概率论期末复习4.pdf

2 指数分布 指数分布 如果如果R V X 的密度函数为的密度函数为 00 0 x xe xf x 为常数 为常数 其中其中0 的指数分布 的指数分布 服从参数为服从参数为则称随机变量则称随机变量 X 容易验证密度函数的两条性质 容易验证密度函数的两条性质 有 有 对任意 对任意0 xfx dxxf 1 00 01 x xe xF x 易求得分布函数为易求得分布函数为 指数分布的实际背景指数分布的实际背景 1 1 生物 产品 生物 产品 如电子元件如电子元件 的寿命 的寿命 2 2 电话的通话时间 电话的通话时间 3 3 随机服务系统中的服务时间 随机服务系统中的服务时间 4 4 某些特别事件发生所需等待时间 某些特别事件发生所需等待时间 如活火山如活火山 从某次喷发到下一次喷发所需等待时间从某次喷发到下一次喷发所需等待时间 等服从或近似服从指数分布等服从或近似服从指数分布 例例3 书书P45 已知某机器无故障工作时间已知某机器无故障工作时间X 小时小时 服从参数为服从参数为1 2000 的指数分布 的指数分布 1 求机器无故障工作时间在 求机器无故障工作时间在1000小时以上的概率 小时以上的概率 2 如果某机器已经无故障工作了 如果某机器已经无故障工作了500小时 求它能小时 求它能 继续无故障工作继续无故障工作1000小时的概率 小时的概率 例例4 书书P45 某仪器装有某仪器装有3只独立工作的同型号电子只独立工作的同型号电子 元件 其寿命元件 其寿命X 小时 都服从参数为 小时 都服从参数为1 600 的指数分的指数分 布 求仪器在使用的最初布 求仪器在使用的最初200小时内 至少有一只电子小时内 至少有一只电子 元件损坏的概率 元件损坏的概率 一般 若一般 若X服从指数分布 则对任意服从指数分布 则对任意 有有 s t00 sXtsXP 无关 无关 与与s无记忆性无记忆性 tXP 1 YP所以所以 观察三个电子元件的使用寿命是否超过观察三个电子元件的使用寿命是否超过200小时 小时 相当于三重贝努利试验 相当于三重贝努利试验 1 1 YP 0 1 YP 3 3 1 0 3 1 0 3 11 eeC 1 1 e 它服从二项分布它服从二项分布B 3 p 即即Y B 3 p 三个元件中使用寿命不超过三个元件中使用寿命不超过200小时的个数为一个小时的个数为一个 随机变量随机变量 设为设为Y 每个元件的使用寿命不超过每个元件的使用寿命不超过200小时的概率都是小时的概率都是 3 1 1 200 eXPp 3 3 正态分布 正态分布 2 1 2 2 2 xexf x 为参数为参数 其中其中0 x f x 0 如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为 则称则称X服从参数为服从参数为 2 2的正态分布 的正态分布 2 NX记作 记作 标准正态分布标准正态分布 为标准正态分布 为标准正态分布 则称 则称 若若 1 0 10N 数为数为标准正态分布的密度函标准正态分布的密度函 xex x 2 2 2 1 x 0 x 可以验证密度函数满足基本性质 可以验证密度函数满足基本性质 1 2 1 2 2 2 dxedxxf x dx edxe xx 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 则有则有 1 due u 2 2 2 1 dx du x u 则则 作变换 作变换 正态分布密度函数的图形特征正态分布密度函数的图形特征 xexf x 2 2 2 2 1 数数对于正态分布的密度函对于正态分布的密度函 对称对称 曲线关于直线 曲线关于直线 x x f x 0 h h 取到最大值取到最大值时 时 当 当 xfx 2 1 f 的值就越小 的值就越小 越远 越远 离离 xfx x f x 0 2 1 该区间中的概率就越小该区间中的概率就越小 落在落在远时 随机变量远时 随机变量 越越的区间 当区间离的区间 当区间离 这表明 对于同样长度这表明 对于同样长度 X 不变 不变 轴平行移动 但其形状轴平行移动 但其形状沿沿 的图形的图形的值 则的值 则固定 而改变固定 而改变 若 若 x xf 处有拐点 处有拐点 在在 曲线 曲线 xxfy 2 1 轴为渐近线 轴为渐近线 以以曲线曲线Oxxfy 所确定 所确定 图形的位置完全由参数图形的位置完全由参数因此因此 xfy x f x 0 1 的最大值为的最大值为因因固定固定若若 xf x f x 0 1 2 1 2 1 f 图形越陡图形越陡越小时 越小时 当当xfy 的图形越平坦 的图形越平坦 越大时 越大时 所以当所以当 xfy 附近取值越集中 附近取值越集中 在在 X 附近取值越分散 附近取值越分散 在在说明说明 X 说明 说明 1 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分之一 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的 布的 2 正态分布可以作为许多分布的近似分布 正态分布可以作为许多分布的近似分布 如如 零件的尺寸 纤维的强度和张力 农作物的零件的尺寸 纤维的强度和张力 农作物的 产量 测量误差 射击目标的水平或垂直偏差 信号产量 测量误差 射击目标的水平或垂直偏差 信号 噪声等等 噪声等等 都服从或近似服从正态分布都服从或近似服从正态分布 正态分布的概率计算正态分布的概率计算 借助于分布函数借助于分布函数 则其密度函数为 则其密度函数为如果随机变量如果随机变量 10 N X ex x 2 2 2 1 xdtedttx xtx 2 2 2 1 其分布函数为其分布函数为 xdtexxXP xt 2 2 2 1 查标准正态分布函数值表查标准正态分布函数值表 x 0 x x x 可直接查表求出可直接查表求出对于对于 0 x xXPx 0 可利用下述公式求得 可利用下述公式求得如果如果 x x 1x 例例1 1 试求 试求 设随机变量设随机变量 2121 10 XPXP NX 解 1221 XP 84134 097725 0 13591 0 1221 XP 112 84134 0197725 0 81859 0 一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算 2 NX设设 xt dtexF 2 2 2 2 1 作变换作变换 t y x xy dyexF 2 2 2 1 化为标准正态分布函数化为标准正态分布函数 ab bXa ba P 有有故对任意的故对任意的 则则dydt 代入得代入得 例例2 2 试求 试求 设随机变量设随机变量 2 N X 32 XPXPXP 例例3 若 若 N 200 100 求 求 x 使使 1 P x 0 67 2 P x 0 0099 x 204 4 x 176 7 解 解 10 200 x xP 0 67 x 440 10 200 2 33 10 200 x 2 P x 0 0099 10 200 x 0 9901 10 200 x 例例4 4 某地区抽样调查结果表明 考生外语成绩 某地区抽样调查结果表明 考生外语成绩 百百 分制分制 近似服从正态分布 平均成绩近似服从正态分布 平均成绩 72 72 9696分以分以 上占考生总数上占考生总数2 3 2 3 求考生 求考生 1 1 外语成绩在外语成绩在8080分以上的概率分以上的概率 2 2 外语成绩在外语成绩在6060 8484分的概率分的概率 3 3 不及格的概率不及格的概率 2 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 一 离散型随机变量的函数的分布一 离散型随机变量的函数的分布 二 连续型随机变量的函数的分布二 连续型随机变量的函数的分布 随机变量的函数随机变量的函数 VR也是一个也是一个 xgyYxX 取值取值时 时 取值取值当当 的函数 的函数 是是是一随机变量 是一随机变量 设设XYX XgY Y则则 本节的任务是 本节的任务是 的分布 的分布 要求随机变量要求随机变量 的分布 并且已知的分布 并且已知已知随机变量已知随机变量 Y XgYX 一 离散型随机变量函数的分布一 离散型随机变量函数的分布 分布律为分布律为是离散型随机变量 其是离散型随机变量 其设设X 2 1 npxXP nn X 1 x 2 x n x P 1 p 2 p n p 或或 n yyy 21 21 其中其中 nxgy nn 量 它的取值为量 它的取值为 也是离散型随机变也是离散型随机变 则 则的函数 的函数 是是YXgYXY 1 1 如果如果 n yyy 21 两两不相同 则由两两不相同 则由 21 nxXPyYP nn 的分布律为的分布律为可知随机变量可知随机变量 Y 2 1 npyYP nn 或或 Y 1 y 2 y n y P 1 p 2 p n p 例例1 1 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布律为的分布律为 pk X 3 1 0 9 0 02 0 31 0 23 0 44 pk Y 9 5 3 15 0 02 0 31 0 23 0 44 的分布律 的分布律 试求 试求随机变量随机变量YXY32 解解 由于随机变量由于随机变量Y 的取值各不相同的取值各不相同 故所求分布律为故所求分布律为 设随机变量设随机变量 X 具有以下的分布律 试求具有以下的分布律 试求 Y X 1 2 的分布律的分布律 2 2 则把则把中有相同的项中有相同的项若若 21 n yyy 的分布律的分布律变量变量概率相加 即可得随机概率相加 即可得随机 并把相应的 并把相应的看作是一项看作是一项这些相同的项合并这些相同的项合并 XgY 例例2 2 pk X 1 0 1 2 0 2 0 3 0 1 0 4 解解 Y 的所有可能取值为的所有可能取值为 0 1 4 且且 Y 0 对应于对应于 X 1 所以所以 P Y 0 P X 1 0 1 P Y 1 P X 0 P X 2 P Y 4 P X 1 pk Y 0 1 4 0 1 0 7 0 2 所以 所以 Y X 1 2 的分布律为 的分布律为 pk X 1 0 1 2 0 2 0 3 0 1 0 4 Y X 1 2 例例2 2 续 续 所以所以 P Y 0 P X 1 0 1 0 3 0 4 0 7 0 2 例例3 3 的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量 X XcosY pk X 1 2 3 n n 2 1 2 1 2 1 2 1 32 的分布律 的分布律 求求YVR 解 解 X X 为偶数为偶数若若 为奇数为奇数若若 1 1 1 YP 0 12 k kXP 0 12 2 1 k k 3 2 为奇数为奇数n nXP 解 解 为偶数为偶数n nXPYP1 1 2 k kXP 1 2 2 1 k k 3 1 或用分布律的性质计算 或用分布律的性质计算 1 YP 11 YP 3 2 所以所以Y的分布律为 的分布律为 pk Y 1 1 2 3 1 3 二 连续型随机变量函数的分布二 连续型随机变量函数的分布 其密度函数为其密度函数为是一连续型随机变量 是一连续型随机变量 设设 xfX X 随机变量 随机变量 也是连续型也是连续型 我们假定 我们假定的函数的函数是是再设再设YXXgY 的密度函数的密度函数我们求我们求 yfXgY Y 解题思路解题思路 的分布函数的分布函数 先求 先求 XgY yFyfXgY XgY YY 的密度函数的密度函数关系求关系求 之间的之间的的分布函数与密度函数的分布函数与密度函数 利用 利用 关键 关键 将将Y的取值范围转化为的取值范围转化为X的取值范围的取值范围 yxg XY dxxfyXgPyYPyF 00 0 x xe xf x 设随机变量设随机变量 具有具有概率密度概率密度 求求 3 1 的概率密度的概率密度 解 解 1 先求先求 3 1 的分布函数的分布函数F y yF 例例4 4 3 1 1 y F 3 1 3 1 y fyf 得得由由 yFyf 3 1 y f 而而 0 3 1 3 1 y e y 0 3 1 0 y 10 1 3 1 3 1 y ye yf y 故故 10 1 3 1 y ye y 解 解 例例5 设随机变量设随机变量X在在 0 1 0 1 上服从均匀分布 上服从均匀分布 求求Y e2X 的概率密度 的概率密度 yF Y yYP yeP X 2 当当y 0时 时 yF Y yXPln 2 1 yFXln 2 1 yFyf 所以所以 0 0 0 ln 2 1 2 1 y yyf y X 而而 0 1 1 ln 2 1 2 其它其它 ey yf X 其它其它 故故 0 1