从圆到椭圆的不变性质及其应用.pdf

2 0 1 4 年第6 期中学数学研究 1 9 从圆到椭圆的不变性质及其应用 广东省东莞市第十高级中学 5 2 3 9 8 1 邓振江 1 引言 人教版选修1 1 P 人教版选修2 一l P 对 椭圆描述都是基于椭圆的定义 到两个定点E R 的距离的和为一个定值 大于IF F I 的点的集 合 椭圆的定理及圆与椭圆关系也很少涉及 这对 大家认识以及应用椭圆很不利 由人教版选修1 一lP 4 3 人教版选修2 1P 5 B 组第一题 笔者发现 椭圆是圆通过一个特殊的仿射 变换得到的一种圆锥曲线 它们之间有着一个特殊 的仿射关系 利用这一关系可以把圆的一些性质定 理推广到椭圆上 也可以直接用这一关系来解决一 些实际问题 把握椭圆与圆的这一仿射关系 可以帮 助我们更多更深入地了解椭圆 也可以推广仿射关 系这种研究方法 2 预备知识 引理l从圆到椭圆的压缩变换 沿Y 轴方向 保持点的横坐标不变 引理2从圆到椭圆的压缩变换 沿y 轴方向 中点的纵坐标成比率 定理1圆经过压缩交换 沿y 轴方向 后得出 的是椭圆 证明 取仿射变换以后曲线上任意一点设为点 2 2 肘 戈 则它满足椭圆的标准方程与 旨 1 口 c b O 现在证明lM F ll I 肘疋l 2 a 一a 石 口 贝0 I M F lI I 肘疋l 省 c 2 2 厂 1 i r 以i 研 心 c 2 b 2 一辱 厂 1 1 互 似一c 2 b 2 一等 石孕了云雨 石孕 爵雨 口 堡 竺 垒 二竺 2 口 口 即圆经过仿射变换茹 石 茗 y 争 得 到的曲线满足椭圆的定义 是椭圆 定理2圆经过压缩变换 沿Y 轴方向 后不仅 仅保持直线的平行关系不变而且还保持平行线段的 长度比不变 证明 设圆茗2 y 2 n 2 所在平面上有直线厶与 直线厶平行 点A 戈 Y o 和点曰 菇 在直线L 上 点C x Y 2 和点D 菇 乃 在直线厶上 如图1 川 且设筹地即 等揣 M 又直线厶与直线如平行 当直线厶和直线厶 的斜率存在时有丛二 塑卫 当直线L l 和直线 厶的斜率不存在时 即茗 X O 且奶 屯时 有Y 一 Y o Y 3 一儿 综上 直线厶与直线L 2 平行 则有 一扎 石3 一算2 菇l 一石o 儿一Y 2 图1 1图1 2 而在圆的仿射图形椭圆每 告 1 上 如图1 2 直线 7 和直线L 上则分别包含点A 茗 y o B 菇 I 7 1 C 石 2 2 和点D 菇 3 Y 7 3 其中石 b 石7 I 茗l y l 7 b l 石 2 2 知 石 3 挪y 3 7 b 3 当直线L 1 和直线厶的斜率不存在时即茗 茹 且茗 茗 时 则茗 l 髫 o 且茗 3 髫 2 当直线L 1 和直线厶的斜率 存在时则有2 等 鱼丝二丛 格无论 茗4 1 一戈 0a 茁l X o茗 3 一并 2 斜率是否存在都有直线L 与直线L 平行 即圆经 过压缩变换 沿Y 轴方向 以后保持直线的平行关 系不变 要证明圆经压缩变换 沿 轴方向 后保持平 行线段的长度比不变 等价于要证明 万方数据 2 0 中学数学研究2 0 1 4 年第6 期 茗 l 一茗 o 2 Y I y o 2肥l 一粕 2 Y l y o 2 G 一茗 2 一 2 2 一 悲一恐 2 乃一娩 2 吨即等等端 粤l 善粤L 二g 砰 即 茗 一X o 戈3 一X 2 2 儿一儿 2 7 1 与 一y o 2 x 3 一X 2 2 乃一儿 2 茗 口 一 2 一儿 2 石3 一勉 2 I b 2 儿一儿 2 化简得 j b 2 一1 茗 一茗 y 一 b 了2 一 口口 1 省1 一X 0 2 Y 3 一儿 2 上面已证 y l Y o 菇3 一石2 菇1 一X o c 乃一儿 那么就有害墨 薯 揣 菇l 一 2 Y t t o 2 茁3 一X 2 2 乃一儿 2 舻成立 腰到X描 肘眦即筹 2 Y3一 戈3 一 2 一儿 2 一 风且 c D 一 罴 即圆经过压缩变换 沿 轴方向 后保持平行线 段的长度比不变 综上则有圆经过压缩变换 沿Y 轴方向 以后 不仅仅是保持直线的平行关系不变而且还保持平行 线段的长度比不变 注1 这里就讨论D b 0 的情况 6 口 0 即椭圆焦点在 轴上时 可以看成是圆在横向上压 缩得来的图形 有相似的结论 注2 点0 和点0 为圆和椭圆的中心 且中心都 在原点 至于中心不在原点的情况 可以通过平移来 求得 下面我们用上述结论把圆的一些性质定理推广 到椭圆上并利用它们解决一些问题 3 圆的一些性质定理在椭圆上的推广 3 1 圆幂定理的推广 圆幂定理过平面上一个定点肘 任作一直线 与半径为r 的定圆交于A 曰两点 则M A M B 为定 值后 并k O M 2 一r 2 定值k 叫做点肘关于圆0 的 幂 简称圆幂 椭圆幂定理 过平面上一个定点肘 髫 7 任作一直线与椭圆 t 2 等t 2 l 交于A 7 曰 两 口D 点 D c 为平行于A B 的半径 则丝铲为定 值 并且后 一1 定值后叫做点M 关于此 椭圆0 的幂 简称椭圆幂 证明 我们先做一个从圆髫2 y 2 口2 到椭圆等 口 管 l 的仿射变换 石 茗 菇 y y 了b aD 图2 一l图2 2 过平面上一个定点M x o Y o 任作一直线与圆 交于A B 两点 如图2 一1 则与之对应的有过平面 t 2 t 2 上一个定点M 菇 o Y 的直线与椭圆与 旨 l 交于A B 两点 0 C 为平行于A 曰 的半径 如图2 2 由定理2 知 从圆到椭圆的仿射变换中 平行 线段的长度比不变即警 影 警 筹 从而 M A M BM A M B 0 C 2 又由圆幂定理知M A M B D 砰一a 2 那么两 边同除以a 2 则有丝学 下a M 2 a 2 垡乒一l 孚一 等 等 即警 等 簪 L 由椭圆幂定理我们又可以推出椭圆的相交弦定 理 切割线定理和切线长定理 推论1 椭圆的相交弦定理 A 日与C D 为椭圆 与 告 I 中两相交于点M 的弦 r 2 是分别与 A 召 e D 平行的两半径 则而M A x M B 证明 椭圆0 中线段A B 交C D 于点M x Y o r r 2 是与A B C D 分别平行的两半径 如图3 则由 万方数据 2 0 1 4 年第6 期中学数学研究 2 l 椭圆幂定理有丝半 2 2 一 丝 争丝 事 吾 即有而M Ax 而M B 号2 脏 D 图3图4 推论2 椭圆的切割线定理 肘是椭圆外的一 点 过肘引椭圆的切线M T 和割线M A B r r 2 为与切 线越T 和割线删召分别平行的半径 则砀署警斋 1 蠢 推论3 椭圆的切线长定理 过椭圆外的一点 肘引椭圆的两条切线M A M B r r 2 分别是与切线 枷和切线脚平行的半剐 筹 吾 推论2 推论3 的证明可仿推论1 证得 3 2 垂径定理的推广 圆的垂径定理过圆外的一点 I f 引圆的切线 M T 连接D r 则有M T 上D r 即k D r 詹胛 一1 是 个定值 这里k 表示斜率 定理3过椭圆外的一点M 引椭圆的切线 M r 7 连接0 r 则有k D r 村 r e 2 1 也是个定 值 e 表示椭圆的离心率 证明 肘是圆D 外一点 M T 为圆0 的切线 如图 5 一1 经过仿射茹 菇 茗 y 专 图形变为 椭圆0 外一点肘 与椭圆上一点r 相连 如图5 2 图5 1图5 2 不妨设M x t o r 菇1 Y 则通过仿射变换 后就变成彤7 菇 o Y o 和r 茗 l Y 1 则有石7 0 b b y o 2 菇 l2 并 l 7 l 又由圆的垂径定理得 后村 一l 即暑 三尝 描叫肌 r 一糟 描 等 鬟 描 一等 一t 3 3 直径所对的圆周角是直角 的推广 在圆上 直径所对的圆周角是直角 定理4设A B 是椭圆直径的两个端点 点 嬲 是椭圆上异于A B 的点 若直线肘 A M B 的 斜率存在 则有肘 A 与M B 的夹角的是个定角 e 表示椭圆的离心率 证明 A B 是圆0 的一直径 肜是圆0 上异于A B 的点 连接线段M A M B 如图6 1 经过仿射变 换茗一茗 x y y 专 A B 仿射成椭圆0 的一 直径A B M 是椭圆0 上异于A B7 的点 连接线 段肘 A 肘 B 如图6 2 图6 一l图6 2 不妨设M x o Y o A x 1 Y 1 B 菇2 Y 2 则通过 仿射交换后就变成肘 菇 A 善 Y 和 B 戈 2 Y 2 且有茗 o o 知 茗 l 茗l l b b 2 7 l 石 2 2 石2 2 2 a Y 2 又由圆上直径所对的圆周角是直角 得出M A I M B k 即k m 一l 即糕 鬻 l 贝9 有k k J r B 2 二丝 丝二丝 一 菇1 一茗0茁2 一菇O Y l Y o 茗 1 一茗 0 b 2 2 2 c 口 糟 等 由于k 后肿 为一定值 那么M 7 A 与M B 的 夹角是个定角 万方数据 2 2 中学数学研究2 0 1 4 年第6 期 4 圆与椭圆仿射关系的应用 2 2 例在椭圆与 鲁 l 口 b o 中 左右 口O 焦点分别为F 一c O 和疋 c 0 椭圆与菇轴交于 N P 两点 过 一c O 作垂直于算轴垂线交椭圆于 A B 两点 1 求三角形A B F 2 的面积 2 求三角形 A B P 的面积 3 若A B 为过椭圆左焦点F 的任一线 段 求三角形A B F 2 的最大面积 4 若A B 为过椭圆 左焦点只的任一线段 求三角形A B P 的最大面积 解 1 椭圆0 交茗轴于 点N 和点P 过F 的垂线A B 交椭圆0 于A B 两点 如图 7 由推论l 可得糕 1 b 2 又椭圆为关于菇轴的对 y 乔 P P 1 0 1 v 乡j 图7 称图形且A B 垂直于茗轴 所以A F B F 则有 鑫7 b 2 舭砰 胛 酗箬 口一 c 口 c b 2 b 2 则A i b 2 三角形A B 疋口口 口 的面积为扣B 疋 A F l F l R 等 2 c 2 b 2 c 2 和 1 比较 三角形的底没交 只是高变为 F I P 因为A B 堡 F l P n c 所以三角形A 曰P 的 面积为扣 F 1 P 吉 警 b 口2 c 6 2 3 分别从A B 引茗轴的垂线 交髫轴于C D 两 点 再仿射到圆2 严 a 2 上 由于映射前后F R 的长度不变 A C B D 的长度成比率b 口 以F 疋为底 边 再分别以A C 肋为高 分别求出S A 2 和 S B r 2 再相加求出S 恍 所以仿射前后S 的 也成比率b a 那 z 只要我们求出仿射后在圆中 S 慨的最大值 就可以通过比率变换求出仿射前 在椭圆中S 啦的最大值 下面我们求仿射后 s 慨 的最大值 由于过F 的线段若和善轴重合时A 曰疋为一线 段 则过F 的线段所在直线的方程不妨设为Y k x 后c 设A B 的坐标分别为 石 Y 1 和 省 3 2 代入 戈2 y 2 矿中 则有 1 k 2 石2 2 k 2 c x 露2 c 2 一口2 o 则扎蝎 一羔 铲簪 澈 I 菇 一石 I 狄i 石了百 竺鲁 男p 么ly 一儿I I 后 石 一茗 I I 喾 I 忐 2 每 k 2 设m 万1 构建函数人m 生譬 m 0 则IY l Y 2I 的最大值与厂 m 的最大值相等 酣 m 卜毒2 甏竽 舌揣删当一百c 2 b 2 州m o 当m 等ZZ 口 时 m b 2 时 在 o 生享 内 灭m 是增函数 当m 等时以m 是减函数 删的最大值为八等a 焉a Z Z C 当c 2 6 2 时 IY 一Y l 的最大值为 三笋 砉等 当c 2 b 2 时 S z x a 跑的最大值为下1 2 c 笋等 终苫 酊 b 2 时 在仿射前的椭圆中 s 踢的 最大值为主等 i b 2 口 4 t 2 a 2 2 b c c 当c 2 b 2 时 在仿射前的椭 圆中 S 帆的最大值为 等磐 警 丝至孚挚 当C 2 o b 0 的 Uo 左顶点为A 右焦点为F 右准线为z 过 的直线交 双曲线右支于B C 两点 连A B A C 分别交Z 于肘 两点 则以M N 为直径的圆过点F 2 2 定理2 1 椭圆气 各 1 口 b o 的左 口D 顶点为A 右焦点为F 右准线为2 过F 的直线交椭 圆于B C 两点 连A B A C 分别交2 于M 两点 则以 M N 为直径的圆过点F 定理3 1抛物线Y 2 2 p x p 0 的顶点为 A 焦点为F 准线为Z 过F 的直线交抛物线于B C 两点 连A B A C