数学教学要追求清楚和自然.pdf

数学教学研究 第52卷第 7期Zor3年7月 数学教学要追求清楚和 自然 郑良 安徽省灵璧第一中学234200 5 普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书6 人 教 A 版 的 主编寄语 0为中学生如何学好数学 支招 数学是 自然的 数学是清楚的 同样 要 想教好数学 课堂教学也必须清楚和自然 然 而 不清不楚 想当然0强加于学生的教学充 斥宇我们的 课堂 下面笔者就随堂听 课的案 例作简要的分析 以期抛砖引玉 1教学要清楚明白 案例 1下列各题 中 判断 P 是 q 的什 么条件 指充分不必要条件 必要不充分条 件 充要条件 既不充分也不必要条件 1 已知 ab笋 p a b 1 q a3 香 3 3ab 一 1 2 P 一2 m o n o 与 a Z xZ 瓦二 的解集分别为 A 3 a b一1 不能推 出 a b 1 所 以 P 不 是 q 的必要条件 综上所述 P 是 q 的充分不必要 条件 2 若关于 二的方程 x Z 十n一O 有 两个小于 1 的正根 设 为 x x 则 x 0 X Z 有 0 x x Z 2 0 x 1匀 1 根据韦达定 理有 1 十 全 一加 工 1 工 2 一n 得 0 一 0 2 O n 1 即 一 2 m o o n 1 故 q o P 反 之 取 m 一 告 一告 贝 XZ一 告 二 告 一 的 判 另 式 v 一 告 一 4大 音 方 无 实 根 所 以 推 不 出q 综上所述 P 是 q 的必要不充分条件 3 若导 一 会 成 易取 a l甸 此 一反扬一一 时两个不等式的解集不可能相同 P 不是q 的充分条件 若两个不等式的解集为空集时 与B P 色一么 a Zb 于 q A 一B 无法得到a z bi 一 羚 所 以 不 是 的 要 教师让学生先独立思考 后合作交流 约 l 分钟 大部分学生认为 3 个小题的结果均 为 P 是 q 的充要条件 教 师给 出以下解答 1 因为 a b三1 所 以 a3 b3 3ab一1 一 a b aZ一ab bZ 3ab 一1 aZ Zdb bZ 一1 a b 2一 1 0 或者 将 a 1一b 代人a3 b s 3 a b一1一 成立 则 P 是 q 的 充分条件 反过来 当 俘 b 一1 满足 矿 b 3 3ab 1 但此时 a b 一2护1 即 a3 b3 条件 综上所述 P 是 Q 的必要不充分条件 面对如山的铁证 学生晴暗称奇 艳羡不 已 教师 的告知生吞 活剥 雁 过无痕 0 对于 不是做不到 而是 想不 到 0的反例 离开 了 探 究等价条件的过程 就没有生存 的土壤 仿佛 一个 从天而降 0的神秘物 变得无依无靠 不 可琢磨 反例是怎样找出来的 反例唯一吗 这样的教学能给学生多少启发 相信下次学 生遇到类似的问题仍然束手无策 作者芯介 郑 良 1 邓 一 男 安徽灵璧人 巾学一级教师 主要从事数学教育与中学数学研究 E m ai l 名 he呀li a吃 3225 341 163 c o m 第 32 卷第 7期2013 年 7 月 数学教学研究 数学是思维的科学 数学是思维的体操 数学教学的核心任务夕一就是要抓住思维教 学的有效时机教会学生如何去思考 课堂教 学不是为了抛出结论而存在 而是要具体扎 实地把数学课程 内容传递给学生 要 以数学 知识教学为载体来促进学生的发展 真正实 现 数学育人 0 要搞好 思维的教学 0 前提是 教师 自己先要领悟数学问题的本质 理解数 学 清楚数学 遗憾的是 笔者从执教者得知 教案就是这样给出的 具体结果是怎样得到 的 自己也不是很明白 七 课只能照本宣科 充要条件的判断蕴含着数学思想方法 如果能根据具体情况及时地追问 你是怎样 想到的 这样才能把学生的 似懂非懂 0 暴露 出来 从而把学生的思维引向深人 产生实质 地思考 笔者认为可采用如下处理方式 1 充分性判断 略 教师 a a 夕 3a b 一1看似繁杂 能否先 寻求其成立 的等价条件 思维起点落在何 处 学生 1 由充分性可知 a十b一1 是 a 3 b s 十3 a b一1 的一个因式 所以 矿 护 3a b 一 1 能够因式分解 只需判断其它因式的情况 即可 教师 很好 利用 化归与转化 思想 光说 不练假把式 请同学们尝试求解 学生能够得到 a a 十b 3 斗3a b 一1一 a 十b 一1 a 1一b a b b lj 学生充分思 考后 教师引导学生利用 主元法 学生 2 令 aZ 1一b a bZ b 1一o W 1 J 八 1一b 2一4 夕 b 1 一3 b 1 2 0 所以 aZ 1一b a bZ b十1 0 在实 数范围内仅有一组实数解为 a一石 一一1 所 以a a 十护十二 二 乙 二1成立的等价条件 a b 1 或 a b 一1 2 教师 要肯定一个命题成立 必须通 过严格的推理论证 要否定一个命题只需要 举出一个反例 从上一小题发现 反例不是凭 借 运气 0 撞上的 而是通过等价分析找到的 请同学们再次深思 和q 的关系 教师 刚刚学生 2 从 代数 推理 角度弄 清 问题 能否通过几何直观解决间题呢 学生 3 由一元二次方程根 的分布 记 f x 一尹 二 n 则 q 成立的等价条件为 v m Z一4n O 二二 共孕 0 f 1 一1 m 十n O 如 图 1 所示 q 所包 含 的对象 构成 的点集 为 B 对应的图形为 曲边 三角形 0FO 及 而 P 所 包含的对象构成 的点 集为A 一 m n l 一2 优 O O n 1 对应 又又万 图 1 的图形为 矩 形 0F E O D 显然 B 导A 所 以 P 是 q 的必要不充分条件 教师 怎样取反例 反例有什么具体特 征 学生 4 P 是q 的条件间题判断角度主要 有 3个 即逻辑角度 P 能否推出 q 和q 能否 推出P 命题角度 构造命题若 P 则 q 判断 原命题与逆命题的真假 集合角度 记 P q 所包含的对象构成的集合分别为A B 判断 A B 之间的关系 以集合角度为例分析 若 P 是q 的充分不必要条件 则 A 导B 所以反 例只能从 C 尹 中去寻求 曲边三角形0 FG O 内任意点都构不成反例 其反例 区域 F O D 使对应方程无解 而区域 F EC 则表示方程的 解不都在 0 1 教师 借助数形结合思想 两个不等式组 的差异一 目了然 3 教 师 瓮 一 瓮 一 瓮 涉 及 到 6 个量 如 何能够减少变量的数 目呢 两个不等式同解 数学教学研究第 32 卷第 7期2013 年 7月 的条件怎样 学生 5 设 几 孟 举0 则有 含 或 二 青 0 o 与 孟 a x 2 6 x o 的解集分别 为A 与B 当久 0 时 两个不等式方能同解 反之 若 A 一B 时 考虑 A B 是否为空集或 全体实数解 当 A 0 B 特必且 A B 护R 时 由 3 个二次 一元二次方程 一元二次不等 一 一 一 a lblc 式 二次函数 的关系可得手 升 于 O 但 一 叭 H刀 小 切 V a 瓦几 一 口 A B 二必或 A B 一R 只与其判别式的符 号有关 与具体值无关 借助知识载体 将蕴含在数学知识中的 数学思想方法充分挖掘出来 通过数学思想 方法的渗透 提炼和概括 使学生在课堂中真 正获取解题的能力 在 能力立意0的高考中 才能运用自如 以不变应万变 2教学要自然和谐 案例 2若不等式 2 b x O 的解 集为 x a x P o a 户 求c x Z b x a o 的解集 学生解题的困难是找不到对应方程 汾 十b x 十a一 的根 无法思维下去 教师投影 如下解法 由解集的特点知 a O 根据韦达定理有 学生先是面面想舰 然后拍案叫绝 心中 更多的不是对高超的解题技能的佩服 而是 对结果获得的困惑 老师是怎样想到的 难 道我真地没有学习数学的天赋吗 教 师的 巧思妙解 0 有可熊会打击学生的自信心 和挫伤学生学习数学的积极性 如何让知识 的学术形态成为教学中的教育形态 这要求 教师在理解学生 理解教学的基础上做大t 精细的工作 笔者认为通过消元 利用化归思 想 解法水到渠成 具体处理方式为 由题意可知 a O a 夕 b 一 洲 夕 U 奸分 0 b 一a a 户 c a a谓 O b a 一 a 十户 岁 a 口 口 l e s r e e 破 1 u 口肠 一 吞a 一 一 a 介 一一 夕 Q 口了 之 l u 因为 K 又立一立x 三 aC 1 1 b 一 t 一 r 气 万 l 澎 以 一 一 aP c 1 la 卜 二 a拼c 三 a 1山 一11 一 下 田 巾 再 急冈 巨之 犯翔 下 足 力 性 工 十 公艺十 a 尸口P 一 的 根 因 为 口 丢 所 尸 以不等式 汀2 b x a 的解集为 x l 二 所以c x Z b x 十a 将其代人不等式可得a a 尸 一 a 十 户 x a o 整理得 a x 一1 声 一1 o 因为 o 1 1 一 一 a 告 o 所以不等式 c x 名 十 一 尸 一 a 一 夕一 一 一 J 一 L 1 一1 一 b x a 言 或 言 0 O 时 存在 妻2 肋 任N 使得 a 4 由 a Ia 一4 十2 得 1 a 一4 2 a 一2 气 矛盾 当 d 0 时 可得 a 3 即 a 3 符合 题意 当 d O 时 存在 m 2 2 1 n 2任丫 使得 o 矛 盾 综上所述 要使数列 为等差数列 则 a l 3 解法何等精练 留下诸多疑惑 为什么 不直接找充要条件 解答中为什么不用 叭 4 经过学生探究和教师点拨 问题 可以逐一解决 能否通过理解学生 研究学生 的最近发展区 加以教学 让学生拾级而上 自觉的发现上述解法呢 答案是肯定的 教师 对于探究性问题 一般的解题模式 怎样 学生 6 先通过特例等方式寻找问题的 必要条件 然后验证充分性 也可通过观察等 方式寻求问题的充分条件 再检验其必要性 即多退少补 教师二 很好 解题时切实保证问题的等价 性 谨防 不法分子 0和 漏网之鱼 0 学生经过独立思考 合作交流 得到如下 解法 解 法 1 i 当 al 4 时 aZ al一2 当 a a 一2 4 即 a 6 时 a3 al一 4 此时数列丈 a 的公差 d 一一2 与当 n 2 时 a 笋2 矛盾 当 a 夕 1一2 4 即 4镇a 6 a 8一 a 根据 al a Za 解得 a 6 矛盾 1 1 当 al 4 时 a 6一al 当a 6一a 6 4 即 2 时 a 4一 a 根据 a a 二牙 a 解得 al 4 矛盾 当 a 一6一al 4 即 2 4 a a al 根据 a a 2 a 解得 al 当 d 0 时 由a 一2 I a 一4 解得 a 3 当 d O 时 与 a 6 2 n 2 n 任冲 矛 盾 综上所述 要使数列丈 a二 为等差数列 则 a i 3 3原因分析及应对策略 3 1课堂教学讲解不 到位 根本原因是教师对数学知识本身理解不 够透彻 目前很多教师沉溺于教辅材料 对照 题型 模仿答案 忽略对教材的深刻理解和挖 掘 对知识不求甚解 对策 强化对数学知识 包括数学思想方 法等 的学习 如加深对课标的研习 对教材 下转第 1 7页 第 32 卷身 事 7 期名 013年 7 月数学教学研究 么l 错 题说题0能有效利用学生的错误资源 吴卫东教授指出 我们应把错题看成教 学的资源 0 错误可以使我们理解的更深刻 记忆得更牢固 错题它折射了学生学习中的 难点和存在的思维障碍 通过错题说题 充分 利用这一种 美丽的错误 0资源 开发和利用 这一无穷的 财富 0 能使学生在纠错 改错中 感悟道理 领悟方法 在 吃一堑 长一智 0中 增加才干 增长智慧 不断提高 良主纠错能 力 从而成就从意义建构粥韶力生成讯转变 么2 嘴题说题 0 能有效激发学生的主动学习 在错题分析中实施错题说题 由于学生 说的是 自己的错题 错题让学生 自己说 过程 让学生自己去体会 规律让学生 自己总结 学 生的主体作用得到了有效的发挥 通过主动 地 话说 0 错题来充分唤醒学生的学习动机 有效的开发学生的学习潜能 使学生进行高 效而持久学习 为成就从意义建构到能力生 成创造了条件 之3 错题说题 0 能有效培养学生的合作精神 交流是创造思维能力的催化剂 通过小 组合作 话说 0 错题 创设 了 各抒己见 0的探 究性学习空间 创设 了每一个学生都参与的 交流平台 这使学生个体 的发展受到有效关 注 不同层次的学生都有了自主学习的时间 当学生话说错题和对他人作出评议的时候 他们就必须想办法组织 自己的思想 还必须 详尽地阐述一些认知的细节 这样就使得 思 维得以激活 思考得以倾吐 问题得以发现 智能也因此而提高 从而成就 了大部分学生 从意义建构到能力生成 课前整理借题 能使学生及时反思错误 的原因 温故有关知识 巩固学习过程中的初 级和高级获得阶段 话说错误原因 学生学习 练习 的自觉性被教师充分激发出来 加深 了 学生对有关知识 特别是对题 目中已知条 件的记忆与理解 能较好完成