin2x=f（x），且xr，所以y=f（x）是奇函数点评：本题考查二倍角的正弦公式，三角函数周期的求法，以及定义法判断函数奇偶性，难度不大20已知幂函数为偶函数，且在区间（0，+）上是单调递减函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论的奇偶性考点：奇偶性与单调性的综合；幂函数的性质 专题：综合题分析：（1）由幂函数f（x）为（0，+）上递减，推知m22m30，解得1m3因为m为整数故m=0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m22m3为偶数，进而推知m22m为奇数，进而推知m只能是1，把m代入函数，即可得到f（x）的解析式（2）把f（x）的解析式代入f（x），得到f（x）的解析式然后分别讨论a0且b0时，a=0且b0时，a0且b=0时，a=b=0时，函数的奇偶性解答：解：（1），由题意知m（m2）为奇数又mz且f（x）在（0，+）上递减，m=1，f（x）=x4（2）y=x2是偶函数，y=x3是奇函数a0且b0时，f（x）为非奇非偶函数；a=0且b0时，f（x）为奇函数；a0且b=0时，f（x）为偶函数；a=b=0时，f（x）为奇且偶函数点评：本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用要理解好函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用21已知函数f（x）=ax3，g（x）=bx1+cx2（a，br）且g（）g（1）=f（0）（1）试求b，c所满足的关系式；（2）若b=0，方程f（x）=g（x）在（0，+）有唯一解，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；函数的值；函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据题意将自变量函数的解析式和所给的式子，化简求出b，c所满足的关系式即可；（2）由b=0代入（1）得到的式子可得c=1，再把方程f（x）=g（x）化简并分离出a，令x1=t，将原条件转化为a=3tt3在（0，+）上有唯一解，构造h（t）=3tt3（t0），求出导数和临界点，并求出函数的单调区间，求出得到函数的极大值，可得到a的取值范围解答：解：（1）由得，（2b+4c）（b+c）=3，b，c所满足的关系式为bc1=0（2）由b=0，bc1=0，可得c=1，因为方程f（x）=g（x），即ax3=x2，可化为a=3x1x3，令x1=t，由题意可得，a=3tt3在（0，+）上有唯一解令h（t）=3tt3（t0），由h（t）=33t2=0，可得t=1，当0t1时，由h（t）0，可知h（t）是增函数；当t1时，由h（t）0，可知h（t）是减函数，故当t=1时，h（t）取极大值2；故当a=2或a0时，方程f（x）=g（x）有且仅有一个正实数解则所求a的取值范围为a|a=2或a0点评：本题考查了函数与方程的综合应用，利用换元法转化成二次方程进行求解，导数与函数单调性的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键22已知函数f（x）=loga（3ax）（1）当时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间上为增函数，并且f（x）的最大值为1如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由考点：函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（1）由题意，即要考虑到当时，3ax0恒成立，转