数据包络分析法.ppt

数据包络分析 DEA DataEnvelopmentAnalysis 主讲 孙玉虎 中国矿业大学徐海学院 1978年由著名的运筹学家A Charnes 查恩斯 W W Cooper 库伯 及E Rhodes 罗兹 首先提出了一个被称为数据包络分析 DataEnvelopmentanalysis 简称DEA模型 的方法 用于评价相同部门间的相对有效性 因此被称为DEA有效 他们的第一个模型被命名为C2R模型 从生产函数的角度看 这一模型是用来研究具有多个输入 特别是具有多个输出的 生产部门 同时为 规模有效 与 技术有效 即 总体有效性 的十分理想且卓有成效的方法 1985年查恩斯 库伯 格拉尼 B Golany 赛福德 L Seiford 和斯图茨 J Stutz 给出另一个模型 称为C2GS2模型 这一模型用来研究生产部门间的 技术有效性 一 产生背景 1987年查恩斯 库伯 魏权龄和黄志明又得到了称为锥比率的数据包络模型 C2WH模型 这一模型可用来处理具有过多的输入及输出的情况 而且锥的选取可以体现决策者的 偏好 灵活地应用这一模型 可以将C2R模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队 数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域 查恩斯和库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例 就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果 在评估中 输出包括 自尊 等无形的指标 输入包括父母的照料和父母的文化程度等 无论哪种指标都有无法与市场价格相比较 也难以轻易定出适当的权重 权系数 这也是DEA的优点之一 一 产生背景 一 产生背景 DEA的优点吸引众多的应用者 应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行 基地维修与保养 以及陆军征兵 城市 银行等方面 目前 这一方法应用的领域在不断地扩大 它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性 例如投资项目的评价 研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何 例如建立新厂后 新厂相对于已有的一些工厂是否为有效 DEA是对其决策单元 同类型的企业或部门 的投入规模 技术有效性作出评价 即对各同类型的企业投入一定数量的资金 劳动力等资源后 其产出的效益 经济效益和社会效益 作一个相对有效性评价 二 DEA模型概述 二 DEA模型概述 决策单元 DMU 我们把具有相同类型的部门 企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价 这些部门 企业或时期称为 评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据 投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量 例如固定资产原值 流动资金平均余额 自筹技术开发资金 职工人数 占用土地等 产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下 表明经济活动产生成效的经济量 例如总产值 销售收入 利税总额 产品数量 劳动生产率 产值利润率等 指标数据是指实际观测结果 根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率 即评价部门 企业或时期之间的相对有效性 DEA方法就是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法 为了说明DEA模型的建模思路 我们看下面的例子假设有5个生产任务相同的工厂 每个工厂都有两种投入和一种产出表一 各产具体情况 我们如何判定这五个工厂谁的生产情况好一点呢 为了便于比较 现把5个DMU的各项投入和产出按比例算好 使其产出相同 这样就可以只比较投入了 如表二 C2R模型及其基本性质 1 C2R模型设有n个部门 企业 称为n个决策单元 每个决策单元都有p种投入和q种产出 分别用不同的经济指标表示 这样 由n个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评价系统 可以用下图表示 设 n个决策单元 j 1 2 n 每个决策单元有相同的p项投入 输入 i 1 2 p 每个决策单元有相同的q项产出 输出 r 1 2 q XiJ 第j决策单元的第i项投入yrj 第j决策单元的第r项产出 权重v1v2 vp 权重u1u2 uq 设投入指标和产出指标的权系数向量分别为V v1 v2 vp T U u1 u2 uq T对每一个决策单元k 定义一个效率评价指标 即 效率指标hk等于产出加权之和除以投入加权之和 表示第k个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率 可以适当地选择权系数U V 使得hk 1 现在 建立评价第K0个决策单元相对有效性的C2R模型 设第k0个决策单元的投入向量和产出向量分别为 效率指标h0 hk0 在效率评价指标hk 1 k 1 2 n 的约束条件下 选择一组最优权系数U和V 使得h0达到最大值 构造优化模型 分式规划 上述模型中xik yrk为已知数 可由历史资料或预测数据得到 vi uj为变量 模型的含义是以权系数vi uj为变量 以所有决策单元的效率指标h0为约束 以第k0个决策单元的效率指数为目标 即评价第k0个决策单元的生产效率是否有效 是相对于其他所有决策单元而言的 接下来 作Charnes Cooper变换 转化为一个等价的线性规划模型 展开可写为 其对偶规划为 为了方便计算 我们引入引入剩余变量和松弛变量 将不等式约束化为等式约束 得 小结 构建DEA模型的思路 衡量某一决策单元j0是否DEA有效 是否处于由包络线组成的生产前沿面上 先构造一个由n个决策单元组成 线性组合成 的假想决策单元 如果该假想单元的各项产出均不低于j0决策单元的各项产出 它的各项投入均低于j0决策单元的各项的各项投入 即有 这说明j0决策单元不处于生产前沿面上 三 评价系统的DEA有效性 三 评价系统的DEA有效性 决策单元k0为DEA有效的定义 定义1如果线性规划 P 的最优解满足下列条件VP 0T Y0 1则称决策单元k0为弱DEA有效 定义2如果线性规划 P 的最优解满足条件VP 0T Y0 1 并且 0 0 0 0则决策单元k0为DEA有效 定理1线性规划 P 及其对偶规划 D 都有可行解 因而都有最优解 并且最优值Vp VD 1定理2关于对偶规划 D 有 如果 D 的最优值VD 1 则决策单元k0为弱DEA有效 反之亦然 如果 D 的最优值VD 1 并且每个最优解都满足条件 s0 0 s0 0 则决策单元k0为DEA有效 反之亦然 定理3决策单元的最优效率指标Vp与投入指标值Xik及产出指标值Ykj的量纲选取无关 3 评价系统DEA有效性的判定 在实际应用中 无论利用 P 还是 D 上述判断都并非易事 为了方便地使判定决策单元DEA有效 查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小量的概念 从而 可以利用单纯形方法求解线性规划问题 来判定决策单元的DEA有效性 设 是非阿基米德无穷小量 在广义实数域内 表示一个小于任何正数且大于零的数 考虑带有非阿基米德无穷小量 的C2R模型 其中 1 1 1 是元素均为l的p维向量 eT 1 1 1 是元素均为l的q维向量 定理4设 为非阿基米德无穷小量 线性规划 D 的最优解为 0 s0 s0 0 有 若 0 1 则决策单元k0为弱DEA有效 若 0 1 并且S0 0 S0 0 则决策单元k0为DEA有效 利用模型一次计算就能够判定决策单元是否DEA有效 在实际操作中 只要取 足够小 例如取 10 6 用单纯形法求解 通常可利用线性规划软件 如QSB Lindo等 在计算机上实现 四 C2R模型应用 例 设有4个决策单元 2个投入指标和1个产出指标的评价系统 其数据如下图 判定各个决策单元是否DEA有效 解 决策单元1所对应的线性规划 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 1 0 0 0 T S10 S20 S10 0 0 1因此 决策单元1为DEA有效 决策单元4所对应的线性规划 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 0 3 5 1 5 0 T S10 S20 S10 0 0 3 5 1因此 决策单元4不是DEA有效 同样地 经过判定 决策单元2 3均为DEA有效 DEA方法的特点 适用于多输出 多输入的有效性综合评价问题 在处理多输出 多输入的有效性评价方面具有绝对优势DEA方法并不直接对数据进行综合 因此决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关 应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理 当然也可以 无须任何权重假设 而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重 排除了很多主观因素 具有很强的客观性DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出 且输入输出之间确实存在某种联系 但不必确定这种关系的显示表达式 下面我们以单输入单输出的情况来说明DEA有效性的经济含义 技术有效 输出相对输入而言已达最大 即该决策单元位于生产函数的曲线上 规模有效 指投入量既不偏大 也不过小 是介于规模收入收益由递增到递减之间的状态 即处于规模收益不变的状态 生产函数y f x 生产函数Y f X 表示在生产处于最好的理想状态时 当投入量为X 所能获得的最大输出 因此 生产函数图象上的点 X表示输入 Y表示输出 所对应的决策单元 从生产函数的角度看 是处于 技术有效 的状态 一般来说生产函数的图象如下 A C处于技术有效状态 3 DEA有效性的经济意义 模板的使用 点A将曲线分为两部分 在点A之左 y 0 y 0 曲线是下凸的在生产函数的下凸区间 表示增加投入量可以使产出量的递增速度增加 此时称为规模收益递增 厂商有投资的积极性 在点A之右 y 0 y 0 曲线是上凸的 在此区间 增加投入量只能使产出量增加的速度减小 此时称为规模收益递减 厂商己经没有增加投资的积极性 点A是生产函数曲线的拐点 点A所对应的决策单元 既是技术有效 也是规模有效 这是因为该决策单元减少投入量或增加投入量 都不是最佳生产规模 点C在生产函数曲线上 对应的决策单元技术有效 但不是规模有效 这是由于点C位于规模收益递减区间 点B不在生产函数曲线之上 并位于规模收益递减区域 点B所对应的决策单元既不是技术有效 也不是规模有效 模型C2R下DEA有效性的经济意义 由于 X0 Y0 T 即 X0 Y0 满足条件 线性规划模型 D 表示在生产可能集内 当产出Y0保持不变的情况下 尽量将投入量X0按同一比例减少 如果投入量X0不能按同一比例 减少 即模型 D 的最优值VD 0 1 决策单元k0同时技术有效和规模有效 如果投入量X0能按同一比例 减少 模型 D 最优值VD 0 1 决策单元k0不是技术有效或规模有效 设模型 D 的最优解为 0 s0 s0 0 分三种情况进一步讨论 0 1 且s0 0 s0 0 决策单元k0为DEA有效 其经济意义是 决策单元k0的生产活动 X0 Y0 同时为技术有效和规模有效 所谓技术有效 是指对于生产活动 X0 Y0 从技术角度来看 资源获得了充分利用 投入要素达到最佳组合 取得了最大的产出效果 效率评价指标h0 Vp VD 0 1 0 1 但至少有某个si0 0或者至少有某个sj0 0 决策单元k0为弱DEA有效 其经济